化二為一
——通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)雙變量問(wèn)題

王 欣 張 浩

(1.北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 2.北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)研究院)

2022年高考數(shù)學(xué)北京卷第20題考查了與雙變量有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題.雙變量問(wèn)題一直是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn),其原因在于當(dāng)兩個(gè)變量都在變化時(shí),究竟是用一個(gè)變量來(lái)表示另一個(gè)變量實(shí)現(xiàn)消元,還是兩個(gè)變量通過(guò)變形用第三個(gè)變量來(lái)整體替換,亦或是通過(guò)化簡(jiǎn)變形實(shí)現(xiàn)同構(gòu),再構(gòu)造新函數(shù)借助單調(diào)性來(lái)解決,需要具備很強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng).本文通過(guò)整理雙變量問(wèn)題的常見(jiàn)解決方法,為今后處理類似問(wèn)題提供思路.

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.高中階段研究的函數(shù)通常為單變量函數(shù),主要研究函數(shù)值隨著自變量的變化情況,如在變化過(guò)程中是否具有確定性、規(guī)律性等.

1 利用雙變量的關(guān)系化二為一,構(gòu)造新函數(shù)

2 配湊雙變量的運(yùn)算整體換元,構(gòu)造新函數(shù)

3 分離變量借助函數(shù)單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù)

在人教版新教材中,函數(shù)單調(diào)性的定義為:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D?I,如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2)(或f(x1)＞f(x2)),那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減).

事實(shí)上,初中通過(guò)對(duì)函數(shù)圖像的直觀描述也提出了函數(shù)單調(diào)性的概念,即y隨x增大而增大(或減小).在高中階段,對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的定義,要實(shí)現(xiàn)從圖形語(yǔ)言向符號(hào)語(yǔ)言的過(guò)渡,最大的難點(diǎn)就是把y隨x增大而增大(或減小)這樣的直觀描述用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述.增大與減小都需要比較,而表達(dá)比較就需要用兩個(gè)變量來(lái)刻畫,所以函數(shù)單調(diào)性的定義本身就涉及了雙變量的問(wèn)題.因此,我們可以考慮通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化變形,構(gòu)造出“相同構(gòu)型”的數(shù)學(xué)式子,將問(wèn)題化歸為某個(gè)單變量函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.

分析 注意到在不等式右側(cè)的式子中,分子只含x1,分母只含x2,如果將不等式左側(cè)的x1與x2拆開,就有可能實(shí)現(xiàn)將兩個(gè)變量分離在不等號(hào)的兩側(cè),出現(xiàn)相同構(gòu)型的代數(shù)式,進(jìn)而化歸為某個(gè)單變量函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題進(jìn)行解決.

4 指定函數(shù)的自變量和參變量,構(gòu)造新函數(shù)

例5 (2022 年北京卷20)已知函數(shù)f(x)＝exln(1＋x).

(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)＝f′(x),討論函數(shù)g(x)在[0,＋∞)上的單調(diào)性；

(3)證明:對(duì)任意的s,t∈(0,＋∞),有

f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

分析 本題第(3)問(wèn),f(s＋t)＝es＋tln(1＋s＋t),無(wú)法直接利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則拆成與f(s)＝esln(1＋s)或f(t)＝etln(1＋t)相關(guān)的式子,因此不能如例4一般,在分離變量之后出現(xiàn)相同構(gòu)型,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求證.此外,由于s與t是任取的兩個(gè)變量,因此彼此之間也沒(méi)有像例1那樣的等量制約關(guān)系,因此無(wú)法用一個(gè)變量來(lái)表示另一個(gè)變量實(shí)現(xiàn)消元.值得注意的是,s與t在所證明的式子中是對(duì)稱的,彼此之間互不影響,可以考慮選擇其中一個(gè)作為自變量,另外一個(gè)視為參變量,從而將雙變量的函數(shù)問(wèn)題看成單變量的函數(shù)問(wèn)題,使得該問(wèn)題變成熟悉的問(wèn)題.

解 構(gòu)造函數(shù)h(s)＝f(s＋t)－f(s)－f(t),s∈(0,＋∞),t為參數(shù),t∈(0,＋∞),則h′(s)＝f′(s＋t)－f′(s).由(2)知,g(x)＝f′(x)在[0,＋∞)上單調(diào)遞增,因?yàn)閟＋t＞s,所以f′(s＋t)＞f′(s),即h′(s)＞0,所以h(s)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以h(s)＞h(0)＝f(0＋t)－f(0)－f(t)＝－f(0)＝0,所以f(s＋t)＞f(s)＋f(t).

在雙變量問(wèn)題中,將其中一個(gè)變量視為主變量,另外一個(gè)視為參變量,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為該主變量的函數(shù)、方程或不等式問(wèn)題,本質(zhì)上是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.尤其是當(dāng)兩個(gè)變量在等式或不等式中的地位相同時(shí)(即對(duì)稱),可以考慮利用指定主變量的方法解決問(wèn)題.

