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    強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考系列講座(6)
    ——集合與函數(shù)(上)

    2022-08-02 09:20:42王雪芹王慧興
    高中數(shù)理化 2022年13期
    關(guān)鍵詞:柯西子集考試題

    王雪芹 王慧興

    (1.北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 2.清華大學(xué)附屬中學(xué))

    高校強(qiáng)基計(jì)劃??荚囶}與高考試題突出互補(bǔ)性,本文基于這種互補(bǔ)性構(gòu)建“集合與函數(shù)”學(xué)習(xí)輔導(dǎo).

    1 知識(shí)與技能

    1.1 集合

    表1

    1.2 常用邏輯

    表2

    1.3 函數(shù)

    表3

    2 要點(diǎn)解析

    2.1 反證法

    準(zhǔn)確提出反證假設(shè),由之出發(fā),經(jīng)邏輯推理,揭示出矛盾,得出反證假設(shè)不成立,從而肯定欲證命題成立.反證法是間接論證命題的一種方法,其本質(zhì)是證明“原命題的否定”不成立,或論證其“逆否命題”成立;提出反證假設(shè),融入已知,相當(dāng)于增加一個(gè)條件,再進(jìn)行推理,目標(biāo)是構(gòu)建矛盾.

    2.2 集合運(yùn)算關(guān)聯(lián)性質(zhì)

    設(shè)U為全集,集合A,B,C?U,記集合X(X?U)的補(bǔ)集為ˉX=?UX.

    2.3 差集與對(duì)稱(chēng)差

    (1)差集:AB={x|x∈A,x?B}.

    (2)對(duì)稱(chēng)差:AΔB=(AB)∪(BA)=(A∪B)(A∩B).

    (3)A∩B=A(AB);通常A(AB)?B,特別地,當(dāng)B?A時(shí),有A(AB)=B.

    (4)記有限集合X的元素個(gè)數(shù)為|X|,則對(duì)有限集合A,B,有|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|,特別地,當(dāng)A∩B=?時(shí),有

    (5)若非空有限集合A,B滿(mǎn)足|A∩B|=1,則|A|+|B|≥3.

    2.4 集合之間定義加法、減法、乘法等新運(yùn)算

    (1)加法:A+B={a+b|a∈A,b∈B}.

    (2)減法:A-B={a-b|a∈A,b∈B}.

    (3)數(shù)乘:kA={ka|a∈A}.

    (4)乘法:A·B={ab|a∈A,b∈B}.

    (5)笛卡爾積:A×B={(a,b)|a∈A,b∈B},坐標(biāo)平面點(diǎn)集R2={(x,y)|x,y∈R}.

    2.5 集合劃分與加法原理

    (1)集合劃分:如果集合S的一組兩兩交集都是空集的非空子集A1,A2,…,An,滿(mǎn)足A1∪A2∪…∪An=S,則稱(chēng)子集組{A1,A2,…,An}構(gòu)成集合S的一個(gè)n-劃分;對(duì)任意一子集A?S,都有

    A=(A∩A1)∪(A∩A2)∪…∪(A∩An).

    加法原理:對(duì)有限集合S的任意一n-劃分{A1,A2,…,An},都有|S|=|A1|+|A2|+…+|An|.

    (2)容斥計(jì)數(shù)原理:對(duì)任意一組有限子集A1,

    2.6 子集極值

    (3)子集極值有兩類(lèi)問(wèn)題,其一是滿(mǎn)足某種條件的子集中元素個(gè)數(shù)最多或最少的問(wèn)題,其二是滿(mǎn)足某種條件的子集組中子集個(gè)數(shù)最多或最少的問(wèn)題.

    2.7 函數(shù)圖像

    函數(shù)圖像提供直觀(guān)想象情境,函數(shù)y=f(x)(x∈D)的圖像是指點(diǎn)集Ff={(x,f(x))|x∈D}在坐標(biāo)系中的可視化表現(xiàn),通常是一條曲線(xiàn),或一個(gè)點(diǎn)列.其基本特征:任意一垂直于x軸的直線(xiàn)至多與這條曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn),要把握各種典型函數(shù)的圖像.

    2.8 數(shù)形結(jié)合

    基于圖像建立不等式是不等式證明與多元最值探究的一項(xiàng)基本技能,也是學(xué)以致用的根本要求.例如,基于函數(shù)y=sinx圖像,可以建立如下不等式:

    2.9 典型函數(shù)

    我們?cè)诔醯群瘮?shù)中提出典型函數(shù)概念,它由基本初等函數(shù)建構(gòu),分為兩個(gè)層次,把不需要借助導(dǎo)數(shù)工具就能理解性質(zhì)與作圖的一些初等函數(shù)稱(chēng)為第一類(lèi)典型函數(shù),而把需要應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)才能分析性質(zhì)與作圖的一些初等函數(shù)稱(chēng)為第二類(lèi)典型函數(shù),第一類(lèi)典型函數(shù)分為如下五條主線(xiàn),如表4所示.

    表4

    2.10 映射抽象

    設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈D)的值域記作M,從定義域到值域上的映射f:D→M,當(dāng)這個(gè)映射是雙射時(shí),就有逆映射f-1:M→D,由此定義反函數(shù)y=f-1(x)(x∈M).

    表5

    2.11 復(fù)合與迭代

    表6

    2.12 函數(shù)方程

    (1)函數(shù)方程及其解法

    表7

    (2)柯西方程

    表8

    要完整掌握柯西方程,從高校自主招生試題與強(qiáng)基計(jì)劃??汲霈F(xiàn)過(guò)的函數(shù)方程題目來(lái)看,強(qiáng)基命題十分重視柯西方程這個(gè)基本模型.這不僅是因?yàn)楹瘮?shù)方程是函數(shù)分析路徑的頂端,即“基本初等函數(shù)→初等函數(shù)→抽象函數(shù)→函數(shù)方程→微積分方法→微分方程→……”,另一個(gè)重要原因是通過(guò)求解函數(shù)方程能深刻地培育學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此,同學(xué)們要注重歷練函數(shù)方程求解,尤其是柯西方程及其變式.

    (3)柯西方程變式

    表9

    3 典例精析

    3.1 集合

    圖1

    3.2 邏輯用語(yǔ)

    3.3 代數(shù)式靈活變形

    代數(shù)式靈活變形既表現(xiàn)在恒等變形又表現(xiàn)在合理放縮,向著目標(biāo)調(diào)結(jié)構(gòu).

    例6 (清華大學(xué))已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足a3+b3+3ab=1,其中a+b取值的集合為M,則( ).

    A.M是單元素集

    B.M為有限集,但不是單元素集

    C.M是無(wú)限集,且有下界

    D.M是無(wú)限集,且無(wú)下界

    3.4特型方程求解

    3.5 定義與三要素

    函數(shù)的三要素是理解函數(shù)、分析函數(shù)的性質(zhì)、論證函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ),在各種變式情境中都要準(zhǔn)確理解函數(shù)三要素.

    所以A?B=AΔB=(- ∞,-3]∪[0,1)∪(3,+∞).

    3.6 映射與反函數(shù)

    高校強(qiáng)基計(jì)劃??荚囶}提示我們,對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的要求務(wù)必上升到映射觀(guān)點(diǎn)理解函數(shù),清晰理解反函數(shù)概念及其雙射基礎(chǔ),能夠以互為逆映射理解對(duì)數(shù)恒等式與反三角恒等式,培育抽象素養(yǎng).

    因?yàn)閒(x)=3x-3-x是奇函數(shù),所以f-1(x)也是奇函數(shù),從而f-1(4)+f-1(-4)=0,故gmax(x)+gmin(x)=2.

    3.7 函數(shù)分析路徑

    強(qiáng)基計(jì)劃??荚囶}注重函數(shù)分析,取定一個(gè)較復(fù)雜的初等函數(shù),以不定項(xiàng)選擇題型引領(lǐng)學(xué)生分析其性質(zhì),試題表現(xiàn)函數(shù)分析基本路徑是三要素→基本性質(zhì)(對(duì)稱(chēng)、單調(diào)、周期)→凹凸性→數(shù)形結(jié)合,建立函數(shù)不等式等.

    由①③可知,?x∈R,都有f(x)=f(1-x)=-f(2a-1+x)=-f(2-2a-x)=f(4a-2+x),

    故函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),周期T=4a-2≠0,且

    3.8 典型函數(shù)

    強(qiáng)基計(jì)劃??济}十分注重以典型函數(shù)及其變式立意試題,既檢測(cè)代數(shù)變形能力與數(shù)學(xué)直觀(guān),又檢測(cè)函數(shù)分析方法.

    圖2

    圖3

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