帶摩擦補(bǔ)償?shù)倪\(yùn)動(dòng)控制探索型實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

程國揚(yáng)， 劉陽陽

(福州大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福州 350108)

0 引 言

摩擦現(xiàn)象在機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中普遍存在，它產(chǎn)生于存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)(或趨勢(shì))的兩個(gè)接觸表面之間，起到阻礙運(yùn)動(dòng)的作用。摩擦力(或力矩)具有復(fù)雜的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)特性，這給機(jī)電系統(tǒng)的精確運(yùn)動(dòng)控制帶來了挑戰(zhàn)。因此，對(duì)摩擦現(xiàn)象的數(shù)學(xué)建模和補(bǔ)償控制成為機(jī)械工程和控制工程領(lǐng)域的共同研究課題[1-3]。

摩擦模型可以分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型兩大類[4]。靜態(tài)模型將摩擦力描述為相對(duì)速度的函數(shù)。目前常用的靜態(tài)摩擦模型有庫侖摩擦模型、庫侖摩擦+黏滯模型、Stribeck摩擦模型、Karnopp摩擦模型等。當(dāng)相對(duì)速度為零時(shí)，摩擦力依賴于外部作用力，此時(shí)稱為靜摩擦力;當(dāng)外部作用力大于最大靜摩擦力時(shí)，系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的摩擦力典型地會(huì)顯著減小，這也是導(dǎo)致爬行現(xiàn)象和極限環(huán)的主要原因[5-6]。靜態(tài)摩擦模型主要描述宏觀的摩擦特性；而動(dòng)態(tài)摩擦模型則可以進(jìn)一步描述摩擦的微觀動(dòng)態(tài)特性，諸如摩擦記憶、滯環(huán)特性、預(yù)滑動(dòng)位移等現(xiàn)象。目前動(dòng)態(tài)摩擦模型研究較多的有Dahl模型、鬃毛模型、復(fù)位積分模型、LuGre模型[7-8]等。

摩擦的補(bǔ)償控制也分為無模型補(bǔ)償和基于模型的補(bǔ)償。其中無模型補(bǔ)償是把摩擦力當(dāng)作是一種擾動(dòng)，通過設(shè)計(jì)魯棒控制器來消除或減弱擾動(dòng)的影響[9]?；谀Ｐ偷难a(bǔ)償則又細(xì)分為基于靜態(tài)模型的補(bǔ)償和基于動(dòng)態(tài)模型的模型，其中前者通過事先或在線辨識(shí)一個(gè)靜態(tài)模型的參數(shù)，并根據(jù)模型進(jìn)行補(bǔ)償控制?；趧?dòng)態(tài)模型的補(bǔ)償方法在理論上可以達(dá)到更好的控制效果，但由于動(dòng)態(tài)模型的復(fù)雜性，其參數(shù)辨識(shí)比較困難，往往需借助自適應(yīng)控制的方法來實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償[10]，而機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性較快，在其瞬態(tài)過程中難以確保自適應(yīng)控制的參數(shù)收斂，所以實(shí)際應(yīng)用起來有一定的難度。

本文針對(duì)工業(yè)中典型的伺服電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，研究其位置跟蹤控制和摩擦補(bǔ)償問題。首先設(shè)計(jì)一個(gè)復(fù)合非線性控制器[11]，實(shí)現(xiàn)對(duì)給定軌跡的快速且平穩(wěn)的跟蹤；采用Stribeck模型對(duì)系統(tǒng)中存在的摩擦力矩進(jìn)行建模與參數(shù)辨識(shí)；在軌跡跟蹤控制器中加入摩擦補(bǔ)償，得到最終的控制方案。接著在MATLAB中建立仿真模型，用于仿真分析；隨后基于TMS320F28335數(shù)字信號(hào)處理器進(jìn)行控制算法編程，在一臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。整個(gè)設(shè)計(jì)最終形成一個(gè)綜合實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，用于支持本科生和研究生相關(guān)課程的實(shí)驗(yàn)教學(xué)[12-15]。

1 軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)

機(jī)電設(shè)備中伺服運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)通常可用如下的數(shù)學(xué)模型來描述：

(1)

式中：y和v分別為被控系統(tǒng)的位置輸出量(可量測(cè))和速度;u為控制信號(hào)(轉(zhuǎn)矩電流或輸入電壓);d代表由負(fù)載擾動(dòng)、摩擦力矩和其他不確定因素折合而成的未知擾動(dòng);a≤0與b>0為系統(tǒng)參數(shù)?？紤]到實(shí)際系統(tǒng)的限制，引入飽和限幅函數(shù)sat(·)，定義如下：

sat(u)=sign(u)·min{|>u|,umax}

(2)

式中：sign(·)為標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)函數(shù)；min{}表示取集合元素的最小值；umax為控制量的飽和限幅值。

