改進(jìn)的動力學(xué)參數(shù)迭代辨識方法

朱成耀，張 波

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240)

0 引言

協(xié)作機(jī)器人具有拖動示教、碰撞檢測、力/位混合控制等優(yōu)勢，這使得它在教育、加工、注塑和3C等領(lǐng)域中扮演著越來越重要的作用。協(xié)作機(jī)器人友好的動力學(xué)交互離不開精準(zhǔn)的動力學(xué)模型，因此動力學(xué)參數(shù)的辨識工作十分重要。

摩擦力參數(shù)辨識是動力學(xué)參數(shù)辨識的重點(diǎn)和難點(diǎn)。目前,被廣泛使用的摩擦力模型由庫侖摩擦和粘性摩擦組成，但是無法描述摩擦的非線性特征。文獻(xiàn)[1]中，使用和速度的指數(shù)成線性關(guān)系的粘性摩擦可以獲得較好的實(shí)驗(yàn)效果。另外，機(jī)器人關(guān)節(jié)還存在正反向摩擦力不對稱性，因此，建立更符合實(shí)際的摩擦模型可以提高動力學(xué)參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性。

動力學(xué)參數(shù)辨識的基本方法為最小二乘法[2]，最小二乘法保證了力矩誤差的二范數(shù)達(dá)到最小。作為前者的改進(jìn)，加權(quán)的最小二乘法則保證了動力學(xué)參數(shù)的方差達(dá)到最優(yōu)[3]。然而上述方法均無法實(shí)現(xiàn)非線性摩擦模型的辨識。對此，Han等[4]提出了動力學(xué)參數(shù)的迭代辨識方法，該方法在提高動力學(xué)參數(shù)精度上表現(xiàn)了很大的優(yōu)勢，但是由于動力學(xué)參數(shù)眾多，迭代的辨識方法需要消耗大量的時間。在動力學(xué)模型線性化后，基本慣性參數(shù)中部分參數(shù)對機(jī)器人關(guān)節(jié)力矩的貢獻(xiàn)很小，剔除后并不影響動力學(xué)模型的精度，因此可以剔除。Janot等[5]在統(tǒng)計學(xué)意義上對基本動力學(xué)參數(shù)的作用進(jìn)行了分析。

基于上述分析，為了獲取更精準(zhǔn)的動力學(xué)參數(shù)，本文引入了考慮速度指數(shù)和摩擦不對稱常數(shù)的摩擦力模型，針對非線性模型采用一種迭代的方法進(jìn)行參數(shù)辨識，引入F統(tǒng)計量剔除不影響關(guān)節(jié)力矩計算的基本動力學(xué)參數(shù)來提高迭代辨識的效率。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了考慮復(fù)雜摩擦模型的迭代辨識的準(zhǔn)確性，以及剔除影響小的參數(shù)后辨識的高效性。

1 動力學(xué)參數(shù)的迭代辨識

1.1 最小二乘法求解動力學(xué)參數(shù)

n自由度的串聯(lián)機(jī)器人的動力學(xué)模型(考慮關(guān)節(jié)摩擦力)可以線性化為[6]

(1)

機(jī)器人的動力學(xué)方程可以簡化為

(2)

假設(shè)有m個數(shù)據(jù)點(diǎn)，根據(jù)式(2)可以算出觀測矩陣和觀測響應(yīng)為:

(3)

(4)

所以觀測矩陣和觀測響應(yīng)的關(guān)系為

τ*=Y*p

(5)

因?yàn)閙n>b，且Y*滿秩，所以可以用最小二乘法求解慣性參數(shù)為

p=((Y*)TY*)-1(Y*)Tτ*

(6)

系統(tǒng)殘差為

R*=τ*-Y*p

(7)

假設(shè)關(guān)節(jié)力矩的噪聲是相互獨(dú)立的,則力矩誤差的協(xié)方差矩陣Λ是對角陣，且各關(guān)節(jié)力矩的噪聲方差為

(8)

最小二乘法保證誤差的二范數(shù)達(dá)到最小，加權(quán)最小二乘法可以使動力學(xué)參數(shù)的方差達(dá)到最小，即

p=((Y*)TDY*)-1(Y*)TD-1τ

(9)

D∈Rmn×mn為分塊矩陣，其對角線由m個Λ組成。

(10)

因此，第i個動力學(xué)參數(shù)pi的相對標(biāo)準(zhǔn)差εpi為

(11)

