參數(shù)不確定條件下基于I&I的異步電機魯棒控制新方法

王鹍鵬，張 磊

(1.黑龍江中醫(yī)藥大學附屬第一醫(yī)院設備科，黑龍江 哈爾濱 150040；2.哈爾濱工業(yè)大學機械工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引言

異步電動機(induction motor，IM)具有多變量、強耦合和非線性等特征，使其難于進行精確、穩(wěn)定控制。目前，已提出各種IM魯棒控制方法，如模糊控制[1-2]、自適應控制[3]、神經網絡控制[4]、最優(yōu)控制[5]和滑?？刂?sliding mode control，SMC)[6-7]等。

浸入與不變性(immersion and invariance，I&I)理論是進行魯棒控制器設計的一種新方法，尤其適用于具有參數(shù)不確定性的系統(tǒng)[8-9]。I&I方法的基本思想是根據系統(tǒng)浸入對目標系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行重構，并基于系統(tǒng)動力學實現(xiàn)控制，從而得到期望的輸出響應[10]。大量工程應用結果表明，當存在系統(tǒng)參數(shù)不確定性和故障的情況下，基于I&I的控制方法具有較高的魯棒性[11-14]。

文獻[11]比較了基于I&I和SMC的2種控制器性能，根據實際的駕駛場景，以某型汽車為例在MATLAB/Simulink中對閉環(huán)系統(tǒng)進行了仿真，實驗結果驗證了基于I&I算法控制器的有效性和魯棒性；在考慮不確定性和執(zhí)行器未知故障條件下，文獻[12]提出了基于I&I理論的魯棒自適應航天器姿態(tài)控制策略，結果表明，當存在不確定故障時，基于I&I的故障魯棒自適應姿態(tài)控制器優(yōu)于傳統(tǒng)的自適應控制器；文獻[13]研究了I&I理論在磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問題中的應用；文獻[14]針對非線性剛度關節(jié)，基于I&I理論設計了控制器，并與比例微分控制器進行了對比，說明了在參數(shù)存在不確定性的情況下，I&I方法具有明顯的優(yōu)勢。

本文針對不確定參數(shù)存在條件下異步電機難以精確動態(tài)控制的問題，提出一種基于I&I理論的魯棒控制新策略。首先，基于IM系統(tǒng)動力學和I&I基本原理，在以下2種故障工況下，利用補償器設計一種考慮故障的魯棒控制律：

a.由于電機內部發(fā)熱引起的轉子繞組逐漸增加，考慮到趨膚效應的存在，允許轉子繞組在其標稱值附近有100%的變化。

b.負載轉矩的連續(xù)變化。

然后，利用I&I的基本原理證明了當存在參數(shù)不確定性和故障時，本文所提出的控制律仍可使電機狀態(tài)軌跡信號有效跟蹤期望的參考信號，并利用Lyapunov穩(wěn)定性分析證明了控制律漸近穩(wěn)定性。最后，通過仿真實驗說明了本文所提出的魯棒I&I控制方法的有效性。

1 IM模型及I&I基本原理

1.1 IM系統(tǒng)模型

不計機械摩擦條件下，同步旋轉坐標系(d-q系)中IM的兩相等效狀態(tài)空間修正模型為

(1)

x1和x2分別為轉子轉速ω和轉子磁通Φr；x3和x4分別為定子電流矢量分量isd和isq；u1和u2分別為控制輸入，即定子電壓矢量的分量Vsd及Vsq；μ和β為常數(shù)。參數(shù)a1～a6可由式(2)確定，即

(2)

式(2)中的各參數(shù)定義為

(3)

Ls、Lr、Rs、Rr分別為定子/轉子的電感和電阻；J為轉動慣量；np為極對數(shù)；Mi為互感；τrN為τr的額定值(名義值)，即τrN=Lr/RrN，RrN為轉子電阻額定值；τ1N為τ1的名義值，即當τ1定義式中的Rr取值為RrN時的值。

進一步，引入如下假設：

假設1，電機存在故障。本文指定電機在運行過程中存在2種主要故障。

a.漸變故障，即轉子電組逐漸增大，且在其標稱值附近存在100%變化范圍。

b.意外故障，即負載轉矩出現(xiàn)連續(xù)變化。

依據假設，采用式(4)對進行轉子電阻修正。

Rr=RrN+RrN[1-exp(-1.2t)]

(4)

假設2，負載轉矩Tr和轉子電阻Rr未知，但二者的值具有已知上限。

1.2 I&I基本原理

考慮系統(tǒng)：

(5)

x∈Rn,u∈Rm(n,m∈N)，系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點為x*∈Rn。若p

a.(H1)(目標系統(tǒng)穩(wěn)定條件)。

(6)

ξ∈Rp。式(6)所示系統(tǒng)在ξ*∈Rp和x*=π(ξ*)處具有全局漸近穩(wěn)定平衡點。

b.(H2)(浸入條件)。

對于所有ξ∈Rp，有

(7)

c.(H3)(隱式流形條件)。

存在如下集合：

M={x∈Rn|Φ(x)=0}

(8)

M={x∈Rn|x=π(ξ),?ξ∈Rp}

(9)

d.(H4)(流形吸引性和軌跡有界性)。

若以下系統(tǒng)的所有軌跡有界：

(10)

(11)

且滿足

(12)

則x*是如下閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定平衡點：

(13)

2 魯棒I&I控制設計及其在IM中的應用

本文控制策略分為2個步驟。首先，假設系統(tǒng)無不確定因素(健康狀態(tài))，設計了一般的I&I控制器;然后，為補償不確定因素的影響，包括負載轉矩和轉子電阻的變化(故障狀態(tài))，考慮不確定性的上限，對控制信號進行校正。

2.1 健康狀態(tài)

根據式(1)中的IM系統(tǒng)動力學模型，當所有系統(tǒng)參數(shù)已知時，建立其控制律。

首先，給出系統(tǒng)的跟蹤誤差為

(14)

r1和r2為相應的參考值。根據誤差表達式，建立系統(tǒng)誤差動力學方程為

(15)

進一步，依據I&I的基本原理，擴展實際IM系統(tǒng)與目標系統(tǒng)之間的映射關系為

(16)

映射π3(η1,η2)和π4(η1,η2)需要根據I&I基本定理的條件(H1)～(H4)進行確定。

a.(H1)的驗證。

(17)

(18)

根據式(15)和式(17)，可得

(19)

易見，η=(0,0)為上述目標系統(tǒng)的唯一全局漸近穩(wěn)定平衡點。

b.(H2)的驗證。

由式(7)導出的映射π(·)為

(20)

c.(H3)的驗證。

根據式(8)，存在集合為

(21)

d.(H4)的驗證。

由式(10)和式(11)，可構造

(22)

進一步，依據式(15)，在忽略負載轉矩和轉子電阻的變化時，可以得出

(23)

參數(shù)γ為正常數(shù)，對其值進行調整可以使系統(tǒng)滿足漸近穩(wěn)定性。與式(18)相類似，定義目標系統(tǒng)為

(24)

同樣地，由式(24)定義的ξ1和ξ2的動力學行為具有漸近穩(wěn)定性。

2.2 故障條件(參數(shù)不確定)

在已知系統(tǒng)參數(shù)并假設不確定性存在的情況下，將本文所提出的魯棒控制方法應用于IM。假設負載轉矩和轉子電阻具有不確定性，但二者的上界已知，設計一種新的控制器以實現(xiàn)IM的魯棒控制，如圖1所示。

圖1 I&I控制器設計流程

依據假設的2類故障，將動力學方程(24)進行補償修正，即

(25)

定義控制律為

(26)

基于式(25)的補償器及控制律(26)，得出前述2類故障下的控制律為

(27)

進一步，定義的Lyapunov候選函數(shù)為

(28)

(29)

上述過程在故障和不確定條件下，利用補償器得出新的魯棒控制器，并基于Lyapunov穩(wěn)定性分析，證明了控制律穩(wěn)定性[14]。

注意到，使用不連續(xù)函數(shù)(如式(26)中的符號函數(shù))時，會導致系統(tǒng)出現(xiàn)抖振現(xiàn)象。為此，可利用雙曲正弦函數(shù)對式(26)中的控制信號進行修正，即

(30)

3 實驗結果及分析

通過MATLAB(R2014a)/Simulink(V8.3)平臺，仿真驗證本文所提出的魯棒I&I控制律的有效性，定步長為8.5×10-6s，算法為ode3，仿真時間為6 s。IM(1.5 kW)采用籠型轉子(220～380 V)和50 Hz電源，其標稱電氣和機械參數(shù)如表1所示。轉子角速度、轉子磁通和負載轉矩的參考值分別為ωref=200 rad/s，Φref=1 Wb和TrN=5 N·m。

表1 仿真實驗中IM的標稱參數(shù)

首先，假設負載轉矩和轉子電阻為固定值，IM系統(tǒng)不存在不確定性。轉子轉速、轉子磁鏈、定子電流/電壓直軸分量和交軸分量的軌跡控制信號如圖2～圖7所示?？梢钥闯觯D子角速度和轉子磁鏈可以很好地跟蹤參考信號。

圖2 健康狀態(tài)下轉子角速度輸出軌跡

圖3 健康狀態(tài)下轉子磁通輸出軌跡

圖4 健康狀態(tài)下定子電流直軸分量輸出軌跡

圖5 健康狀態(tài)下定子電流交軸分量輸出軌跡

圖6 健康狀態(tài)下定子電壓交軸分量輸出軌跡

圖7 健康狀態(tài)下定子電壓直軸分量輸出軌跡

其次，為驗證本文控制方法的魯棒性，在考慮干擾的情況下進行了仿真。所施加的擾動為：在3 s時的負載轉矩從其額定值5 N·m變?yōu)?0 N·m(如圖8所示)，轉子電阻變化為Rr=RrN+RrN[1-exp(-1.2t)]。

圖8 負載轉矩的變化

圖9～圖14給出了故障狀態(tài)下轉子角速度、轉子磁鏈、定子電流/電壓的直接分量和正交分量的輸出軌跡。圖15顯示了脈沖參考信號下采用本文控制方法的跟蹤性能?？梢钥闯?，即使存在外部干擾時，利用本文所提出的魯棒I&I控制方法，IM轉子角速度和轉子磁鏈也能夠較好地跟蹤參考值，從而驗證了本文方法的魯棒性。最后，在相同條件下，將本文方法與SMC和磁場定向控制(FOC)方法[15]的性能進行了比較，不同方法下的轉子角速度輸出軌跡如圖16所示。結果表明，與其他方法相比，本文方法具有更為良好的魯棒性。

圖9 故障狀態(tài)下轉子角速度輸出軌跡

圖10 故障狀態(tài)下轉子磁通輸出軌跡

圖11 故障狀態(tài)下定子電流直軸分量輸出軌跡

圖12 故障狀態(tài)下定子電流交軸分量輸出軌跡

圖13 故障狀態(tài)下定子電壓直軸分量輸出軌跡

圖14 故障狀態(tài)下定子電壓交軸分量輸出軌跡

圖15 脈沖參考信號下的轉子角速度跟蹤軌跡

圖16 不同控制方法下(魯棒I&I、SMC與FOC)的

4 結束語

本文基于I&I理論，提出了一種在參數(shù)不確定情況下IM的魯棒控制新方法。由于IM系統(tǒng)具有明顯的非線性和多變量動態(tài)特性，因此，本文首先在考慮負載轉矩和轉子電阻變化導致的不確定性的前提下，通過設計補償器對IM的系統(tǒng)動力學模型進行了修正；然后，依據I&I基本原理設計了一種新的魯棒控制律，并基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，對所提出的魯棒控制器的穩(wěn)定性進行了證明；最后，利用仿真實驗驗證了本文控制方法的有效性。結果表明，在故障情況下，IM轉子角速度和轉子磁鏈都能完全跟蹤其參考值，且負載轉矩、轉子電阻的變化不會影響電機輸出軌跡的跟蹤效果。同時，當參考信號類型變化時，采用本文方法也可使電機輸出信號具有良好的跟蹤效果。