定義誤差信號(hào)：

則有:

式中:

(3)

定義狀態(tài)向量

則有:

(4)

式中，

針對(duì)模型(4)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制律，使e(t)→0。這里采用復(fù)合非線性控制技術(shù)[11]。這種控制技術(shù)可以突破線性控制技術(shù)的性能局限(即在給定帶寬下快速響應(yīng)與低超調(diào)不能得兼)，實(shí)現(xiàn)快速平穩(wěn)且準(zhǔn)確的軌跡跟蹤。所設(shè)計(jì)的控制律如下：

(5)

設(shè)計(jì)非線性反饋控制律，來動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)閉環(huán)阻尼系數(shù)。選取一個(gè)正定對(duì)角陣

求解Lyapunov方程

(A+BF)TP+P(A+BF)=-W

得到一個(gè)正定矩陣

則非線性反饋增益矩陣為

選取一個(gè)平滑的非線性增益函數(shù)

(6)

式中：α、β是非負(fù)的可調(diào)參數(shù)。ρ(e1(t))的絕對(duì)值隨著跟蹤誤差e1(t)=y(t)-r(t)絕對(duì)值的增大而遞減，如圖1所示。這使得非線性反饋控制的強(qiáng)度可以動(dòng)態(tài)調(diào)整。

圖1 非線性函數(shù)ρ(e)的示意圖

根據(jù)式(3)，可解得系統(tǒng)(1)的跟蹤控制信號(hào)(暫時(shí)忽略飽和限幅函數(shù))為

(7)

(8)

式中，ζ0∈(0,1]和ω0>0分別是觀測(cè)器極點(diǎn)的阻尼系數(shù)與自然頻率。基于觀測(cè)器的跟蹤控制律為

(9)

(10)

2 摩擦模型的辨識(shí)

針對(duì)伺服運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行摩擦力矩的數(shù)學(xué)建模，采用如下的Stribeck模型：

Tf(v,Te)=

(11)

式中：

Tg(v)=[Tc+(Ts-Tc)e-(v/vs)2]sign(v)+σv

v為電動(dòng)機(jī)速度(rad/s);Te為外作用力矩;Tc為庫侖摩擦力矩;Ts為最大靜摩擦力矩;vs為Stribeck速度;σ為黏滯摩擦系數(shù)。注意，式(11)中摩擦力矩Tf的表達(dá)式帶有負(fù)號(hào)，是因?yàn)槟Σ镣ǔＪ亲璧K運(yùn)動(dòng)的。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定時(shí)，電磁轉(zhuǎn)矩(扣除負(fù)載轉(zhuǎn)矩后)與摩擦力矩的值是大小相等,方向相反的。因?yàn)殡姶呸D(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩電流成正比關(guān)系，所以當(dāng)電動(dòng)機(jī)勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)矩電流之值可以表示摩擦力矩的大小。由于模型(1)把摩擦力矩和其他擾動(dòng)都?xì)w入與控制信號(hào)(轉(zhuǎn)矩電流)同一通道中，這里的摩擦力矩折算后成為等效電流，具有與電流相同的量綱，即采用安培(A)作為計(jì)量單位(等效值)。

對(duì)實(shí)驗(yàn)用的永磁同步電動(dòng)機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行速度閉環(huán)控制，使電動(dòng)機(jī)做勻速運(yùn)動(dòng)，通過測(cè)量多組電流-速度數(shù)據(jù)，利用MATLAB軟件的非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit得到模型參數(shù)值:Tc=52.8 mA,Ts=191.5 mA,vs=8.613 8 rad/s,σ=0.2 mA·s/rad。

圖2給出了擬合后的摩擦模型曲線(數(shù)據(jù)取正值)，其中只擬合了速度為正時(shí)的非線性曲線。速度為負(fù)時(shí)，所測(cè)量的數(shù)據(jù)基本與速度為正時(shí)的一致，只是符號(hào)相反，即曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故速度反向的擬合曲線在此處不再繪制。

圖2 轉(zhuǎn)矩電流與角速度的擬合曲線

辨識(shí)的摩擦模型將用于仿真時(shí)的對(duì)象模型描述和摩擦補(bǔ)償控制律。當(dāng)摩擦模型用于描述對(duì)象特性時(shí)，其速度變量用真實(shí)的速度信號(hào)；而進(jìn)行摩擦補(bǔ)償時(shí)，只能用觀測(cè)器估計(jì)的速度信號(hào)。

3 仿真分析

在MATLAB中搭建了軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的仿真模型，并進(jìn)行仿真分析。針對(duì)式(1)所描述的伺服系統(tǒng)，采用系統(tǒng)辨識(shí)的方法得到其標(biāo)稱模型的參數(shù)值為：a=-10，b=1 950。根據(jù)設(shè)備的物理參數(shù)，確定umax=1.5 A，擾動(dòng)d主要包含兩部分：負(fù)載dL(等效值0～-0.8 A)，以及摩擦力矩Tf。