辨識的動力學(xué)參數(shù)要滿足物理可行性約束[7]，即辨識出的動力學(xué)參數(shù)應(yīng)有實(shí)際的物理意義。對于關(guān)節(jié)j需要滿足約束為

(12)

Ij為基于關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點(diǎn)的慣性張量矩陣；mjrj為關(guān)節(jié)的一階慣量;mj為關(guān)節(jié)質(zhì)量;tr( )為跡函數(shù)；E3為三階單位矩陣;>0表示矩陣是正定矩陣。

1.2 基于迭代的辨識

最小二乘法雖然簡單，但是在辨識過程中無法考慮物理可行性約束，沒有將采樣數(shù)據(jù)的異常點(diǎn)剔除，也無法對復(fù)雜的摩擦力進(jìn)行辨識，這都會影響動力學(xué)參數(shù)辨識的精度。因此，本文將最小二乘法改為有約束的優(yōu)化問題，對辨識問題轉(zhuǎn)化成三環(huán)迭代優(yōu)化問題，以此提高動力學(xué)參數(shù)的辨識精度。

a.關(guān)節(jié)通道誤差歸一化迭代的內(nèi)環(huán)。

如果去掉機(jī)器人關(guān)節(jié)噪聲獨(dú)立的假設(shè)，那么力矩誤差的協(xié)方差矩陣便不再是對角陣，新的協(xié)方差矩陣為

(13)

由于協(xié)作機(jī)器人的1～3關(guān)節(jié)力矩要比4～6關(guān)節(jié)的力矩要大很多，因此誤差的量級也不相同，因?yàn)橐獙κ?7)中各關(guān)節(jié)通道的誤差進(jìn)行歸一化處理，即

(14)

b.異常采樣數(shù)據(jù)剔除的中環(huán)。

實(shí)驗(yàn)中采集的數(shù)據(jù)異常點(diǎn)會對最小二乘法的辨識結(jié)果產(chǎn)生很大影響，因此需要在辨識的過程中去除。定義迭代的權(quán)重變量W：

(15)

(16)

W∈Rmn為權(quán)重變量，We∈Rmn×b為擴(kuò)展權(quán)重變量，其由b個W擴(kuò)展組成；.*為按元素乘符號。

本實(shí)驗(yàn)采用最簡單的T類硬權(quán)函數(shù)[8]，當(dāng)歸一化殘差絕對值小于閾值φ時，該數(shù)據(jù)權(quán)重為1，否則為0。在既保證異常數(shù)據(jù)被清除，又保證剩余數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的情況下，閾值φ=2.795。

去除異常數(shù)據(jù)后，則對動力學(xué)參數(shù)進(jìn)行求解。由于需要考慮物理可行性約束，將最小二乘法轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化問題[9]，即

(17)

pb為與摩擦參數(shù)無關(guān)的基本慣性參數(shù)；pd為原始參數(shù)向基本慣性參數(shù)轉(zhuǎn)換時被簡化的參數(shù)，這部分參數(shù)是不確定、無法辨識的；pf為與摩擦相關(guān)的基本慣性參數(shù)；pt為變換后的基本慣性參數(shù)和不確定參數(shù)；G為原始慣性參數(shù)向基本慣性參數(shù)轉(zhuǎn)換的映射矩陣；pt( )取pt參數(shù)集中對應(yīng)的參數(shù)。該優(yōu)化問題可以用MATLAB工具箱CVX的SDP模式獲得最優(yōu)解。

獲取動力學(xué)參數(shù)后，計算出歸一化的殘差為

R#=τ#-Y#p

(18)

噪聲的協(xié)方差更新為

(19)

E#為歸一化殘差R#的變形。這一過程即內(nèi)環(huán)的關(guān)節(jié)通道誤差歸一化迭代。

內(nèi)環(huán)穩(wěn)定后，對計算出的歸一化誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，更新權(quán)重變量，即

Wcur=min(Wpre,T(R#))

(20)

min( )為取較小值函數(shù)；T( )為T硬權(quán)函數(shù)。該迭代公式表明之前迭代異常的數(shù)據(jù)將不再參與計算，每次迭代去除新的異常數(shù)據(jù)。這一過程即中環(huán)的異常采樣數(shù)據(jù)去除迭代。

c.指數(shù)粘性摩擦模型辨識的外環(huán)。

一般情況下，摩擦力模型被簡化為庫侖摩擦和與速度成線性關(guān)系的粘性摩擦,即

(21)

實(shí)際機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦力模型可表示為

(22)

(23)

首先獲取關(guān)節(jié)力矩中摩擦力的部分，即

(24)

對這部分摩擦力用式(22)進(jìn)行擬合，即

(25)

這就是外環(huán)的指數(shù)粘性摩擦模型辨識迭代。該優(yōu)化問題可以用MATLAB函數(shù)fmincon求解。

2 降維的迭代辨識

在動力學(xué)參數(shù)辨識的結(jié)果中，有些參數(shù)非常小，與此伴隨的現(xiàn)象是相對標(biāo)準(zhǔn)差較大，這些參數(shù)幾乎不貢獻(xiàn)關(guān)節(jié)力矩，因此剔除這些參數(shù)不會影響力矩精度。在辨識之前找到這些參數(shù)可以降低內(nèi)環(huán)優(yōu)化問題的維度，提高辨識效率。

2.1 F檢驗(yàn)

F檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計檢驗(yàn)方法，主要用于方差齊性檢驗(yàn)和方差比率檢驗(yàn)等。它是在零假設(shè)之下，統(tǒng)計值服從F分布的檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)可以進(jìn)行線性回歸方程整體的顯著性檢驗(yàn)，即線性方程回歸系數(shù)中的1個或多個是否適用于估計母體。

使用F檢驗(yàn)之前需要進(jìn)行KS檢驗(yàn)保證分析的數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布。

2.2 動力學(xué)參數(shù)剔除

迭代的參數(shù)辨識的歸一化殘差通過KS檢驗(yàn)(MATLAB中的kstest函數(shù))滿足正態(tài)分布：R#～N(0,1)。因此，可以使用F檢驗(yàn)剔除對力矩沒有顯著影響的動力學(xué)參數(shù)[10]。

c.計算統(tǒng)計量F。

(26)

顯著性水平α=0.05，自由度n1=b-br、自由度n2=mn-b≈∞，查閱F分布表獲得邊界值Fth。若F≤Fth，則說明剔除的參數(shù)對力矩就算精度沒有影響，繼續(xù)降低相對標(biāo)準(zhǔn)差閾值ε0，ε0根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可以從60向20遞減直到F檢驗(yàn)失效。

2.3 降維的迭代辨識

通過F檢驗(yàn)后，對關(guān)節(jié)力矩計算精度有顯著影響的參數(shù)變?yōu)閎r。式(17)的優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

由于該優(yōu)化問題處于三環(huán)迭代的最內(nèi)層，是計算最頻繁的優(yōu)化環(huán)節(jié)，將動力學(xué)參數(shù)降維后將會提高辨識的效率。

3 動力學(xué)參數(shù)辨識實(shí)驗(yàn)

動力學(xué)參數(shù)辨識的實(shí)驗(yàn)在溱者協(xié)作機(jī)器人Chin7上進(jìn)行，表1為Chin7的MDH參數(shù)。

表1 Chin7機(jī)器人MDH參數(shù)

3.1 激勵軌跡的設(shè)計

為了保證機(jī)器人的動力學(xué)特性被充分激發(fā)，需要設(shè)計軌跡保證式(5)中的觀測矩陣滿足持續(xù)激勵條件。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，機(jī)器人動力學(xué)參數(shù)辨識軌跡通常采用五階傅里葉級數(shù)。

(28)

wf=0.2π為基頻，軌跡周期T=10 s。每個關(guān)節(jié)軌跡有10個待定參數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，以式(5)的觀測矩陣的條件數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，滿足機(jī)器人的速度、加速度約束，求解

(29)

為了簡化約束提高辨識效率，該優(yōu)化問題沒有將位置和速度起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)約束為關(guān)節(jié)原點(diǎn)。在運(yùn)行激勵軌跡之前可以各設(shè)計1段五階多項(xiàng)式軌跡作為啟動軌跡和收尾軌跡。本次實(shí)驗(yàn)采用的激勵軌跡如圖1所示。

圖1 動力學(xué)參數(shù)辨識的關(guān)節(jié)激勵軌跡

在獲得降維的參數(shù)以后，可以用降維的觀測矩陣作為優(yōu)化的目標(biāo)，觀測矩陣的列數(shù)減少，同樣可以提高激勵軌跡優(yōu)化問題的求解速度。

3.2 數(shù)據(jù)處理

將圖1的激勵軌跡輸入到機(jī)器人控制器中運(yùn)行，重復(fù)運(yùn)行5次以便對數(shù)據(jù)集取平均降低誤差。機(jī)器人以1 kHz的采樣頻率獲得關(guān)節(jié)電流和關(guān)節(jié)角度。計算觀測矩陣時需要關(guān)節(jié)的速度和加速度，因此先對位置進(jìn)行濾波再一次差分和二次差分獲得速度和加速度[13]。采用截止頻率為7.5 Hz(軌跡最高頻率的15倍)的四階巴特沃斯濾波器(MATLAB中的butter函數(shù)),進(jìn)行零相位濾波(MATLAB中的filtfilt函數(shù))。關(guān)節(jié)電流和關(guān)節(jié)力矩成正比，在使用式(9)辨識時，采用和處理位置信號相同的濾波器。使用式(17)辨識時，由于迭代辨識中環(huán)的存在，電流不需要進(jìn)行濾波即可參與計算[4]。

3.3 驗(yàn)證辨識效果

a.最小二乘法和迭代辨識法。

利用處理好的數(shù)據(jù)，分別使用最小二乘法直接計算機(jī)器人的動力學(xué)參數(shù)(方法A)，再用迭代辨識的方法計算機(jī)器人的動力學(xué)參數(shù)(方法B)。

求解出動力學(xué)參數(shù)后，再設(shè)計1條驗(yàn)證軌跡，觀察驗(yàn)證軌跡的實(shí)際力矩和使用動力學(xué)參數(shù)計算出的預(yù)測力矩是否吻合，評價標(biāo)準(zhǔn)相對RMS為εRMS，即

(30)

2種方法的εRMS如表2所示。由表2可知，迭代的辨識方法考慮了物理可行性約束、對異常采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行了剔除以及建立更符合實(shí)際的摩擦模型，其辨識出的動力學(xué)參數(shù)計算出的關(guān)節(jié)力矩都更接近實(shí)際力矩。證明迭代的辨識方法獲得的動力學(xué)參數(shù)更加準(zhǔn)確。

表2 3種辨識方法的驗(yàn)證軌跡各關(guān)節(jié)εRMS

b.降維前后的迭代辨識方法。

使用式(9)和式(11)求解動力學(xué)參數(shù)和相對標(biāo)準(zhǔn)差。然后使用F檢驗(yàn)去除無影響的動力學(xué)參數(shù)，相對標(biāo)準(zhǔn)差閾值ε0從60開始以5的梯度遞減直到F檢驗(yàn)失效。在Chin7上，在ε0=35時，失效的參數(shù)為15個，在顯著性水平α=0.05時，自由度n1=b-br=15、自由度n2=mn-b≈∞，查閱F分布表獲得邊界值Fth=1.68，求解F=1.604 2，滿足F檢驗(yàn)。此時，機(jī)器人的動力學(xué)參數(shù)由58個降為43個。

原始基本動力學(xué)參數(shù)的迭代方法(方法B)和使用F檢驗(yàn)降維后的動力學(xué)參數(shù)的迭代方法(方法C)辨識的εRMS結(jié)果和驗(yàn)證軌跡力矩圖如表2和圖2所示。

圖2 降維前后的驗(yàn)證軌跡各關(guān)節(jié)力矩

4 結(jié)束語

針對機(jī)器人動力學(xué)參數(shù)辨識需要考慮物理可行性約束、去除異常采樣數(shù)據(jù)、建立更符合實(shí)際的摩擦力模型問題，本文使用了迭代的辨識方法。并針對迭代方法時間成本高的問題提出了一種改進(jìn)的迭代方法，引入F檢驗(yàn)的統(tǒng)計學(xué)方法，以相對標(biāo)準(zhǔn)差εpi作為基準(zhǔn)遞減至F檢驗(yàn)失效，獲得對關(guān)節(jié)力矩貢獻(xiàn)很小的基本動力學(xué)參數(shù)并進(jìn)行剔除，參數(shù)經(jīng)過剔除后再參與迭代辨識。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

a.用三環(huán)迭代的動力學(xué)參數(shù)辨識方法比直接用最小二乘法獲得的動力學(xué)參數(shù)精度高。

b.使用F檢驗(yàn)降維后的參數(shù)參與的迭代辨識在沒有損失各關(guān)節(jié)力矩精度的情況下，大大提高了三環(huán)辨識的效率。

c.未來將在降維的動力學(xué)模型框架下，考慮關(guān)節(jié)在低速下的Stribeck摩擦模型，從而進(jìn)一步提高動力學(xué)參數(shù)辨識精度。