與球有關的綜合問題探究

江蘇 陳 敏 張啟兆

(作者單位：無錫市第六高級中學 無錫市青山高級中學)

與球相關的綜合問題是近年高考命題的熱點之一，而球與幾何體的切、接、截問題是與球相關的綜合問題中常見的題型，從“幾何作圖”和“分析圖形”兩個角度考查直觀想象核心素養(yǎng)，考查考生的空間想象能力和推理論證能力，同時考查數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)，也是考試的難點.下面談談與球有關的綜合問題的解題方法與策略.

1.補形法，轉(zhuǎn)化為熟悉模型

全國卷一直注重對球體的考查，尤其是和其他幾何體的組合，涉及切、接、截時相關的計算問題，求解這類問題時，要善于將問題向熟悉的問題轉(zhuǎn)化，往往可以通過補形將球體放置在更為特殊的幾何體中研究，實現(xiàn)復雜問題簡單化.

與球有關的切、接問題中，有以下常用結論：

圖1

圖2

圖3

(2)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.

【分析】先畫出圖形，如圖，由題意可知，利用條件直接求解a，難度較大，但此四面體的對棱相等，故該四面體可以通過補形，補成一個長方體，將四面體的外接球問題轉(zhuǎn)化成長方體的外接球問題，從而轉(zhuǎn)化為長方體棱長與其外接球半徑之間的關系.設出長方體過一個頂點的三條棱長，由已知求出三條棱長，則a可求.

【規(guī)律方法】(1)知識儲備：球和長方體切、接問題是最典型的組合體問題，平時多加研究總結，吃透處理這類問題的方法;

(2)轉(zhuǎn)化意識：當遇到不規(guī)則的幾何體與球切、接問題時，多聯(lián)想發(fā)散，不規(guī)則的幾何體從哪來？通過空間想象，找到它的源，嘗試將其置在規(guī)則的幾何體中認知，問題便不難解決;

(3)方法技巧：如果一個三棱錐的三對對棱長度分別相等，則可將其置于長方體中，使其四個頂點分別位于長方體的頂點上，六條棱分別位于長方體的六個面對角線上，即“對棱相等”模型.

【易錯提醒】(1)不注重積累，缺乏對常見基本組合體的認識和研究，讓轉(zhuǎn)化無“源”；

(2)沒有厘清原組合體的點線面之間的關系，在補形時張冠李戴，補錯形.

【分析】首先要根據(jù)題意準確作出圖形，根據(jù)該三棱錐底面△ABC的各邊長及中線長特征，將下底面補形成平行四邊形ABO1C，且O1為△ABC的外心，三棱錐V-ABC外接球的球心必在VO1上.

【規(guī)律方法】(1)補形法適用于特殊的棱錐;

(2)若三棱錐具有三條棱兩兩垂直或三個平面兩兩垂直的特征，應用數(shù)學建模，構建“兩兩垂直”模型，即“墻角”模型，如圖所示，將三棱錐放入伴隨長方體中，將棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，不用找出球心的具體位置，這是處理此類問題的簡潔途徑.也可以推廣到直四棱柱;

(3)對于一側棱垂直于底面且底面是非直角三角形的四面體的外接球半徑問題，可以將四面體補形，補成直四棱柱(或直六棱柱)，使得三棱錐的各個頂點與直四棱柱(或直六棱柱)的頂點重合，因為它們的外接球相同，故可利用直四棱柱(或直六棱柱)的外接球半徑公式求出三棱錐的外接球半徑.

【易錯提醒】注意聯(lián)系三棱錐的棱長和位置特征，識別三棱錐類型，找準球的直徑和三棱錐關聯(lián)的棱長，以防錯位.

【教學建議】重視識圖、作圖和用圖，乃至變換圖，提升空間想象能力.球和幾何體切、接、截問題，旨在考查學生的空間想象能力.問題往往始于構圖，我們更要借助于圖形，行于識圖、通于析圖、善于變圖、止于用圖.要引導學生有意識地親自動手作圖，提高識圖、辨圖、畫圖、用圖、變圖的能力.解題時，題目中時常無圖，要啟發(fā)引導學生發(fā)揮空間想象能力，構造出空間圖形，甚至于要在大腦中思考、想象，嘗試猜想點、線、面位置關系，然后正確地作出直觀圖形，進一步求解問題.

