空氣的浮力與不連續(xù)性對(duì)密立根油滴實(shí)驗(yàn)測(cè)量值影響的定量分析

劉宇飛

(桂林理工大學(xué)理學(xué)院 廣西 桂林 541008)

劉小良

(中南大學(xué)物理與電子學(xué)院 湖南 長(zhǎng)沙 410083)

密立根油滴實(shí)驗(yàn)最先是由美國(guó)的物理學(xué)家密立根(R.A.Millikan)設(shè)計(jì)出來的，用以測(cè)定基本電荷的電荷量并證實(shí)電荷的量子化現(xiàn)象[1].實(shí)驗(yàn)中先測(cè)量出大量帶電油滴所帶的電荷量值，然后采用逐差法或作圖法計(jì)算出基本電荷的電荷量，或者說電子的電荷量[2～4].此外，隨著基本電荷電荷量測(cè)量精度的大大提高，已經(jīng)得到公認(rèn)的基本電荷的電荷量值為e=(1.602 177 33±0.000 000 49)×10-19C[5]，目前,許多大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，倒驗(yàn)法也被普遍使用[6,7].測(cè)量油滴所帶的電荷量有兩種基本方法：一種是動(dòng)態(tài)法，首先測(cè)出帶電油滴在未加外場(chǎng)時(shí)在空氣中勻速下落的速度，然后測(cè)量外加適當(dāng)與重力相反的電場(chǎng)力時(shí)帶電油滴勻速上升的速度，最后再由力的平衡方程得出帶電油滴的電荷量；另一種方法是靜態(tài)法，也叫平衡法，首先外加一個(gè)適當(dāng)?shù)碾妶?chǎng)力與帶電油滴的重力平衡，然后撤除電場(chǎng)力使油滴在重力和空氣對(duì)它的粘滯阻力下達(dá)到勻速下落狀態(tài)，測(cè)出其勻速下落速度，最后根據(jù)力的平衡方程得到油滴的帶電荷量[8～10].相對(duì)來說靜態(tài)測(cè)量法原理簡(jiǎn)單，操作比較容易，數(shù)據(jù)處理方便，因此，成為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中常選的實(shí)驗(yàn)方法，本論文的討論主要是基于靜態(tài)測(cè)量法.為了實(shí)驗(yàn)的方便，一些常用實(shí)驗(yàn)方法中常將油滴所受空氣浮力忽略，甚至忽略空氣的不連續(xù)性對(duì)空氣粘滯系數(shù)的影響，這樣就導(dǎo)致了測(cè)量結(jié)果的系統(tǒng)誤差，已經(jīng)有部分文獻(xiàn)對(duì)此有過定性或不同程度的定量分析[11,12]，但仍然存在促進(jìn)其嚴(yán)謹(jǐn)性空間.本文將從理論上嚴(yán)格推導(dǎo)空氣浮力與空氣的不連續(xù)性對(duì)油滴帶電荷量的影響，并定量化不計(jì)空氣浮力與空氣的不連續(xù)性對(duì)測(cè)量結(jié)果造成的相對(duì)誤差.

1 不計(jì)空氣浮力與不連續(xù)性時(shí)油滴的電荷量

在忽略空氣浮力與空氣的不連續(xù)性前提下，靜態(tài)測(cè)量法獲取帶電油滴的處理過程可以簡(jiǎn)述如下.

調(diào)節(jié)油滴盒兩極板之間的電壓，使油滴處于平衡狀態(tài)，可得到平衡方程

(1)

其中q,U,d,m和g分別是油滴電荷量、極板之間的電勢(shì)差、極板之間的距離、油滴質(zhì)量和重力加速度.要獲得油滴電荷量需要獲取油滴的質(zhì)量，然而此處油滴的質(zhì)量太小，無法用天平等直接方法稱量，需要采用間接的方法獲得.

考慮到在表面張力作用下，油滴呈現(xiàn)為球體狀，可以將油滴的質(zhì)量表達(dá)為如下形式

(2)

其中ρ和r分別是油滴的質(zhì)量密度和油滴的半徑.

為了獲得油滴的半徑值，關(guān)閉加在油滴盒兩極板之間的電壓，此時(shí)油滴在重力作用下首先呈加速下落，然后會(huì)受到一個(gè)大小與油滴下落速度成正比的空氣的粘滯阻力，最后油滴的受力達(dá)到平衡后會(huì)呈勻速下落狀態(tài).根據(jù)斯托克斯定律，可以寫出該狀態(tài)下的平衡方程

6πrηv=mg

(3)

其中η為空氣的粘滯系數(shù)，v為油滴勻速下落時(shí)的速度.

