四維Minkowski空間中偽零曲線的結(jié)構(gòu)函數(shù)

胡 娜，張亭亭，姜 楊

(1.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，沈陽 110870；2.沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，沈陽 110034)

設(shè)R4為四維實向量空間,x=(x1,x2,x3,x4),y=(y1,y2,y3,y4),z=(z1,z2,z3,z4)為R4中的向量.在R4上定義內(nèi)積為

e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1).

1 預(yù)備知識

(1)

其中T(s),N(s),B1(s),B2(s)分別是α(s)的切向量、主法向量、第一副法向量、第二副法向量,k1,k2稱為偽零曲線α(s)曲率函數(shù),且滿足

〈T,T〉=〈N,B2〉=〈B1,B1〉=1,

〈B2,B2〉=〈N,B1〉=〈B1,B2〉=0,〈T,N〉=〈T,B1〉=〈T,B2〉=〈N,N〉=0.

2 主要結(jié)論

2.1 偽零曲線的表達形式

設(shè)偽零曲線α(s)的主法向量為α″(s)=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4)，因為α″(s)是類光向量,則

可得

(2)

于是偽零曲線的切向量與主法向量可表示為

N=α″=ρ(2f,2g,1-f2-g2,1+f2+g2).

注1若ξ3=±ξ4=f(s),則ξ1=ξ2=0,α″=(0,0,f(s),±f(s)).此時,α?是類光向量,所以ξ3≠±ξ4.

定義1上述函數(shù)f(s)和g(s)稱為偽零曲線α(s)的結(jié)構(gòu)函數(shù).

(3)

α?=ρs(2f,2g,1-f2-g2,1+f2+g2)+2ρ(fs,gs,-ffs-ggs,ffs+ggs),

設(shè)B2=aα′+bα″+cα?+dα(4),經(jīng)計算可得

α(4)=ρss(2f,2g,1-f2-g2,1+f2+g2)+4ρs(fs,gs,-ffs-ggs,ffs+ggs)+

由〈B2,α′〉=〈B2,α?〉=0,〈B2,α″〉=1和〈B2,B2〉=0,可得

B2=bα″+cα?+dα(4),

(4)

證畢.

(5)

則可得如下定理.

N=ρ(2f,2g,1-f2-g2,1+f2+g2),

其中ρ滿足式(5).

2.2 特殊曲率的偽零曲線

3 結(jié)語

本文討論了四維Minkowski空間中的偽零曲線.通過建立偽零曲線的基本理論,提出結(jié)構(gòu)函數(shù)的概念,從而得到曲率函數(shù)與結(jié)構(gòu)函數(shù)之間的關(guān)系,同時利用結(jié)構(gòu)函數(shù)給出偽零曲線的Frenet標(biāo)架及曲線的表達形式.與之前對于此類曲線的研究相比,這種表達更加形象具體,為今后偽零曲線的進一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ).