一類數(shù)列壓軸小題的探究

湖北 何 群 周天喜

(作者單位：華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 武漢市東湖中學(xué))

在數(shù)列問題中有一類壓軸題型，考查數(shù)列的單調(diào)性和有界性，實質(zhì)上這類題型可以借助數(shù)形結(jié)合產(chǎn)生，屬于它的特殊解決方法，即蛛網(wǎng)法，我們把這類題型稱為蛛網(wǎng)模型.這類題型主要研究數(shù)列通項迭代關(guān)系，對于特殊的數(shù)列通項迭代關(guān)系，我們可以根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的通項公式，但對于一般的數(shù)列通項迭代關(guān)系，很難直接求出其通項公式，因此不能僅靠求出數(shù)列的通項來研究遞推數(shù)列的有界性和單調(diào)性，而借助蛛網(wǎng)圖這個工具可以很好地理解數(shù)列的變化趨勢，從而更好地研究數(shù)列的單調(diào)性和有界性.

數(shù)列在歷年的高考中有著重要地位，常與函數(shù)、方程、不等式等知識綜合考查，因其綜合性和探索性強，往往使得試題新穎且難度較大，不僅考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，也考查學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)新意識.

下面我們主要以湖北省部分重點中學(xué)2022屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第12題為例，展開針對高等數(shù)學(xué)中“蛛網(wǎng)法”的分析，以及通過數(shù)形結(jié)合解決迭代數(shù)列的變化問題的思考.

一、考題呈現(xiàn)

已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，ean+1+an=ean+1(n∈N*)，前n項和為Sn，則下列選項中正確的是(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln3≈1.099)( )

A.an+an+1≥ln2

B.S2020<666

D.{a2n-1}是單調(diào)遞增數(shù)列，{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列

解法分析：ean+1+an=ean+1(n∈N*)，

則an+1=ln(ean+1)-an，即有

這種變化過程類似蜘蛛織網(wǎng)過程，所以簡稱蛛網(wǎng)圖法.

故選ACD.

分析：上述方法適用于an+1=f(an)(n∈N*)迭代生成的數(shù)列問題，往往不需要進行大量變形化簡工作，借助數(shù)形結(jié)合即可很快發(fā)現(xiàn)其變化趨勢，進而直接判斷其單調(diào)性和有界性，很好地將煩瑣的解題過程變得簡單直觀.

二、數(shù)列蛛網(wǎng)模型

數(shù)列蛛網(wǎng)模型主要研究數(shù)列通項迭代關(guān)系，主要題型是數(shù)列單調(diào)性和有界性.具體表現(xiàn)方式如下：

結(jié)合上述問題及理論分析可將其解題過程簡單總結(jié)為三個步驟：一求，求構(gòu)造的函數(shù)f(x)與y=x的交點，即可得到不動點，初步判定有界性；二畫，畫出y=f(x)與y=x的函數(shù)圖象；三織網(wǎng)，織網(wǎng)過程就是呈現(xiàn)數(shù)列的變化過程.

(一)蛛網(wǎng)模型一(an+1=f(an)(n∈N*)

【例1】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+sinan(n∈N*)，則下列選項錯誤的是( )

A.an+1≥an

B.an≤2n-1

C.an≤π

D.an≤2

解：一求：根據(jù)an+1=an+sinan，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+sinx，聯(lián)立f(x)=x+sinx與y=x，求解得到sinx=0，則x=0，π，2π，…；

二畫：在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)=x+sinx與y=x的函數(shù)圖象，再根據(jù)上一步求出的解即可明確兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)；

三織網(wǎng)：根據(jù)a1=1的值，明確開始織網(wǎng)的位置，根據(jù)織網(wǎng)的規(guī)則進行操作.如圖：

由圖可知an

分析：此題通過蛛網(wǎng)圖直接呈現(xiàn)出數(shù)列{an}的有界性和單調(diào)性，針對選項的思考明顯簡單很多，使得壓軸變易.

A.(0，1)B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

分析：通過數(shù)列{an}的遞推公式an+1=f(an)(n∈N*)構(gòu)造的函數(shù)f(x)是一個二次函數(shù)類型，稱為二次遞推型數(shù)列問題，這樣的數(shù)列問題往往是給定首項范圍，以及遞推公式，根據(jù)條件解決與數(shù)列有關(guān)的有界性或者單調(diào)性問題，或者在遞推公式中插入?yún)?shù)，給出數(shù)列的單調(diào)性或有界性，進而求解參數(shù)取值范圍.整體難度大，很難直接求出通項公式，所以借助蛛網(wǎng)圖就可以將二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)作為背景，根據(jù)二次函數(shù)與y=x的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、頂點及特殊點等有關(guān)性質(zhì)，直接判斷對應(yīng)數(shù)列性質(zhì)，巧妙地化簡了試題難度，使得蛛網(wǎng)助力，壓軸變易.

(二)蛛網(wǎng)模型二(an=f(an+1)(n∈N*)

此模型與蛛網(wǎng)模型一有一定的區(qū)別，那么還能不能直接利用蛛網(wǎng)模型一的三步法求解數(shù)列問題呢？下面通過例題進行分析.

思考：很明顯這里是an=f(an+1)(n∈N*)，與an+1=f(an)(n∈N*)有本質(zhì)區(qū)別，模型一需要的是an+1用an來表示，但這里是an用an+1來表示.

解：一求：這里不再是構(gòu)造關(guān)于an的函數(shù)形式，而是an+1的函數(shù)形式，類比模型一的特點，將其構(gòu)造成關(guān)于y的函數(shù)f(y)=y2-y，即可得到方程y2-y=x；

二畫：要畫f(y)=y2-y的圖象相對來說比較困難，但這里的f(y)=y2-y很明顯與f(x)=x2-x是互為反函數(shù)，即關(guān)于y=x對稱，我們直接畫出f(y)困難，但是我們借助f(x)=x2-x的函數(shù)圖象，將其關(guān)于y=x對稱，即可得到相應(yīng)的圖象.同理，求解方程y2-y=x是將其看作關(guān)于y的一元二次方程，求得的解含根式，不便于畫圖象找交點，但其反函數(shù)f(x)=x2-x與y=x的交點橫坐標(biāo)很好解，即x=0或x=2，即f(y)=y2-y與y=x的交點橫坐標(biāo)也為x=0或x=2，如圖：

三織網(wǎng)：根據(jù)數(shù)列{an}單調(diào)遞增可知a1∈(0，2).

數(shù)列通項迭代關(guān)系的單調(diào)性與有界性考查很常見，但在高中階段主要是以上呈現(xiàn)的兩種數(shù)列蛛網(wǎng)模型，針對這類問題研究透徹很困難，本專題涉及的知識點多，過程繁雜，巧妙利用蛛網(wǎng)圖，解決數(shù)列小題壓軸題就可以了，所以在運用的過程中注意解題步驟(三步法)，即可把過程流程化、簡單化，便于學(xué)生理解.