優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型在變形監(jiān)測中的應(yīng)用

王 炳 李培現(xiàn) 張 軍 郝登程 孫致明 周守寶

1 中國礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測繪工程學(xué)院，北京市學(xué)院路丁11號，100083 2 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，呼和浩特市昭烏達路306號，010018 3 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)計算機與信息工程學(xué)院，呼和浩特市鄂爾多斯東街29號，010011

煤炭資源開采引起的地表沉降在附加荷載的影響下會導(dǎo)致地表、建(構(gòu))筑物荷載、地基等發(fā)生不均勻沉降，為確保建筑物安全、反饋設(shè)計參數(shù)，需對其進行變形監(jiān)測[1]。依據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)，用模型表達變形時序與變化量之間的不確定性關(guān)系，對于施工質(zhì)量監(jiān)測和運行安全保障具有重要意義。鄧聚龍[2]提出的灰色系統(tǒng)理論被廣泛應(yīng)用于變形監(jiān)測領(lǐng)域。

建筑物形變量一般會隨時間發(fā)生非線性變化，將GM(1,1)模型中的灰作用量替換為冪指數(shù)形式，能夠在樣本數(shù)量較少的情況下靈活反映數(shù)據(jù)序列之間的非線性關(guān)系[3]。為提高冪模型的精度，相關(guān)學(xué)者從不同角度對其進行優(yōu)化改進，常用的改進方法有：優(yōu)化初始條件[4]、改進模型背景值構(gòu)造方式[5]、優(yōu)化參數(shù)估計方法[6]、構(gòu)建無偏模型[7]等。但隨著時間的推移，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)也在不斷變化，若使用恒定參數(shù)會使模型擬合結(jié)果與預(yù)測結(jié)果之間的誤差變大。王正新[8]在灰作用量中引入系統(tǒng)延遲時間和時間作用參數(shù)，構(gòu)建適合分析小樣本振蕩序列的非線性優(yōu)化模型，削弱了原始序列隨機波動對建模的影響。但上述模型是基于等間隔的原始觀測序列，而在實際變形監(jiān)測中很難實現(xiàn)連續(xù)等間距觀測。近年來，有學(xué)者建立非等間距GM(1,1)冪模型[9]，但未考慮到背景值等權(quán)構(gòu)造的缺陷，導(dǎo)致優(yōu)化模型對變形監(jiān)測原始數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測精度不夠理想。此外，現(xiàn)有的非等間距GM(1,1)冪模型的研究忽略了參數(shù)隨時間的動態(tài)變化特性，使得系統(tǒng)內(nèi)部的相關(guān)變量無法隨觀測序列的變動而更新。

本文提出一種優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型。根據(jù)GM(1,1)冪模型的白化微分方程推導(dǎo)模型的時間響應(yīng)序列，基于積分原理建立灰色微分方程，求解模型的線性參數(shù)，并使用粒子群算法優(yōu)化選取非線性參數(shù)，避免出現(xiàn)參數(shù)選取時目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度局部最優(yōu)的問題，從而有效提高模型的擬合與預(yù)測精度。

1 線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型

對同一序列而言，發(fā)展系數(shù)a保持不變，灰作用量b會隨時間發(fā)生變化[10]。在非等間距GM(1,1)冪模型中，若灰作用量保持不變，則估計誤差會持續(xù)增大。由文獻[11]可知，將b*=eμtb通過級數(shù)展開為(1+μt)b，用關(guān)于時間t的線性函數(shù)(μbt+b)代替原灰作用量b，能夠改進非線性系統(tǒng)內(nèi)部小樣本數(shù)據(jù)序列建模精度不足的問題。由于μ為常數(shù)，為方便表示，下文用(bt+c)代替b建立線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型。

定義1[12]設(shè)原始非負(fù)光滑序列為X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，時序間距Δti=ti-ti-1≠const,i=2,3,…,n，Δt1=1,稱

(1)

為線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型的白化微分方程。

定理1 線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型的時間響應(yīng)序列為：

(2)

證明 根據(jù)伯努利微分方程求解法則，式(1)兩端同時除以[x(0)(t)]γ得：

(3)

(4)

式中，C1為任意常數(shù)，由建模初始條件決定。

線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型的時間響應(yīng)函數(shù)可表示為：

(5)

時間響應(yīng)序列為：

(6)

式中，t=tk,k=2,3,…,n，定理1得證。

C1=

(7)

對于原始數(shù)據(jù)本身呈近似冪次增長的光滑序列，利用上述模型的時間響應(yīng)序列即可求得模型擬合值。相比于傳統(tǒng)GM(1,1)冪模型，上述模型無需進行差分還原處理，可簡化建模過程。

2 線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型背景值優(yōu)化

2.1 模型最優(yōu)背景值構(gòu)建

改進后的背景值表達式為：

z(1)(tk)=λx(1)(tk-1)+(1-λ)x(1)(tk)

