分離參數(shù)法應(yīng)用舉例

劉春燕

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

求解參數(shù)的取值范圍問題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),重點(diǎn)考查學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析和轉(zhuǎn)化能力.這類題型綜合性較強(qiáng),對學(xué)生的解題技巧性和靈活性要求較高,很多學(xué)生求解時不知如何下手,本文就圍繞這一主題介紹求解參數(shù)取值范圍的一種常用方法——分離參數(shù)法.

分離參數(shù)法 在等式或不等式中若出現(xiàn)兩個變量,其中一個變量的范圍已知,要求另一個變量的范圍,且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍,這種求解參數(shù)取值范圍的方法就是分離參數(shù)法.

分離參數(shù)法可以免去對參數(shù)的分類討論,尤其在求解不等式恒成立、方程有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性等有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題時我們經(jīng)常用到該方法.該方法的關(guān)鍵步驟在于通過分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù),將原問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值或值域問題,在新函數(shù)中用函數(shù)的觀點(diǎn)討論主變量的變化情況來確定參數(shù)的變化范圍.

1 分離參數(shù)法在不等式恒成立問題中的應(yīng)用

例1 若函數(shù)y＝2x2－8x＋21的圖像恒在直線y＝4x＋2a＋1的上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

由題意可列出不等式,再把原不等式等價變形分離出參數(shù)a,即a＜x2－6x＋10,然后求函數(shù)y＝x2－6x＋10 的最值,進(jìn)而可得a的取值范圍.

由題意知2x2－8x＋21＞4x＋2a＋1在R 上恒成立,則a＜x2－6x＋10在R 上恒成立.

令f(x)＝x2－6x＋10,x∈R,則a＜f(x)在R上恒成立,等價于a＜fmin(x),x∈R.

又f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1≥1,所以a＜1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞,1).

不等式恒成立問題中求解參數(shù)取值范圍的步驟通常如下:

1)分離參數(shù),得出a≥f(x)恒成立(或a≤f(x)恒成立)；

2)求解fmax(x)(或fmin(x))；

3)得出a的范圍.

2 分離參數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用

例2 若函數(shù)f(x)＝ax2＋lnx－4x在定義域內(nèi)是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3 分離參數(shù)法在含參數(shù)方程問題中的應(yīng)用

4 分離參數(shù)法在解決函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用

5 分離參數(shù)法、構(gòu)造函數(shù)法與換元法在不等式中的綜合應(yīng)用

6 分離參數(shù)法與分類討論思想在研究函數(shù)單調(diào)性中的綜合應(yīng)用