轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究

江蘇 王恩普

(作者單位：江蘇省淮陰中學(xué)教育集團 淮安市新淮高級中學(xué))

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要內(nèi)涵，作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，不僅能夠幫助學(xué)生更好地獲得解題思路，還能夠提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).轉(zhuǎn)化思想作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，屬于數(shù)學(xué)思維里的精髓部分，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，轉(zhuǎn)化思想能夠?qū)┈?、困難和生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡單、容易和熟悉的問題來解決，是學(xué)生在新知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題過程中不可或缺的重要思想，文章將從以下幾個角度談?wù)勣D(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1.數(shù)形轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生直觀素養(yǎng)

數(shù)形轉(zhuǎn)化是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，使抽象的數(shù)學(xué)直觀化、復(fù)雜的問題簡單化、表面的問題理性化，讓學(xué)生的思維更加敏捷、靈活，更有判斷力，更具深刻性，不僅能夠發(fā)揮學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的思維能力，更有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，提高思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

分析：初看此題，如果從函數(shù)的角度出發(fā)，會發(fā)現(xiàn)問題很棘手，就算是運用導(dǎo)數(shù)工具，也無從做起，因此要學(xué)會換個角度，從“形”的角度也就是幾何意義上尋求突破.

評注：本題中，從函數(shù)角度的“復(fù)雜”到幾何意義角度的“直觀”，完美體現(xiàn)了數(shù)形轉(zhuǎn)化的優(yōu)勢所在，也更容易感悟到問題的本質(zhì).

A.c

C.a

且當(dāng)x∈(0,x0)時，f(x)單調(diào)遞增；

在同一坐標(biāo)系里畫出兩個函數(shù)的圖象：

評注：本題是比較大小問題，直接比較有難度，同時構(gòu)造函數(shù)不太明顯，通過發(fā)現(xiàn)一些隱性條件構(gòu)造出函數(shù)以后，研究又遇到了困難，由于同時涉及三角函數(shù)與一次函數(shù)，無論是借助放縮，還是隱零點代換，都不易處理，而如果同時在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，問題便迎刃而解了，充分體現(xiàn)了數(shù)形轉(zhuǎn)化思想的美妙.

2.模型轉(zhuǎn)化，提升建模意識

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的核心素養(yǎng)，在平時的學(xué)習(xí)過程中，除了建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，也要能夠借助于一些特定的、熟悉的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，甚至，還可以把常規(guī)的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為實際模型來解決，進一步促進數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的提升.

分析：該題源自蘇教版2019選擇性必修第二冊82頁問題與探究，在探究中給出的解釋是從“算兩次”的角度進行研究，可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索，同時培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣，但是如果“算兩次”方法的介紹，學(xué)生不易想到，而如果把組合數(shù)恒等式與實際模型聯(lián)系在一起，問題會變得格外親切，同時又易于理解.

解析：根據(jù)題目的特點，左邊是組合數(shù)的平方，也就是組合數(shù)的乘積，我們可以構(gòu)造取球模型，而乘法可以構(gòu)造相互獨立事件同時發(fā)生的情況，于是建立如下模型：

一個盒子中有2n個球，白球n個，黑球n個，那么從中取出n個球共有多少種結(jié)果？

方案一：

方案二：

我們可以把取出的n個球進行分類：

…

評注：數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中顯得尤其重要，而構(gòu)造實際模型來解決數(shù)學(xué)問題既可以輕松的解決問題，又避免了一些可能遇到的煩瑣的運算過程，同時培養(yǎng)了學(xué)生的建模意識.如果能夠堅持帶著這樣的思維來思考問題，尤其是主動建模的意識，定會促進數(shù)學(xué)實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，從而感悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

評注：平面截球的模型在立體幾何中是必須掌握的基礎(chǔ)知識，學(xué)生掌握的相對較少，但是得分結(jié)果告訴我們，如果把該模型放在一個具體的情境中，或許會把問題考慮的相對復(fù)雜，相反，如果能夠把問題轉(zhuǎn)化為基本的常見模型，問題的解決將起到事半功倍的效果.

