“隱零點(diǎn)”的破解策略

郭琳琳 管成芳

(山東省淄博市臨淄中學(xué))

“隱零點(diǎn)”問題是導(dǎo)數(shù)壓軸題中常見的一類重點(diǎn)問題,也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的?？紗栴}.在破解導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí),經(jīng)常會(huì)碰到導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn),但求解此“隱零點(diǎn)”相對(duì)比較繁雜甚至出現(xiàn)無法求解的情況,此時(shí)我們一般對(duì)此“隱零點(diǎn)”設(shè)而不求,通過整體代換加以過渡,再結(jié)合題目的其他條件解決問題.

1 破解“隱零點(diǎn)”問題的基本策略

1)借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性或利用“二分法”進(jìn)一步縮小零點(diǎn)的范圍,列出零點(diǎn)方程f′(x0)＝0,并結(jié)合f′(x)的單調(diào)性確定零點(diǎn)x0的取值范圍；

2)以零點(diǎn)x0為分界點(diǎn),說明導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)取值情況,進(jìn)而得到f(x)的最值表達(dá)式；

3)將零點(diǎn)方程f′(x0)＝0加以適當(dāng)變形,整體代入進(jìn)行化簡(jiǎn)證明,從而求最值、解不等式.

破解導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”問題最根本的就是整體代換,合理借助“指”“對(duì)”替換,抓住零點(diǎn)的取值范圍,構(gòu)造新的函數(shù)求解最值或證明不等式.而對(duì)于含有參數(shù)的問題,在整體代換時(shí),參數(shù)的消與留,往往根據(jù)具體的問題進(jìn)行合理判斷.

2 “隱零點(diǎn)”問題的常見題型

2.1 “隱零點(diǎn)”的存在性

2.2 參數(shù)取值的確定

2.3 不等式的證明

例3 已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1,g(x)＝axex－4x,其中a為大于零的常數(shù).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證:g(x)－2f(x)≥2(lna－ln2).

合理構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況確定導(dǎo)函數(shù)的“隱零點(diǎn)”,建立涉及“隱零點(diǎn)”的方程,為下一步的整體代換與化歸轉(zhuǎn)化提供條件,這是證明不等式問題經(jīng)常應(yīng)用到的策略與技巧.

導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”雖然難以求解,但只要抓住其特征(零點(diǎn)方程),判斷其范圍(用函數(shù)零點(diǎn)存在定理),最后整體代入即可.解題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化、巧妙推理.導(dǎo)函數(shù)“隱零點(diǎn)”問題能有效交會(huì)與融合函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等眾多相關(guān)的知識(shí),選拔性強(qiáng)、區(qū)分度高,可以很好地考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.