重視“思維建?！蹦芰ε囵B(yǎng) 提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

甘肅 焦永垚

(作者單位:甘肅省蘭州市第六中學(xué))

新時代高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標，因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)對教師提出了新要求和新挑戰(zhàn)，需要教師運用新的思維去面對，而“重視學(xué)生的思維建模能力培養(yǎng)”就是一條值得選擇和探索的途徑.在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思維建模能力培養(yǎng)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、思維建模的自主構(gòu)建與變式問題的教學(xué)功能相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性與條理性

學(xué)生自主建構(gòu)思維模型的過程就是在原有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上同化新知識的過程，在新課程理念下，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課與“題海戰(zhàn)術(shù)”漸行漸遠，為了提高復(fù)習(xí)效率，教師往往要對千變?nèi)f化的題目進行精挑細選，要講究以少勝多，而變式教學(xué)就是解決這一問題的有效途徑，我們只需將同一典型模式呈現(xiàn)在多種題目場景中設(shè)置變式問題，變式問題不僅要體現(xiàn)典型模式的共性，而且還要對比變式突出差異，這樣才能在已有模式的基礎(chǔ)上層層推進，思考差異，突破已有模式，克服思維定勢.

【案例1】在“利用基本不等式求多元函數(shù)的最值”復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生都熟悉如下基本模式：

我們可以進行如下教學(xué)設(shè)計：

第一階段：復(fù)習(xí)回顧，喚醒思維

第二階段：方法應(yīng)用，構(gòu)建思維

分析：(1)因為x+2y=1，所以

(3)因為x+2y=1，所以

第二階段的主要目的是在第一階段熟悉模式和方法的基礎(chǔ)上，繼續(xù)鼓勵學(xué)生一題多解，深刻體會解法之間的區(qū)別，以便合理選擇最優(yōu)解法.教師繼續(xù)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手點評，讓學(xué)生體會“1的代換”的技巧，即利用“配湊”或“換元”的思想將目標函數(shù)化為“倒數(shù)結(jié)構(gòu)”(思維模型如圖所示)，從而為運用基本不等式創(chuàng)造條件.

第三階段：歸類鞏固，發(fā)散思維

答案：9

答案：1

答案：6

經(jīng)歷了前兩個階段后，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了“1的代換”這一處理此類問題的基本方法和技巧，通過這一組反饋練習(xí)再進行綜合訓(xùn)練，進一步發(fā)揮模型的作用，達到縮短解題路徑的目的，從而提高了解題效率.

二、思維建模的路徑優(yōu)化與典型模式的解題功能相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與敏捷性

對于學(xué)生而言，思維建模的方式因人而異，同一個問題可以從不同角度理解模式的特征，思維建模的方式會呈現(xiàn)出每個人各自的特色，因此教師要以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與敏捷性為目的，倡導(dǎo)多向思維，鼓勵學(xué)生一題多解，引導(dǎo)學(xué)生“為問題建?！保缓蟾鶕?jù)問題的特點，并結(jié)合學(xué)生的思維水平和思維特征，引導(dǎo)學(xué)生合理選擇最優(yōu)解法，也就是找到一種讓學(xué)生能夠“以不變應(yīng)萬變”的方法，使解題步驟程序化.

思路1：利用圓錐曲線的第一定義和解三角形的相關(guān)知識處理

如圖所示，設(shè)|FB|=m，則由題意可知|AF|=4m，|AB|=5m，設(shè)C的左焦點為F1，則由雙曲線的第一定義可知|AF1|=2a+4m，|BF1|=2a+m.

在△AF1F和△BF1F中，

思路2：利用圓錐曲線和直線的位置關(guān)系處理

思路3：利用圓錐曲線的第二定義處理

思路4：利用直線的參數(shù)方程處理

思路5：利用圓錐曲線的極坐標方程處理

上述問題為圓錐曲線中與焦點三角形有關(guān)的離心率問題，此類問題在歷年高考和競賽中頻繁出現(xiàn)，我們要引導(dǎo)學(xué)生對所積累的知識經(jīng)驗進行加工，形成對此類問題的認知模型，作為引領(lǐng)學(xué)生進行解題分析的典型模式.在教學(xué)中，教師要鼓勵學(xué)生嘗試多種解法，進而在各自的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)合理選擇最優(yōu)解法，只有如此，學(xué)生才能在遇到新問題時對原有的模型進行強化或修正，最終發(fā)展成更為完整的基本模型.為了進一步強化模型，我們還可以設(shè)計如下反饋練習(xí)進行訓(xùn)練，充分發(fā)揮模型的作用，讓學(xué)生快速精準地選擇自己腦海里的“最優(yōu)解法”.

