連接體速度關系求解的幾種方法

孫志峰

(福建省惠安第一中學 362100)

幾個直接接觸或借助其他媒介(如輕繩、細桿等)發(fā)生相互作用的物體，在運動過程中常常具有不同的速度，但它們的速度卻是有聯(lián)系的，即關聯(lián)速度，這一直是教學中難以突破的障礙，是學生學習的難點和易錯點.本文就此類問題通過一些實例分析，來談談此類問題的三種典型解決方法和技巧.

1 輕繩(或輕桿)連接的物體速度關系

例1如圖1所示，一根輕桿兩端分別固定小球A、B，當其靠在墻上滑下，求小球A的速度vA和小球B的速度vB之間的關系.

圖1

方法一微元法

設AB過了一段很短的時間Δt以后到了A′B′位置，過A′、B′分別作A′A″⊥AB、B′B″⊥AB，可以形成兩個微元三角形ΔAA′A″和ΔBB′B″，如圖2所示.在兩個三角形中有：AA″=AA′sinθ

圖2

BB″=BB′cosθ

因為AA″的物理意義是桿上端縮短的長度，BB″的物理意義是桿下端伸長的長度，而桿的長度不變，所以AA″=BB″，即有：

AA′sinθ=BB′cosθ

由以上三式可得：vAsinθ=vBcosθ.

方法二速度分解

由于桿的長度不變則沿桿方向的分速度相同，將兩小球的合運動即實際運動沿桿方向和沿垂直桿方向分解，如圖3.

圖3

即有vAsinθ=v沿桿=vBcosθ，

即vAsinθ=vBcosθ.

方法三功率法

如圖4，由于輕桿沒有質(zhì)量，根據(jù)能量守恒，桿的推力對小球A和B做的功等大.

圖4

推力對A的做功功率：P1=FvAsinθ，

推力對B的做功功率：P2=FvBcosθ，

由能量守恒有：P1=P2.

由以上三式可得：vAsinθ=vBcosθ

例2如圖5所示，在水平地面上用兩根不可伸長的繩子AM和BM共同拉動一個物體.某時刻，繩端A點和B點移動的速度分別為vA和vB，vA沿MA方向且與地面平行，vB沿MB方向且與地面平行，∠AMB=α.求此時物體的移動速度.

圖5

方法一微元法(略)

方法二速度分解(略)

方法三功率法

如圖6，由于輕繩沒有質(zhì)量，根據(jù)能量守恒，MA繩的拉力對A和對物體M做的功等大，MB繩拉力對B和對物體M做的功等大，即

圖6

FAvA=FAvMcosβ，F(xiàn)BvB=FBvMcos(α-β)，

故vA=vMcosβ，vB=vMcos(α-β).

例3如圖7所示，一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V勻速運動.在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動，如圖7所示.當桿與半圓柱體的接觸點P(P為圓柱體的一點)與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時，豎直桿運動的速度為( ).

圖7

方法一微元法

設半圓柱體圓心O過了一段很短的時間Δt以后到了O′位置，此時桿與圓柱體的接觸點P移到P′位置，過P作OO′的平行線交圓柱體于Q點，連接P′Q，如圖8所示.

圖8

其中四邊形OO′QP為平行四邊形，所以OO′=QP；

ΔPQP′為直角三角形，當Δt→0時，P′Q可近似看成Q點的切線，故∠PQP′=θ，則

PP′=OO′tanθ.

OO′為半圓柱體移動的距離，PP′為桿移動的距離，即有：

由以上三式可得：v′=vtanθ.

方法二速度分解

圖9

v⊥=vsinθ，

得v′=vtanθ

方法三功率法

由于桿和半圓柱體之間的相互作用力N、N′等大反向且沿與P點切線垂直即沿半圓柱體半徑方向，因為桿相對半圓柱體沿切線運動，所以桿和半圓柱體沿半徑方向速度相同，則桿和圓柱體間相互間彈力的功率等大，如圖10所示，即

圖10

Nvsinθ=N′v′cosθ得v′=vtanθ

三種方法中，微元法是通用方法，但學生不易掌握；在用速度分解的方法時，首先要明確物體的實際運動，再來一定要注意兩個分速度必須有明確的物理意義.而且繩(桿)連帶運動問題和相互接觸物體的速度分解學生也容易混淆；功率法在輕繩(輕桿)連帶問題中繩(桿)質(zhì)量不計，繩(桿)對兩頭連接的物體做功等大，在相互接觸物體中，相互間彈力等大，垂直接觸面位移相同，所以相互間彈力做功等大，因此在兩種情況中均適用.綜上所述，在理解了能量守恒關系和功率基本定義式基礎上，功率法比較簡便，學生不易出錯.