等幾何分析細化收斂性研究

謝宇洋，卜寧遠

(上海理工大學機械工程學院，上海 200093)

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1 引言(Introduction)

現(xiàn)階段各個領(lǐng)域的物理性能研究大多根據(jù)有限元分析(FEM)軟件仿真計算，如溫度、變形和應力等性能。有限元方法在實現(xiàn)分析優(yōu)化時，CAD數(shù)據(jù)與CAE數(shù)據(jù)的相互轉(zhuǎn)換會造成模型數(shù)據(jù)特征丟失，同時點的離散性會導致優(yōu)化模型的邊界曲線外輪廓無法精確表達。在產(chǎn)品的研發(fā)中沒有設計方法可滿足從設計到分析在同一個模型數(shù)據(jù)下進行，而等幾何方法的提出則滿足了CAD模型和CAE模型的統(tǒng)一表達和計算。

等幾何分析(IGA)是HUGHES等人基于等參單元思想提出的分析方法，它提供了計算的可能性，將分析方法集成到計算機輔助設計(CAD)工具中。等幾何模型都是由非均勻有理B樣條(NURBS)參數(shù)化表示的，其幾何模型與分析模型不需要轉(zhuǎn)化，避免了模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換誤差，其好處是從設計到分析所花費的時間減少，從而節(jié)省了工業(yè)生產(chǎn)中的時間成本。在等幾何分析中，CAD和CAE的緊密耦合需要這兩個領(lǐng)域的知識，即計算幾何和計算力學，可以解決有限元優(yōu)化中邊界運動所導致的模型邊界不規(guī)則、網(wǎng)格扭曲等問題，目前已應用于板殼分析、流體力學、接觸分析、優(yōu)化設計、電磁場等。

本文介紹了等幾何分析的理論，使用體參數(shù)化造型方法生成三維幾何模型。最后，通過與有限元方法的變形和應力分布等分析結(jié)果對比驗證等幾何分析算法的正確性，以及計算結(jié)果的收斂性差異。

2 幾何模型構(gòu)建(Geometric modeling)

2.1 NURBS曲面

NURBS曲面的定義：

2.2 多片分析模型

同理，NURBS實體表達式定義為：

各參數(shù)所代表的含義同NURBS曲面定義的參數(shù)。

NURBS實體基函數(shù)表達式為：

圖1 圓筒幾何模型圖Fig.1 Cylinder geometry model diagram

3 等幾何分析理論(Theory of isogeometric analysis)

3.1 等參思想

在CAD中，實體實際上只是邊界的表面，而不是內(nèi)部的建模，而在FEM中是一個三維實體，因此從CAD實體到FEM實體的過渡需要一個CAD的步驟邊界表示法轉(zhuǎn)化為有限元實體表示法。在實際應用中，很多情況下幾何模型比較復雜，此時選用曲邊單元代替直邊單元來進行幾何域的逼近。為了積分求解的簡便，要在規(guī)整單元域中進行，必須在規(guī)整單元域和曲邊單元域之間建立參數(shù)映射，稱之為參數(shù)域和物理域之間的參數(shù)變換，即為等參變換，單元為等參單元。

在等幾何分析中，需要用到兩級映射，第一是母單元到參數(shù)空間映射，第二是參數(shù)空間到物理域映射。

母單元到參數(shù)空間映射公式：

參數(shù)空間到物理域映射公式：

雅可比矩陣行列式公式：

3.2 線彈性力學分析

式中，左端為等效力，為剛度矩陣，為控制點位移。其中，在等幾何分析中的單元剛度K和矩陣的表達式為：

3.3 等幾何分析流程

(1)針對復雜幾何模型無法直接進行整體網(wǎng)格劃分的特點，采用剪裁操作或劃分子域。

(2)在各個子域內(nèi)進行體參數(shù)化處理。利用NURBS建模技術(shù)，通過表面控制點的體參數(shù)化得到內(nèi)部控制點，然后根據(jù)網(wǎng)格評判標準對控制點網(wǎng)格進行優(yōu)化，最后得到可用于分析的控制點網(wǎng)格模型。

(3)選擇合適的網(wǎng)格細分策略進行模型網(wǎng)格細分操作，以提高分析的結(jié)果精度，可以對關(guān)鍵受力點進行局部細分操作。

(4)進行單元剛度矩陣的列式求解，選用合適的高斯積分點，引入等參概念，將位移、應力等要求解的未知量表示為與幾何模型相同的基函數(shù)表達形式。

(5)根據(jù)FEM中對號入座裝配原則，將單元剛度矩陣組裝成總體剛度矩陣。

(6)將實際載荷與約束進行等效，轉(zhuǎn)移到控制點上，對總體剛度矩陣形成的方程組進行求解，然后求出控制點位移的值，進而求出其他未知變量的值。

(7)分析完成后，顯示各種結(jié)果云圖，并進行相應后處理。

等幾何分析流程圖如圖2所示。

圖2 等幾何分析流程圖Fig.2 Flow chart of IGA

4 數(shù)值結(jié)果對比(Comparison of numerical results)

