函數(shù)的概念與性質(zhì)復(fù)習(xí)導(dǎo)航

張明同

(山東省壽光市教育科學(xué)研究中心)

函數(shù)的概念與性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)最基本的知識(shí),這些知識(shí)是解決整個(gè)高中數(shù)學(xué)問題的“第一步”,如果沒有這“第一步”的知識(shí),整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都會(huì)步履維艱.因此,牢固掌握函數(shù)的概念與性質(zhì)是數(shù)學(xué)解題的基石,是高考取勝的法寶,本文將在“函數(shù)”這一大概念視域下結(jié)合例題引導(dǎo)讀者認(rèn)真復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容.

1 函數(shù)有關(guān)概念及其應(yīng)用

1.1 函數(shù)的定義

1.2 函數(shù)的定義域

1.3 函數(shù)的最值

圖1

1.4 求函數(shù)的解析式

1.5 分段函數(shù)問題

圖2

2 函數(shù)圖像綜合問題

2.1 由解析式確定圖像

2.2 圖像的變換

例9 (1)已知函數(shù)f(1－x)的圖像如圖3所示,則y＝|f(x＋2)|的圖像大致是( ).

圖3

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且|f(x)|是偶函數(shù),則( ).

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)是奇函數(shù)

C.|f(x－1)|圖像的對稱軸是x＝1

D.|f(x)＋1|圖像的對稱中心是(0,1)

(1)將f(1－x)的圖像左移1 個(gè)單位得f(－x)的圖像,再關(guān)于y軸對稱可得f(x)的圖像,再左移2個(gè)單位得到f(x＋2)的圖像,再將f(x＋2)的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折上去,故選A.

(2)若f(x)＝x,則可判斷A 不正確.同樣地,若f(x)＝x2,則可判斷B 不正確.若f(x)＝x,則|f(x)＋1|＝|x＋1|圖像關(guān)于x＝－1對稱,所以D不正確.函數(shù)f(x)的圖像右移1個(gè)單位,可得f(x－1)的圖像,又因?yàn)楹瘮?shù)|f(x)|是偶函數(shù),關(guān)于y軸對稱,所以函數(shù)|f(x－1)|關(guān)于直線x＝1對稱.故選C.

對于函數(shù)圖像的變換問題,應(yīng)充分利用特殊點(diǎn)和函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性等性質(zhì)及平移、翻折等知識(shí)進(jìn)行綜合分析與判斷.

2.3 實(shí)際情境中的函數(shù)圖像

例10 如圖4所示,圓A的半徑為1 m,圓心A在y軸上,將圓A沿y軸勻速向上平移,在t＝0時(shí),圓A第一次經(jīng)過原點(diǎn)O,平移的速度為1m·s－1.記圓A位于x軸上方的圓弧的長為x,令y＝cosx,則y與時(shí)間t(0≤t≤1,單位:s)的函數(shù)y＝f(t)的圖像可以是( ).

圖4

2.4 利用圖像研究不等式或方程

圖5

圖6

3 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

3.1 單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合

3.2 周期性與奇偶性相結(jié)合

3.3 由奇偶性確定參數(shù)的取值(或范圍)