追根溯源,多種思維,鏈接高數(shù)
——2022年高考數(shù)學新高考Ⅰ卷第7題

戚昌厚

(中國人民大學附屬中學分校)

函數(shù)值或參數(shù)的大小比較問題是新高考數(shù)學試卷中?？嫉囊环N基本題型,試題常常在知識的交會處加以巧妙創(chuàng)新設置,融合不同知識與思想方法的綜合應用,具有一定的綜合性與交會性,是高考的重點.本文通過一道高考真題的大小比較問題,合理追根溯源,展開思維剖析,展示方法技巧,探究拓展提升,凸顯數(shù)學本質.

1 真題呈現(xiàn)

分析 該題與以往新高考中的一些真題有點類似,但又有創(chuàng)新,其基本考點就一改常態(tài),以更加特殊的方式復合構建指數(shù)式、對數(shù)式、分式等具有相應關系的代數(shù)式,進而確定相互之間的大小關系.

通過分析代數(shù)式之間的結構特征,常規(guī)解題思路是聯(lián)系以0.1為變元所構建的函數(shù)式之間的規(guī)律,通過作差比較法,合理構造復合函數(shù),利用函數(shù)的單調性分析與處理.

2 多解探究

根據(jù)兩兩之間的作差或作商,合理構建對應的函數(shù),通過求導,結合導函數(shù)在相應區(qū)間內的正負取值情況確定對應函數(shù)的單調性,進而確定以0.1為變元所對應的函數(shù)值的正負取值情況,最終得以確定大小關系.

根據(jù)兩兩之間的作商或作差,合理構建對應的函數(shù),這是處理兩個同號代數(shù)式大小關系時比較常用的一種方法.在構建函數(shù)處理代數(shù)式的大小關系時,要結合代數(shù)式的結構特征,合理選擇作差比較法或作商比較法.

3 追根溯源

追根溯源,2022年新高考Ⅰ卷第7 題是在2021年高考數(shù)學乙卷理科第12題的基礎上,進一步轉化、深入、變形、拓展與提升.

4 變式拓展

5 小結

5.1 大小比較的類型總結,策略剖析

函數(shù)值或參數(shù)的大小比較問題,是近年新高考數(shù)學試卷中一類比較常見的熱點題型,有時以單項選擇題的形式出現(xiàn),有時以多項選擇題的形式出現(xiàn),難度往往比較大,經常出現(xiàn)在壓軸題的位置.此類問題以指數(shù)式、對數(shù)式、根式、分式等形式加以代數(shù)運算,滲透基本初等函數(shù)(以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等為主),結合代數(shù)運算以及函數(shù)的圖像與性質等基本內容,巧妙融入數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).

5.2 鏈接初等數(shù)學與高等數(shù)學

通過高等數(shù)學中的某個數(shù)學概念的初等化定義、初等化應用等創(chuàng)新設置,實現(xiàn)高等數(shù)學知識初等化,在定義、應用等方面進行拓展和延伸,考查學生的閱讀理解能力和推理論證能力等,也為后繼進入高校學習做鋪墊.