2.空間問題平面化

由于“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時，應注意與圓的性質(zhì)類比.球的軸截面是大圓，它幾乎含有球的全部元素，所以有關球的計算，往往可以作出球的一個大圓，化“球”為“圓”來解決問題，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

【分析】(1)本題沒有給出圖形，其實質(zhì)是要考查學生的空間想象能力和作圖能力，所以要準確畫出圖形(如圖4)；

(3)將圖4繞棱BC所在直線順時針旋轉(zhuǎn)90°(如圖5)，再瞧瞧，問題變得更“容易”.

【解】如圖4,

圖4

圖5

取B1C1的中點為E，BB1的中點為F，CC1的中點為G，

因為∠BAD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，

所以△D1B1C1為等邊三角形，

又四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，

因為BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥側面B1C1CB，

設P為側面B1C1CB與球面的交線上的點，

則D1E⊥EP，

【小貼士】橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同，變換角度，找準適合個人視角習慣的圖形，能讓問題更“容易”.

【例4】(2020·新高考Ⅰ卷·4)如圖，日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為( )

A.20°B.40°C.50°D.90°

【分析】將題干所涉及的條件在圖中“翻譯”出來，通過空間想象將日晷晷針與點A處的水平面所成的角轉(zhuǎn)化成線線所成的角，進而實現(xiàn)立體問題平面化的目標，再運用平面幾何知識求解.

【解】畫出截面圖，如圖所示，其中CD是赤道所在平面的截線.

l是點A處的水平面的截線，由題意可得OA⊥l，AB是晷針所在直線.m是晷面的截線，由題意晷面和赤道面平行，晷針與晷面垂直，

根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得m∥CD，

根據(jù)線面垂直的定義可得AB⊥m，

由于∠AOC=40°，m∥CD，

所以∠OAG=∠AOC=40°，

由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90°，

所以∠BAE=∠OAG=40°，即晷針與A處的水平面所成角為∠BAE=40°，故選B.

【規(guī)律方法】(1)處理與立體幾何有關的應用問題時，要厘清實際背景下的條件，設法用立體幾何中的點線面的位置關系和數(shù)量關系來準確刻畫，實現(xiàn)數(shù)學化目標；

(2)統(tǒng)籌條件，在圖中標注出已知條件，尋求條件間的橋梁，盡量將條件轉(zhuǎn)移至某一平面中處理，進而實現(xiàn)立體問題平面化，在平面中再進一步解答.

【易錯提醒】球和幾何體切接問題，在審題上多思考，舍得花時間，俗語說得好“磨刀不誤砍柴工”，厘清問題的來龍去脈，問題就能解決一大半.

3.找球心(勾股定理法)

【例5】(體積問題)(2021·全國甲卷理·11)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC,AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為( )

【分析】先確定所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1中，利用勾股定理求出OO1，再利用錐體的體積公式即可求解.

【解】如圖，因為AC⊥BC,AC=BC=1，所以△ABC為等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點，

OO1⊥平面ABC.

故選A.

【規(guī)律方法】結論1：正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點.

結論2：正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點.

結論3：直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點.

方法技巧：勾股定理法的關鍵是找球心，球心一定在過底面的外心與底面垂直的直線上，畫出截面圖，構造與半徑R有關的直角三角形.

【教學建議】注重知識的積累，構造模型，提升轉(zhuǎn)化能力.球和幾何體的切、接、截問題看似復雜，實質(zhì)可以化歸與轉(zhuǎn)化為幾種常見模型，平時的學習中，只要我們善于梳理和積累，掌握各種模型問題的處理策略，便可以以不變應萬變，另外，在處理這類問題時心中時刻要有一種意識，即“降維”思想，將三維向二維轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)立體問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來處理.