選取軌跡跟蹤控制律的參數(shù)如下：ζc=0.3，ωc=30，α=10,β=2,ζ0=0.8，ω0=100。當(dāng)采用不同的補(bǔ)償控制方案時(shí)，系統(tǒng)的最終控制信號(hào)根據(jù)下式給出：

u(t)=

上述控制律可以統(tǒng)一表示為

(12)

式中：λ1和λ2為可調(diào)參數(shù)，它們都在區(qū)間[0,1]上取值，通過選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)值，可以實(shí)現(xiàn)各種補(bǔ)償控制方案，甚至可以只進(jìn)行部分補(bǔ)償，從而在控制精度和魯棒性(對(duì)噪聲的不敏感度)之間折中。這種參數(shù)化控制律為系統(tǒng)的靈活組態(tài)、編程實(shí)現(xiàn)以及性能優(yōu)化帶來了方便。

在給定正弦軌跡信號(hào)r(t)=2sin(2πt+π/3)和負(fù)載擾動(dòng)dL=-0.5 A(近似為半載)情況下進(jìn)行仿真，所得結(jié)果如圖3～6所示。圖中顯示了給定軌跡與輸出軌跡，估計(jì)的速度、負(fù)載、摩擦力矩，以及控制量(即轉(zhuǎn)矩電流)。由圖3可以看出，若控制律中無任何補(bǔ)償(但仍繼續(xù)對(duì)兩種擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì))，則跟蹤軌跡會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，并在峰頂和谷底出現(xiàn)了平頂現(xiàn)象(即爬行現(xiàn)象)，跟蹤誤差是由負(fù)載和摩擦共同作用造成的，而平頂現(xiàn)象主要是由摩擦導(dǎo)致的。由圖4可以看出，加入負(fù)載補(bǔ)償后，系統(tǒng)的跟蹤性能有了很大的提升，但在軌跡的峰頂和谷底依舊存在輕微的平頂現(xiàn)象，這時(shí)的控制律把未補(bǔ)償?shù)哪Σ亮禺?dāng)成是負(fù)載來進(jìn)行估計(jì)，但由于摩擦力矩是時(shí)變的，基于觀測(cè)器(假設(shè)擾動(dòng)為慢變化或定值)的補(bǔ)償并不能完全消除摩擦所帶來的不良影響，這也說明了對(duì)摩擦進(jìn)行建模補(bǔ)償?shù)谋匾浴D5表明在對(duì)摩擦進(jìn)行補(bǔ)償之后，系統(tǒng)的輸出軌跡比較平滑，不會(huì)出現(xiàn)平頂，但由于未補(bǔ)償負(fù)載，軌跡跟蹤出現(xiàn)了明顯的誤差。從圖6可以看到，當(dāng)控制律同時(shí)對(duì)負(fù)載和摩擦加以補(bǔ)償時(shí)，軌跡跟蹤非常準(zhǔn)確，平頂現(xiàn)象已經(jīng)消失，說明加入摩擦補(bǔ)償起到了很好的補(bǔ)償效果。這驗(yàn)證了在摩擦模型參數(shù)辨識(shí)足夠精確的情況下，采用基于Stribeck摩擦模型反饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合非線性控制方案可以在帶有摩擦的伺服機(jī)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的位置軌跡控制。

圖3 無補(bǔ)償時(shí)的仿真結(jié)果

圖4 僅補(bǔ)償負(fù)載時(shí)的仿真結(jié)果

圖5 僅補(bǔ)償摩擦?xí)r的仿真結(jié)果

圖6 同時(shí)補(bǔ)償負(fù)載與摩擦?xí)r的仿真結(jié)果

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

采用TMS320F28335為主控芯片，利用Code Composer Studio(CCS)軟件，在一臺(tái)永磁同步電動(dòng)機(jī)(PMSM)試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)，如圖7所示。電動(dòng)機(jī)型號(hào)為60CB020C，其額定轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，額定轉(zhuǎn)矩為0.64 N·m；帶有2 500線的雙路正交光電碼盤，利用一個(gè)磁粉制動(dòng)器來提供負(fù)載。電動(dòng)機(jī)的電流內(nèi)環(huán)已先行實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)控制，電流環(huán)和脈寬調(diào)制的采樣頻率是20 kHz，位置環(huán)采用本文設(shè)計(jì)的控制律進(jìn)行軌跡跟蹤，其采樣周期為Ts=2 ms。

圖7 電動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)臺(tái)