(8)

式中，λ∈[0,1],k=2,3,…,n。

2.2 優(yōu)化背景值的時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型參數(shù)估計

定義2 設(shè)非負(fù)原始光滑序列為：X(0)={x(0)(t1),x(0)(t2),…,x(0)(tn)}，間距Δti=ti-ti-1≠const，Δt1=1；X(0)的(1-γ)次冪生成序列為y(0)(tk)=[x(0)(tk)]1-γ，y(0)(t1)=0，Y(0)的一階累減生成序列為Y(-1)={y(-1)(t2),y(-1)(t3),…,y(-1)(tn)}，其中y(-1)(tk)=y(0)(tk)-y(0)(tk-1)/Δtk；Z(0)={z(0)(t2),z(0)(t3),…,z(0)(tn)}為Y(0)的緊鄰均值序列，z(0)(ti)=λx(0)(tk-1)+(1-λ)x(0)(tk)，其中，λ∈[0,1],k=2,3,…,n。

定理2 線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型的灰微分方程為：

y(-1)(tk)Δtk+a(1-γ)z(0)(ti)Δtk=

(9)

證明 式(1)兩邊同時乘以(1-γ)[x(0)]-γ得：

[x(0)(t)]1-γ=(bt+c)(1-γ)

(10)

令y(0)(t)=[x(0)]1-γ，則式(10)可簡化為：

(11)

式(11)兩邊在區(qū)間[tk-1,tk]上積分得：

y(-1)(tk)Δtk+a(1-γ)z(0)(ti)Δtk=

(12)

即定理2得證。

確定冪指數(shù)γ與背景值權(quán)重λ后，同樣采用最小二乘法估計灰微分方程參數(shù)，即

[abc]T=(BTB)-1BTY

(13)

式中，

(14)

2.3 粒子群算法優(yōu)化冪指數(shù)和背景值權(quán)重

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization，PSO)是一種全局優(yōu)化算法。首先在搜索空間域內(nèi)初始化一群隨機粒子，然后經(jīng)過不斷迭代、調(diào)整得到最優(yōu)解。PSO具有設(shè)置參數(shù)少、精度高、收斂速度快等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化、計算機大數(shù)據(jù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等眾多領(lǐng)域[13]。最優(yōu)解的選擇方式有目標(biāo)函數(shù)小于給定限差和設(shè)定迭代次數(shù)2種，給定限差可能會導(dǎo)致粒子陷入局部最優(yōu)，設(shè)定迭代次數(shù)可保證每個初始種群粒子調(diào)整位置與速度，再通過迭代次數(shù)與適應(yīng)度的收斂關(guān)系調(diào)整迭代次數(shù)，確保粒子達到全局最優(yōu)。因此，采用設(shè)定迭代次數(shù)的方式來選取優(yōu)化背景值的線性時變參數(shù)非等間距GM(1,1)冪模型的最優(yōu)冪指數(shù)γ與背景值權(quán)重λ。

目標(biāo)函數(shù)為最小平均絕對百分比誤差(MAPE)，即

γ∈[-3,3],λ∈[0,1]

(15)

首先根據(jù)PSO的常規(guī)參數(shù)設(shè)定方法設(shè)置實驗運行參數(shù)；然后通過沉降觀測序列適應(yīng)度收斂趨勢調(diào)整群體規(guī)模與迭代次數(shù)，加快計算速度；最后確定本文PSO的初始化參數(shù)。具體運行參數(shù)初始化設(shè)置如下：學(xué)習(xí)因子c1=2,c2=2；初始速度Vmin=-1,Vmax=1；動態(tài)慣性權(quán)重因子ω=0.8；粒子搜索域γ∈[-3,3],λ∈[0,1]；群體規(guī)模size=100；進化迭代次數(shù)k=1 500；加權(quán)速度系數(shù)α1,α2∈[0,1]。

模型非線性參數(shù)求解步驟如下：

2)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計算初始化粒子群各粒子的適應(yīng)度fitness，尋找初始搜索域內(nèi)參數(shù)γ與λ的個體最佳位置Pbest1、Pbest2和全局最佳位置Gbest1、Gbest2。

(16)

4)若某粒子個體位置適應(yīng)度優(yōu)于Pbest1、Pbest2，則設(shè)置新位置為Pbest1、Pbest2；若粒子全局位置適應(yīng)度優(yōu)于Gbest1、Gbest2，則設(shè)置新位置為Gbest1、Gbest2。

5)輸出運行結(jié)果Gbest1為冪指數(shù)γ的最優(yōu)解；參數(shù)Gbest2為背景值權(quán)重λ的最優(yōu)解。此時優(yōu)化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型的MAPE最小。

2.4 模型精度驗證

(17)

相對誤差序列為：

(18)

