一組有心二次曲線的定值結論的統(tǒng)一形式及應用

魏東升

(福建省廈門雙十中學漳州校區(qū) 363107)

1 結論的提出

當m=n>0時，其表示圓；

當m≠n>0時，其表示橢圓；

當mn<0時，其表示雙曲線.

在此基礎上，我們還可以得到以下兩個推論：

2 結論的證明

以下給出這組定值結論的證明：

定理證明設點A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因為點C是線段AB的中點，

兩式作差變形,得

推論1證明不妨取AC中點D，連接OD，

則OD∥BC.

由定理,得

3 結論的應用

這組定值結論在高考題中的應用非常廣泛，可以用它們直接解答小題，也可以推導相關結論，還可以獲取解題思路.

3.1 直接應用

又c=3，解得橢圓E的方程為

故選D.

評析定值結論其實是直線斜率、弦中點和有心二次曲線的標準方程(橢圓或雙曲線的離心率)三者之間溝通的紐帶，上述兩個例題就很好地說明了這一點.

3.2 獲取思路

對于大題，出于答題的規(guī)范性，我們不能直接利用結論進行解題，但可以考慮先證后用，或者在我們解題過程中給我們提供解題的思路，比如：

例3(2015年全國Ⅱ卷理20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

證明設點A(x1,y1)，點B(x2,y2)，點M(xM,yM).

兩式相減整理,得

從而kOM·kAB=-9.

即直線OM的斜率與l的斜率乘積的值為-9.

評析本題除了用點差法之外，還可以采用設而不求的思路.顯然，熟悉定值結論的證明給我們的快速解題提供了很大的便利.

3.3 推導結論

A.(0,1]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)

解析當0

得0

當m>3，焦點在y軸上，

要使C上存在點M滿足∠AMB=120°，

得m≥9.

故m的取值范圍為(0,1]∪[9,+∞).

故選A.

當且僅當kAM=-kBM時，即點M在短軸頂點時等號成立，此時tan∠AMB最大，即∠AMB最大.