實(shí)驗(yàn)中采用的控制參數(shù)值與仿真時(shí)相同。給定目標(biāo)軌跡為正弦信號(hào)r(t)=π·sin(2πt+π/6)，該軌跡的周期為1 s。程序中使用4通道DLOG模塊來采集數(shù)據(jù)，每個(gè)通道保存1 024個(gè)采樣點(diǎn)。為了看到完整的正弦波以及軌跡跟蹤的瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程，在程序中設(shè)置一個(gè)方波信號(hào)，即當(dāng)方波處于高電平時(shí)，讓電動(dòng)機(jī)跟蹤目標(biāo)軌跡；當(dāng)方波處于低電平時(shí)，使電動(dòng)機(jī)位置回零。設(shè)置高電平持續(xù)時(shí)間為750個(gè)采樣周期，低電平為274個(gè)采樣周期，則可以保證在1 024個(gè)采樣點(diǎn)中，可以看到一個(gè)半周期的正弦波軌跡。

首先在20%負(fù)載的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，所得結(jié)果如圖8～10所示。圖8是控制律中無補(bǔ)償時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出軌跡不但在峰頂和谷底有明顯平頂現(xiàn)象，而且出現(xiàn)較大的誤差；當(dāng)控制律中加入負(fù)載補(bǔ)償后，軌跡跟蹤性能明顯改善(見圖9)，除了在峰頂和谷底時(shí)有較輕的平頂現(xiàn)象外，基本實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確的軌跡跟蹤；如圖10所示，當(dāng)同時(shí)進(jìn)行負(fù)載和摩擦補(bǔ)償時(shí)，輸出軌跡的峰頂和谷底變得更加平滑，能夠較好地跟蹤目標(biāo)軌跡，說明摩擦補(bǔ)償起到較好的補(bǔ)償效果。圖11是在60%負(fù)載下同時(shí)進(jìn)行負(fù)載和摩擦補(bǔ)償?shù)能壽E跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以看到系統(tǒng)基本能平滑地跟蹤目標(biāo)軌跡，但在靠近峰頂和谷底的位置，仍有肉眼可見的跟蹤誤差。這可能是因?yàn)槟Σ聊Ｐ捅孀R(shí)得不夠準(zhǔn)確，以及系統(tǒng)中帶有時(shí)變不確定性，無法完全通過觀測(cè)器準(zhǔn)確估計(jì)出來用于補(bǔ)償。圖12給出了在60%負(fù)載下對(duì)定點(diǎn)目標(biāo)π的跟蹤控制結(jié)果，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了快速且低超調(diào)的跟蹤性能，穩(wěn)態(tài)誤差可忽略。實(shí)驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)，在定點(diǎn)跟蹤控制時(shí)，采用負(fù)載補(bǔ)償已經(jīng)可達(dá)到較理想的性能，再加入摩擦補(bǔ)償后性能改善并不明顯，這一點(diǎn)與曲線軌跡跟蹤時(shí)的情形有所不同，這是因?yàn)榍€軌跡跟蹤時(shí)系統(tǒng)會(huì)周期性地出現(xiàn)速度過零的位置，而在低速區(qū)域摩擦力矩的影響較大，所以相應(yīng)地摩擦補(bǔ)償?shù)男Ч草^為明顯。

圖8 負(fù)載20%下無任何補(bǔ)償?shù)膶?shí)驗(yàn)結(jié)果

圖9 負(fù)載20%下僅補(bǔ)償負(fù)載時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖10 負(fù)載20%下同時(shí)補(bǔ)償負(fù)載與摩擦?xí)r的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖11 負(fù)載60%下同時(shí)補(bǔ)償負(fù)載與摩擦?xí)r的軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖12 負(fù)載60%下同時(shí)補(bǔ)償負(fù)載與摩擦的定點(diǎn)跟蹤實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié) 語

針對(duì)伺服運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種軌跡跟蹤控制器，采用基于擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的線性與非線性控制相結(jié)合的方案，消除負(fù)載擾動(dòng)和其他不確定性帶來的影響；通過對(duì)摩擦力矩的數(shù)學(xué)建模，在軌跡控制律中加入摩擦補(bǔ)償作用，最終實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的軌跡跟蹤。進(jìn)行MATLAB數(shù)值仿真和基于DSC芯片的實(shí)時(shí)控制，測(cè)試比較了各種補(bǔ)償控制方案的性能。實(shí)驗(yàn)應(yīng)用到本科生的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)訓(xùn)和研究生的伺服工程科研實(shí)踐環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生掌握軌跡跟蹤控制方法和摩擦建模與補(bǔ)償技術(shù)。今后，我們還將融入?yún)?shù)自校正、學(xué)習(xí)控制、性能預(yù)測(cè)等手段，實(shí)現(xiàn)高精度伺服控制，并推廣應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域。