函數(shù)的周期性及其應(yīng)用

張 平

(廣東省珠海市實驗中學(xué))

函數(shù)的周期性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一,揭示了函數(shù)值隨自變量變化而呈現(xiàn)的循環(huán)往復(fù)的規(guī)律,能反映現(xiàn)實世界中周而復(fù)始、周期性變化的自然現(xiàn)象.在高考及競賽試題中,以函數(shù)周期性為背景的試題屢見不鮮,它們著重考查周期性的定義與性質(zhì)的簡單應(yīng)用,或結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等進行綜合考查,對數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、賦值法等數(shù)學(xué)思想方法進行檢驗,對培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與探索能力有著十分重要的作用,是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有力載體.下面對函數(shù)周期性的相關(guān)知識與方法進行總結(jié),并分類剖析主要題型及解法.

1 函數(shù)周期性的基礎(chǔ)知識

1.1 函數(shù)周期性的定義

對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x＋T)＝f(x),那么函數(shù)f(x)就是周期函數(shù),非零常數(shù)T是這個函數(shù)的周期.

一般情況下,如果T是函數(shù)f(x)的周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期.如果在f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)是f(x)的最小正周期.

1.2 周期函數(shù)的常見表現(xiàn)形式

1.3 常用結(jié)論

結(jié)論1 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a與x＝b(a≠b)對稱,則f(x)的一個周期為2(a－b).

特別地,若偶函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為2a.

結(jié)論2 若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,m)與(b,m)(a≠b)對稱,則f(x)的一個周期為2(a－b).

特別地,若奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為2a.

結(jié)論3 若函數(shù)f(x)的圖像有一條對稱軸x＝a與一個對稱中心(b,m)(a≠b),則f(x)的一個周期為4(a－b).

結(jié)論4 若奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱,則f(x)的一個周期為4a.

限于篇幅,僅證結(jié)論4.

證明 由f(x)為奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x),由f(x)的 圖 像 關(guān) 于 直 線x＝a(a≠0)對 稱 可 知f(－x)＝f(2a＋x),從而f(2a＋x)＝－f(x),則f(4a＋x)＝－f(2a＋x)＝f(x),即f(x)的一個周期為4a.

2 函數(shù)周期性的應(yīng)用

2.1 求函數(shù)的周期

2.2 求函數(shù)解析式

2.3 求函數(shù)值

2.4 比較函數(shù)值的大小

2.5 解函數(shù)不等式

例11 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R 上以2為周期的偶函數(shù),在區(qū)間[0,1]上嚴(yán)格遞減,且滿足f(π)＝1,f(2π)＝2,則當(dāng)1≤x≤2時,1≤f(x)≤2的解集為.

2.6 解決與函數(shù)零點相關(guān)的問題

圖1

圖2

直線y＝x＋m是斜率為1的平行直線系,由于y軸右側(cè)每一段的定義域都是左開右閉的,要使函數(shù)f(x)與直線y＝x＋m有2個交點,則m＜1,即實數(shù)m的取值范圍為(－∞,1).

函數(shù)零點問題是高中數(shù)學(xué)的重點與難點,難度較大,綜合性強,對學(xué)生的思維能力要求高.此類問題主要有兩種考查途徑:一是確定零點的個數(shù),如例13與例14；二是已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,例13考查了思維的敏捷性與批判性,其中求得f(4)＝0是關(guān)鍵,也是難點；例14與例15則重點考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生畫圖、識圖、用圖的能力.

對于與函數(shù)周期性相關(guān)的問題,要緊緊抓住函數(shù)周期變化這一特征,研究清楚函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖像與性質(zhì).在記憶理解相關(guān)知識、方法、結(jié)論的基礎(chǔ)上,認(rèn)真審題,挖掘題目條件背后隱藏的關(guān)鍵信息,靈活運用賦值法、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、迭代與歸納等數(shù)學(xué)思想方法,提高解題效率,增強用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),逐步實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.