MAPE為：

(19)

3 工程應(yīng)用及結(jié)果驗證

為證明優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型的適用性與優(yōu)越性，利用2組礦區(qū)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，分別建立非等間距冪指數(shù)優(yōu)化模型[3](模型1)、初始值加權(quán)平均的非等間距GM(1,1)冪模型[14](模型2)、線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型[15](模型3)與本文模型進行對比分析。

3.1 寧東礦區(qū)GNSS沉降監(jiān)測工程

以寧東礦區(qū)GNSS持續(xù)沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，首先選取金鳳20025監(jiān)測站點前7期累積沉降量作為建模數(shù)據(jù)，然后利用第8期、第9期數(shù)據(jù)對模型進行預(yù)測結(jié)果驗證，最后比較本文模型與其他3種冪模型的擬合精度和預(yù)測精度(表1)。借助MATLAB軟件得到模型參數(shù)：a=0.157 981、b=0.028 582、c=4.300 362、γ=-0.067 794、λ=0.777 521，非線性參數(shù)與MAPE的關(guān)系如圖1所示。對應(yīng)的優(yōu)化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型時間響應(yīng)關(guān)系式為：

(20)

表1 4種模型預(yù)測精度對比

寧東礦區(qū)GNSS沉降監(jiān)測工程計算結(jié)果表明，模型1、模型2和模型3擬合數(shù)值的MAPE分別為3.31%、8.62%、4.18%；預(yù)測數(shù)值的MAPE分別為9.97%、4.70%、3.75%。優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型擬合與預(yù)測的MAPE分別為2.33%、2.10%，相比于上述3種優(yōu)化模型，本文模型的精度更高，擬合值和預(yù)測值與原始觀測序列更加吻合。

圖1可反映PSO的尋優(yōu)過程，由圖可見，在該沉降監(jiān)測工程中，隨著冪指數(shù)γ在搜索區(qū)間內(nèi)逐漸靠近0，背景值權(quán)重λ在搜索區(qū)間內(nèi)不斷接近0.7，MAPE持續(xù)減小。當(dāng)冪指數(shù)為-0.067 794、背景值權(quán)重為0.777 521時，MAPE取得最小值2.33%。

圖1 MAPE與非線性參數(shù)的關(guān)系

3.2 梁家礦鐵路巖移沉降監(jiān)測工程

以梁家礦4112回采工作面鐵路巖移沉降數(shù)據(jù)為例，利用前8期原始沉降數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，后2期數(shù)據(jù)進行模型預(yù)測。4種模型的擬合值和預(yù)測值精度比較見表2。本文模型參數(shù)分別為：a=0.327 970、b=0.006 893、c=1.681 693、γ=0.465 813、λ=0.792 941，非線性參數(shù)優(yōu)化選取與MAPE的關(guān)系如圖2所示。對應(yīng)的優(yōu)化背景值的線性時變非等間距GM(1,1)冪模型時間響應(yīng)關(guān)系式為：

(21)

由表2可見，在梁家礦鐵路巖移沉降監(jiān)測工程中，優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型擬合值與預(yù)測值的MAPE分別為4.70%和6.38%，擬合值精度較模型3提高6.37%，預(yù)測值精度提高2.63%，進一步體現(xiàn)出本文模型在沉降監(jiān)測工程建模與分析中的優(yōu)越性。

由圖2可知，在搜索閾γ∈[-3,3],λ∈[0,1]內(nèi)，背景值權(quán)重λ的收斂速度較冪指數(shù)γ更快，當(dāng)γ=0.465 813、λ=0.792 941時，MAPE取到最小值4.70%。

表2 4種模型預(yù)測結(jié)果比較

圖2 MAPE與非線性參數(shù)關(guān)系

4 結(jié) 語

1)針對沉降監(jiān)測小樣本非等間距原始數(shù)據(jù)序列建模問題，構(gòu)建優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型?；诹Ｗ尤核惴?，以最小MAPE為目標(biāo)函數(shù)對非線性參數(shù)進行優(yōu)化選取，可有效避免局部極小值陷阱，增強非線性參數(shù)選取的可靠性。

2)以2組煤礦開采變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為例，對4種模型分別進行擬合與預(yù)測。計算結(jié)果表明，優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型在寧東礦區(qū)開采沉陷GNSS監(jiān)測工程和梁家礦鐵路巖移沉降監(jiān)測工程的MAPE分別為2.33%、4.70%，預(yù)測誤差分別為2.10%、6.38%，均優(yōu)于其他3種常用的非等間距GM(1,1)優(yōu)化模型。

3)相比于傳統(tǒng)方法，優(yōu)化背景值的非等間距線性時變參數(shù)GM(1,1)冪模型可提升變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的擬合與預(yù)測精度，適用于短期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測分析，可拓寬GM(1,1)冪模型在沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用范圍。