4.體積分割法

【例6】某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐內(nèi)有一個半徑為1的球，則該四棱錐的表面積的最小值是( )

A.16B.8C.32D.24

【分析】由題意知該四棱錐是正四棱錐，在正四棱錐P-ABCD中，設底面正方形的邊長為2a，高為h，由題意可知半徑為1的球是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球時，該四棱錐的表面積最小，利用等體積法求出a與h的關系，再將四棱錐的表面積表示成關于h的函數(shù)，再由基本不等式求解即可.

【解】因為四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，所以四棱錐P-ABCD是正四棱錐.

如圖，當半徑為1的球是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球時，該四棱錐的表面積最小，設正方形ABCD的邊長為2a，AC∩BD=O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，所以正四棱錐P-ABCD的高為PO，設PO=h，正四棱錐P-ABCD的表面積為S，

設t=h-2>0，可得h=t+2，

【規(guī)律方法】結論1：內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等.

結論2：正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.

結論3：正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不定重合.

方法技巧：體積分割法是求內(nèi)切球半徑的常用方法.

5.解析法

球和幾何體的切、接、截問題，重點考查空間想象能力，涉及點、線、面的位置關系及數(shù)量關系，運用綜合幾何法，將空間問題平面化，“一作、二證、三求解”的步驟，把角和距離的計算化歸為三角形的邊角關系進行求解要求較高，若幾何體相對規(guī)則，運用向量坐標法，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，化為空間向量的坐標運算求解，便可以以計算代替推理，降低思維難度.

【例7】(表面積問題)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為________.

【視角1】求該球的表面積，就是要求球的半徑，本質(zhì)是在空間中找到一點M，使得點M到三棱錐的四個頂點距離相等，再基于該三棱錐，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，就能通過設坐標，根據(jù)幾何特征建立方程組，方程獲解，問題便迎刃而解.

A(-1,0,0)，P(-1,0,2)，設球心為M(x,y,z)，于是有MA=MB=MC=MP，則

則R2=22+12=5，表面積為4πR2=20π.

【評注】在利用解析法中，關鍵在于選準坐標系，正確寫出坐標，建立方程.

【視角2】在本題中，如果∠BAC=90°，那么我們就可以借鑒上面的第1種方法：補形，將三棱錐補成長方體，將三棱錐與球的問題轉(zhuǎn)化為長方體與球的問題，但是本題中∠BAC=120°，不方便補成長方體，于是聯(lián)想到把下底面補成正六邊形，從而把上述三棱錐補成正六棱柱，如圖，把三棱錐與球的問題轉(zhuǎn)化為正六棱柱與球的問題.根據(jù)正六棱柱的對稱性，于是得到下面的解法2.

解法2(補形法)：該三棱錐可以通過補形補成一個正六棱柱，如圖所示，

【評注】本題探究了三種方法：解析法，補形法(轉(zhuǎn)化為特殊的幾何體與球相接問題)，找球心(轉(zhuǎn)化為平面圖形問題處理)，通過上述幾種方法比較，我們可以選擇、優(yōu)化解決立體幾何中特別是幾何體的接切問題的方法.

【規(guī)律方法】利用向量法求解球和幾何體切接問題時：

(1)選好基底或建立空間直角坐標系是后續(xù)解題的前提；

(2)多從方程結構把握方程特征，注意整體思想化簡和求解方程.

【易錯提醒】因點、線、面位置關系不夠清晰，導致空間點的坐標出錯.

【教學建議】發(fā)散思維，多方認知，優(yōu)化解法，提高解題能力.處理球和幾何體切、接、截問題的核心在于將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，在具體求解時，首先可以放眼整體觀察，將問題置在“大背景(補形)”下認識，有了“靠山”就容易求解了；其次，當問題要求空間想象能力相對較高，不易聯(lián)系各種條件時，可以考慮可否放在空間直角坐標系下處理，化立體中的推理過程為代數(shù)運算過程，平時要從不同角度解決問題，積累經(jīng)驗，以便在解決新問題時，根據(jù)具體條件因地制宜，靈活選擇使用方法，提高解題能力.