接下來根據(jù)前述等幾何分析理論，通過編程實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的靜力學分析，以證明該方法的正確性。梁結(jié)構(gòu)在工程中應用廣泛，在機械、土木行業(yè)的大規(guī)模承載結(jié)構(gòu)和電子元件等微結(jié)構(gòu)設計中發(fā)揮著重要作用。梁結(jié)構(gòu)采用有限元方法進行仿真分析時，需要將幾何模型剖分為網(wǎng)格模型，對曲梁結(jié)構(gòu)采用以直代曲的方式生成有限元模型，這個過程中引入了幾何誤差，用等幾何分析方法保證邊界曲面模型精度，對其進行仿真提高計算精度。在下述算例中，變量均采用國際單位制，長度的單位采用m，力的單位采用N，應力和彈性模量的單位采用Pa。梁模型尺寸如圖3所示，梁左側(cè)邊完全固定，右側(cè)施加力44,480 N。模型的材料屬性楊氏模量和泊松比分別設為2.1018E10 Pa和0.3。

圖3 梁模型邊界示意圖Fig.3 Boundary diagram of beam model

等幾何分析結(jié)果圖如圖4(a)所示，K細化兩次后的結(jié)果如圖4(c)所示，在相同材料屬性和約束載荷的工況下有限元分析結(jié)果如圖4(d)所示。基于等幾何分析的三維懸臂梁算例與有限元結(jié)果對比，從位移對和應力對比的結(jié)果看出分布基本一致。

圖4 梁分析結(jié)果Fig.4 Beam analysis results

分析位移收斂曲線如圖5(a)所示，應力收斂曲線如圖5(b)所示，等幾何分析使用更少的單元數(shù)細化兩次結(jié)果收斂。

圖5 梁細化收斂曲線Fig.5 The refined convergence curve of the beam

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)顯示，IGA算法分析結(jié)果和FEM分析軟件對比結(jié)果誤差很小，其中位移誤差為3.8%，應力誤差為0.25%，僅使用單片幾何模型結(jié)果已接近真值，使用多片模型分析時其收斂速度更快。這驗證了三維等幾何分析算法的正確性，使用等幾何分析算法保證了模型的高階連續(xù)，提高了邊界的精度，且不需要劃分很多網(wǎng)格。根據(jù)表2中IGA和FEM的節(jié)點數(shù)與單元數(shù)大小可以看出，有限元分析的剛度矩陣明顯比等幾何分析的剛度矩陣規(guī)模大，計算量更加煩瑣，因此等幾何分析的計算效率高。

表1 數(shù)值精度誤差Tab.1 Numerical accuracy error

表2 結(jié)果細化收斂對比Tab.2 Comparison of results refinement convergence

5 結(jié)論(Conclusion)

等幾何分析采用描述幾何形狀的NURBS函數(shù)作為基函數(shù)，具有幾何精確特性，且離散的幾何形狀不隨單元的稀疏而改變，這意味著即使是比較稀疏的網(wǎng)格劃分，也能精確描述研究對象的幾何形狀，具有很高的數(shù)值精度。NURBS本身就具有網(wǎng)格，一個NURBS實體包含若干個NURBS單元，分析時這些單元成為精確描述幾何形狀的實體單元。NURBS單元也可以細分，基函數(shù)的次數(shù)也可提高，保證了模型的光滑，計算結(jié)果更加精確。等幾何分析在設計分析優(yōu)化中也具有很大的優(yōu)勢，使用NURBS曲線來擬合模型外輪廓以保證邊界精度，將控制點坐標作為設計變量進行迭代優(yōu)化，完成形狀優(yōu)化，有效減少優(yōu)化中設計變量的數(shù)目來提高優(yōu)化效率。在優(yōu)化后采用等幾何分析算法分析體參數(shù)化后的三維模型，避免模型數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化，提高力學分析的計算效率和精度。

等幾何分析同時存在一定的局限性，一方面，對模型單元的剖分以及模型質(zhì)量要求高，一些不規(guī)則圖形如點陣材料等還無法通過簡單的掃描、拉伸、旋轉(zhuǎn)、放樣等體參數(shù)化映射方法得到，一些細微的特征如倒角、圓角和小孔等也無法完全保留;另一方面，使用直接和迭代線性代數(shù)方程解算器直接解算，對于剖面結(jié)構(gòu)及殼結(jié)構(gòu)通常比迭代的對角預處理共軛梯度解算更有效。但是對于NURBS實體來說，為保證收斂，細化模型多次后雖然網(wǎng)格精細，卻無法直接用求解器計算，因為超出內(nèi)存，元素的長寬比非常大，求解的方程數(shù)量也大。研究等幾何分析后續(xù)需要對數(shù)值計算算法進行更深入的研究，保證在提高精度的同時計算速度快。