函數(shù)圖像的對稱性在高考中的應用

王發(fā)家 楊子林

(1.甘肅省民樂縣第一中學 2.甘肅省張掖市第二中學)

函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質,關于函數(shù)圖像對稱性的探究對象有兩類:一類是一個函數(shù)自身的對稱性,即函數(shù)的奇偶性；另一類是兩個函數(shù)圖像之間的對稱性.函數(shù)的對稱性既是高考的重點問題,又是高考的熱點問題,在歷屆高考數(shù)學試卷中,考查函數(shù)對稱性的壓軸題層出不窮.

定理1f(x)的圖像關于直線x＝a對稱?

f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x).

證明 設P(x,y)是函數(shù)y＝f(x)圖像上任意一點,則P(x,y)關于直線x＝a的對稱點是P′(2a－x,y),又函數(shù)y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱,所以P′(2a－x,y)也在函數(shù)y＝f(x)圖像上,故f(2a－x)＝f(x)恒成立,反之也成立.

定理2f(x)的圖像關于點(a,b)對稱?

f(2a－x)＝2b－f(x)?f(x)＋f(2a－x)＝2b.

特別地,f(x)的圖像關于點(a,0)對稱?f(2a

x)＝－f(x)?f(a－x)＝－f(a＋x).

證明 設P(x,y)是函數(shù)y＝f(x)圖像上任意一點,則P(x,y)關于點M(a,b)對稱的對稱點是P′(2a－x,2b－y).又函數(shù)y＝f(x)的圖像關于點M(a,b)成中心對稱圖形,所以P′(2a－x,2b－y)也在函數(shù)y＝f(x)圖像上,即f(2a－x)＝2b－y,亦即f(2a－x)＝2b－f(x),故f(x)＋f(2a－x)＝2b,反之也成立.

1 利用對稱性求函數(shù)值

解題時可利用函數(shù)的對稱性找到坐標之間的關系,進而求出函數(shù)值,如互為反函數(shù)的圖像關于直線y＝x對稱,它們的橫、縱坐標互換位置.關于直線y＝－x對稱的點它們的橫、縱坐標互換位置,并且都要換號等.

設(x,y)是函數(shù)y＝f(x)圖像上的任意一點,它關于直線y＝－x的對稱點為(－y,－x).由已知可得(－y,－x)在函數(shù)y＝2x＋a的圖像上,則－x＝2－y＋a,解 得y＝－log2(－x)＋a,即f(x)＝－log2(－x)＋a,所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1,解得a＝2,故選C.

2 利用對稱性求函數(shù)解析式

若兩個函數(shù)圖像關于直線對稱(或點對稱),則可以利用代入法、坐標轉移法求出未知函數(shù)解析式.

3 利用對稱性求零點之和、函數(shù)值之和

解題時要善于挖掘函數(shù)的奇偶性、對稱性,關于原點對稱的兩點的縱坐標互為相反數(shù),關于y軸對稱的兩點的縱坐標相等,關于點(a,b)對稱的兩點的縱坐標和為2b,體現(xiàn)了設而不求的整體思想.

4 與對稱性有關的參數(shù)范圍問題

函數(shù)f(x)與g(x)存在關于y軸對稱的點(橫坐標互為相反數(shù),縱坐標相等)?方程f(－x)＝g(x)有解?函數(shù)f(x)關于y軸對稱的圖像與g(x)存在交點,即函數(shù)h(x)＝f(－x)－g(x)存在零點.

函數(shù)f(x)與g(x)存在關于x軸對稱的點(縱坐標互為相反數(shù),橫坐標相等)?方程f(x)＋g(x)＝0有解?函數(shù)f(x)關于x軸對稱的圖像與g(x)存在交點,即函數(shù)h(x)＝f(x)＋g(x)存在零點.

5 利用對稱性解決最值問題

圖1