三、思維建模的方法選擇與順應(yīng)解題自然的“特法”“巧法”相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與創(chuàng)新性

很多教師在解題教學(xué)中一味倡導(dǎo)“通性通法”，而刻意排斥“特法”“巧法”，殊不知“特法”“巧法”能在解題中起到化繁為簡、事半功倍的作用.事實上，只要這些“特法”“巧法”順應(yīng)“解題自然”，符合學(xué)生的認知規(guī)律，那么我們不但不應(yīng)該排斥，而且還要專門設(shè)計基于“解題自然”的“特法”“巧法”教學(xué)，促使學(xué)生將一些“特法”“巧法”主動納入自己的認知模型中，使其變?yōu)閷儆谧约旱摹巴ㄐ酝ǚā?

解法1(通法)：當(dāng)直線EF的斜率為0時，E(-1,0)，F(xiàn)(3,0)，設(shè)P(x0,y0，則

從解法2中可以看出，極化恒等式的優(yōu)勢在于將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段長度的關(guān)系，大大地簡化了運算，提升了解題效率.利用極化恒等式可以解決平面向量中的一些求數(shù)量積、求模、求最值等問題.為了讓這些“巧法”適用于更多模型，我們需要在教學(xué)中揭示極化恒等式的來龍去脈和幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納極化恒等式所適用的題型，激發(fā)學(xué)生對“巧法”的認同感，同時在應(yīng)用中讓學(xué)生感受極化恒等式的實用價值，進一步積累解題經(jīng)驗，從而最終將這些“巧法”內(nèi)化為自己的“通性通法”.

四、思維建模的回顧反思與問題解決的數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與批判性

【案例4】已知正數(shù)x,y,z滿足x2+y2+xy=1，y2+z2+yz=2，z2+x2+zx=3，則x+y+z=________.

解析：如圖所示，從O點出發(fā)，作長度分別為x,y,z的三條線段OA,OB,OC，且使∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°.

一個復(fù)雜問題通常都是由一些小問題構(gòu)成的，因此復(fù)雜問題的解題之道和思維建模的路徑是一致的.對于一道復(fù)雜問題，我們不能僅僅滿足于得到問題的結(jié)果，如果忽視了解題后的回顧反思，無異于“入寶山而空返”，就錯過了再提升的機會.如案例4，在問題解決后，教師可以啟發(fā)學(xué)生對思維模型的構(gòu)建作如下回顧反思：

回顧反思1：對于這樣一道解方程組的問題，我們通過挖掘方程的代數(shù)結(jié)構(gòu)，將其與余弦定理聯(lián)系，再構(gòu)造幾何圖形解決.構(gòu)造幾何圖形是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用方法，此法能夠把抽象的代數(shù)關(guān)系用圖形直觀地表示出來，從而快速抓住問題的本質(zhì)，使復(fù)雜問題變得簡單，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.構(gòu)造幾何圖形解題不僅能夠獲得賞心悅目的解答過程，而且還可以提升直觀想象核心素養(yǎng).

回顧反思2：數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，“數(shù)形結(jié)合”具有雙向性，我們既要進行代數(shù)抽象的探索，又要進行幾何直觀的分析，兩者是密切聯(lián)系、相輔相成的統(tǒng)一整體，而不是簡單的“代數(shù)問題幾何化”或“幾何問題代數(shù)化”，在解題時要靈活應(yīng)用.

回顧反思3：本題求解中，將已知方程與余弦定理聯(lián)系是解題的關(guān)鍵，此類題目在各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)，通過鞏固與練習(xí)更有利于提升學(xué)生的思維品質(zhì).

練習(xí)1:計算sin220°+cos250°+sin20°cos50°=_____.

總之，將思維模型嵌入解題教學(xué)中，有利于學(xué)生更深刻地理解知識、更靈活地選擇方法，從而更高效地解決問題，思維建?？梢杂行У靥嵘龑W(xué)生思維的邏輯性、靈活性、批判性以及創(chuàng)新性，思維建模還可以有效地整合自身的知識經(jīng)驗，形成思維模型，并在不斷地解題實踐與反思中修正和完善，最終內(nèi)化為屬于自己的基本模式，在解題中可以“信手拈來”，達到得心應(yīng)手的境界，從而發(fā)揮模型的最大價值.