3.邏輯轉(zhuǎn)化，增強思維創(chuàng)新

在現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)中，學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)至關(guān)重要，不僅有助于學(xué)生知識理解能力和運用能力的提升，同時也有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科的良好發(fā)展.在具體的問題解決過程中，不僅要學(xué)會有邏輯的思考問題，還要注重邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，更為重要的是在邏輯思考的基礎(chǔ)上能否有創(chuàng)新.

【例5】設(shè)A∪B∪C={1,2,3,4,5,6}，且A∩B={1,2}，{1,2,3,4}?(B∪C)，則符合條件的(A,B,C)共有多少組.

分析：本題源于一道競賽輔導(dǎo)題，從常規(guī)角度出發(fā)，要對題中的集合A，B，C進行分類討論，分的情況比較多，而且在每一類中還要細(xì)分，學(xué)生很難通過分類討論得出正確答案，具體過程這里不再給出，讀者可以自行討論.

解析：如圖首先將集合A，B，C相交于7個區(qū)域，分別記為a，b，c，d，e，f，g可以嘗試將題目條件看作把六個數(shù)字填入集合中有多少方法.

首先，1，2，只能放在b或e中，有2×2=4種，

然后，根據(jù){1,2,3,4}?B∪C可知，3和4不在b和e中，可能在c，d，f，g中，

有4×4=16種，

最后，根據(jù)A∪B∪C={1,2,3,4,5,6}可知，5和6不在b和e中，可能在a，c，d，f，g中，有5×5=25種，

由分步計數(shù)原理可得一共有4×16×25=1 600種，即符合條件的(A,B,C)共有1 600組.

評析：本題通過轉(zhuǎn)化邏輯的順序，避開了正面多而繁雜的討論，并不因為集合背景的增加影響排列組合的主線，借助于分步計數(shù)原理，使得解題思路變得非常清晰，自然.

4.聯(lián)想轉(zhuǎn)化，促進知識遷移

解題是對已學(xué)內(nèi)容的綜合運用，涉及概念、定理、公式、技巧、方法等，如何將相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系在一起是門學(xué)問.數(shù)學(xué)解題的思維過程實質(zhì)上是已知和未知之間的一系列聯(lián)想過程，其中聯(lián)想思維就是要能見微知著，展開想象，聯(lián)系有關(guān)的或是無關(guān)的各種內(nèi)容，然后得出相關(guān)結(jié)論.據(jù)心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，善于聯(lián)想思維的人們，學(xué)到的知識在他們的頭腦里組成有機的網(wǎng)狀，相互聯(lián)系在一起，而不是相互獨立的，更不是孤立割裂的.所以我們要自覺地發(fā)揮大腦的聯(lián)想思維功能，通過聯(lián)想進行轉(zhuǎn)化達(dá)到融會貫通.

分析：剛接觸到題目，很難想象e2x會用多項式來表示，如果粗略的搜索教材中學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，好像沒有涉及，但其實在教材的三角函數(shù)習(xí)題中曾經(jīng)介紹過sinx,cosx的泰勒展開式，但是沒有給出如何研究，面對這樣的形式，我們該如何處理多項式系數(shù)呢？仔細(xì)觀察，對于展開式，可以聯(lián)想到學(xué)習(xí)過的二項式定理中的展開式的項的系數(shù)的幾種方法，經(jīng)過篩選，發(fā)現(xiàn)借助于導(dǎo)數(shù)與賦值可以解決.

解析：對于第一問，在恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…中，令x=0，可得a0=1，然后對恒等式e2x=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…兩邊求導(dǎo)，可得

2e2x=a1+2a2x+…+nanxn-1+(n+1)an+1xn+…，

則有

評注：作為高觀點下的泰勒展開式，高中教材中沒有具體提及，那么遇到以泰勒展開式為背景的問題時，需要及時聯(lián)想到學(xué)習(xí)過的二項式展開式，借助于二項式展開式中項的系數(shù)的方法，不僅使問題得到解決，還促進了知識與方法的遷移.

5.結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，會遇到各種各樣的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化思想是解題中經(jīng)常用到的，教師應(yīng)該明確轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用原則，借助于數(shù)形轉(zhuǎn)化、模型轉(zhuǎn)化、邏輯轉(zhuǎn)化、聯(lián)想轉(zhuǎn)化等方式，在實際的教學(xué)題中積極的滲透轉(zhuǎn)化思想，促進學(xué)生素養(yǎng)的提升，讓他們學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.