函數(shù)單調(diào)性的四應(yīng)用

李 柳

(河北省石家莊市第四十二中學(xué))

函數(shù)問(wèn)題歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn),說(shuō)它是重點(diǎn),因?yàn)樗歉咧袛?shù)學(xué)大廈的基石,在高中數(shù)學(xué)的任何一個(gè)知識(shí)板塊中都有函數(shù)；說(shuō)它是難點(diǎn),主要是因?yàn)楹瘮?shù)性質(zhì)的應(yīng)用具有一定的綜合性與靈活性.函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一,在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用,那么靈活應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性,能解決哪些問(wèn)題呢?

1 利用函數(shù)的單調(diào)性比大小

2 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

3 利用函數(shù)的單調(diào)性求值域或最值

4 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍

在函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用中,常常出現(xiàn)一類含參數(shù)問(wèn)題,要求解題者根據(jù)題中給出的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍.

圖1

基本初等函數(shù)的單調(diào)性一般取決于該函數(shù)的基本量,如指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)取決于它們的底數(shù),冪函數(shù)則取決于它的指數(shù),而分段函數(shù)則必須滿足每一段單調(diào),且整個(gè)函數(shù)單調(diào).利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或范圍,一般轉(zhuǎn)化為含參不等式組來(lái)處理,有時(shí)利用它的圖像能更加直觀地得到答案.

當(dāng)然,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用遠(yuǎn)不止本文所提及的四種情形,如利用函數(shù)的單調(diào)性還可以解方程、作函數(shù)圖像等.但無(wú)論是哪種問(wèn)題,都離不開(kāi)函數(shù)單調(diào)性定義的直接應(yīng)用與逆向應(yīng)用,有時(shí)還可輔以函數(shù)圖像來(lái)分析問(wèn)題,從而能更直觀、更有效地得出答案.