例6 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,若(a－b)2≥kab恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 這個(gè)問(wèn)題如果從基本不等式或不等式的性質(zhì)角度考慮會(huì)比較復(fù)雜,需要討論多種情況.如果注意到實(shí)數(shù)a與b在這個(gè)不等式中是對(duì)稱的,就可以考慮將其中一個(gè)視為變量,而將另一個(gè)視為參數(shù).

解 將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于a的二次不等式恒成立問(wèn)題:即f(a)＝a2－(kb＋2b)a＋b2≥0恒成立.由于a是任意實(shí)數(shù),因此結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì),只需Δ＝(kb＋2b)2－4b2≤0 恒成立,即k2b2＋4kb2＋4b2－4b2≤0,k2＋4k≤0,k∈[－4,0].

此外,對(duì)于這種雙變量的函數(shù)問(wèn)題,即使問(wèn)題中已經(jīng)指定了某個(gè)變量是自變量,在解決問(wèn)題的過(guò)程中,也可以突破常規(guī),打破固有思維,重新選定變?cè)?可能會(huì)收到意想不到的效果,快速解決問(wèn)題.

例7 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a∈(－1,1],f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立,求x的取值范圍.

分析 這個(gè)問(wèn)題,如果僅從不等式的角度看,是一個(gè)典型的雙變量(a與x)的不等式恒成立問(wèn)題.在函數(shù)f(x)中自變量為x,大多數(shù)學(xué)生自然會(huì)從二次函數(shù)的角度出發(fā)考慮這個(gè)問(wèn)題.由于a是變化的,因此這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及一些特殊點(diǎn)的函數(shù)值都是隨之變化的,所以從二次函數(shù)圖像的角度反過(guò)來(lái)推測(cè)滿足條件的自變量的取值很復(fù)雜.此外,即使題目中沒(méi)有指定x為函數(shù)的自變量,很多學(xué)生也無(wú)法擺脫思維定勢(shì),會(huì)習(xí)慣性地假定x就是函數(shù)的自變量,a為參數(shù).其實(shí)對(duì)于這個(gè)問(wèn)題,如果調(diào)整一下思考的方向,將a視為自變量,即指定a為變?cè)?將x看作參數(shù),則可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的新函數(shù):

總之,無(wú)論是指定主變量還是改變主變量,都需要結(jié)合具體的問(wèn)題,觀察每個(gè)變量對(duì)方程、不等式、函數(shù)的影響,巧妙地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題,這需要對(duì)函數(shù)與方程的思想有較為透徹的理解,同時(shí)也要具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理素養(yǎng).

5 涉及兩個(gè)函數(shù)的雙變量問(wèn)題,直接轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題

例8 已知函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k,g(x)＝2x3＋5x2＋4x,k∈R.

(1)對(duì)?x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(2)若?x1,x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(3)對(duì)?x1∈[－3,3],?x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍；

(4)若?x1∈[－3,3],?x2∈[－3,3],有f(x1)≤g(x2)成立,求k的取值范圍.

分析 這幾個(gè)問(wèn)題表面上看涉及了兩個(gè)變量,但由于這幾個(gè)問(wèn)題中的不等號(hào)兩側(cè)涉及的是兩個(gè)函數(shù),因此對(duì)其中任意一個(gè)函數(shù)而言,還是單一變量的問(wèn)題,無(wú)須采用任何措施進(jìn)行消元.類似這種帶有量詞?與?的兩個(gè)變量的問(wèn)題,如果兩個(gè)函數(shù)之間是等量關(guān)系,則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域之間的關(guān)系問(wèn)題；如果兩個(gè)函數(shù)之間是不等關(guān)系,則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)各自最值之間的關(guān)系問(wèn)題,上述四個(gè)問(wèn)題可以概括如下.

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmin(x)＞gmin(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmax(x)＞gmax(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmax(x)＞gmin(x)；

?x1∈[a,b],?x2∈[a,b],使得f(x1)＞g(x2)成立?fmin(x)＞gmax(x).

值得注意的是,上述問(wèn)題與下面的問(wèn)題要加以區(qū)分:在例6的條件下,若?x∈[－3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求k的取值范圍.

這個(gè)問(wèn)題中,不等號(hào)左右兩側(cè)的變量是同一個(gè),因此不能分別求兩側(cè)的最值進(jìn)行比較,而應(yīng)該移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x),轉(zhuǎn)化為h(x)≤0的恒成立問(wèn)題.當(dāng)然,若函數(shù)滿足對(duì)?x1,x2∈[－3,3],都有f(x1)≤g(x2),即fmax(x)≤gmin(x)成立,則h(x)＝f(x)－g(x)≤0也是成立的,但反之不行.

函數(shù)中的雙變量問(wèn)題是近年來(lái)高考中經(jīng)常涉及的一類問(wèn)題,解決此類問(wèn)題的方法通常都需要構(gòu)造新函數(shù).構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì)是要確定自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以采用消元、換元、分離變量、選定主變?cè)确绞絹?lái)確定自變量,將雙變量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的單變量函數(shù)問(wèn)題.