聯(lián)立式(1)～(3)，可將油滴的電荷量表述為

(4)

2 不計(jì)空氣浮力與不連續(xù)性時(shí)油滴的電荷量測(cè)量結(jié)果的誤差分析

2.1 空氣浮力對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

由于該實(shí)驗(yàn)是在大氣環(huán)境下進(jìn)行的，油滴必然會(huì)受到空氣浮力的作用，上述平衡方程(1)和(3)必須考慮油滴所受的空氣浮力

(5)

其中ρ′為空氣的質(zhì)量密度.容易得到，當(dāng)計(jì)入空氣對(duì)油滴的浮力時(shí)，式(4)中的ρ需要修正為ρ-ρ′，即計(jì)入空氣浮力前后ρ的增量為Δρ=-ρ′，于是由式(4)的微分，可以得到q的增量

(6)

2.2 空氣的不連續(xù)性對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響

當(dāng)將空氣視為連續(xù)均勻介質(zhì)時(shí)，空氣的粘滯系數(shù)為常數(shù)，由方程(2)、(3)可得出油滴的半徑表達(dá)式

(7)

由于油滴的半徑非常接近于常溫下空氣分子的平均自由程，此時(shí)的空氣不能視為連續(xù)均勻介質(zhì)，其粘滯系數(shù)需要修正為

(8)

其中p為空氣壓強(qiáng)，b為修正系數(shù).將修正后的粘滯系數(shù)取代方程(3)中的粘滯系數(shù) ，再和式(1)、(2)聯(lián)立可得到油滴的半徑和油滴帶電荷量為

(9)

(10)

由式(10)容易看出，當(dāng)忽略空氣的不連續(xù)性時(shí)，相當(dāng)于其中的修正系數(shù)b取0值，式(10)即轉(zhuǎn)化為式(4).當(dāng)計(jì)入空氣的不連續(xù)性時(shí)，b的增量為

Δb=b-0=b

由式(10)的微分，可以得到q的增量

秦鐵崖伸手示意：“這是刑部趙大人交給我的差事，現(xiàn)在交差。我已給老仙翁說好，騰一座小院出來，專供你表姐居住。”說罷拱手告辭。

(11)

對(duì)應(yīng)的相對(duì)誤差為

(12)

已知油滴的密度以及其他各參數(shù)值分別為

p=1.01×105Pa

b=8.22×10-3Pa·m

g=9.79 m·s-2

η=1.83×10-5kg·m-1·s-1

而油滴的勻速下落速度基于實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，這里可以取

v=7.5×10-5m·s-1

將全部參數(shù)代入式(11)，可以得到Δq為負(fù)值，意味著若不考慮空氣的不連續(xù)性時(shí)將高估油滴的帶電荷量，并且可以計(jì)算出此時(shí)的相對(duì)誤差約為15.2%，因此,為了提高實(shí)驗(yàn)的精度，在測(cè)量油滴的帶電荷量時(shí)必須考慮空氣的不連續(xù)性的影響，需要對(duì)空氣的粘滯系數(shù)進(jìn)行修正.

鑒于式(10)處理起來有點(diǎn)困難，比較方便的處理方法是將修正后的粘滯系數(shù)式(8)代入式(4)得

(13)

并且在數(shù)據(jù)處理時(shí)，將油滴的半徑r用式(7)代入.

可以證明這種處理方法對(duì)由于空氣的不連續(xù)性引起的系統(tǒng)誤差的消除上，與采用式(10)有幾乎等價(jià)的效果.由式(4)和(13)，可得

(14)

于是有

(15)

將已知參數(shù)代入后可以得到該相對(duì)誤差值約為12%，與基于式(10)得到的15.2%比較接近，已經(jīng)基本包含了空氣的不連續(xù)性對(duì)油滴電荷量的影響.

如果同時(shí)考慮空氣的浮力與空氣的不連續(xù)性，則油滴帶電荷量的精確表達(dá)式可寫為

(16)

該式可以充分消除油滴電荷量測(cè)量值中因浮力和空氣的不連續(xù)性所導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差.相應(yīng)地，油滴電荷量的近似表達(dá)式(13)可以修正為

(17)

3 結(jié)束語

在密立根油滴實(shí)驗(yàn)中，如果不計(jì)入空氣浮力和空氣的不連續(xù)性，會(huì)對(duì)油滴帶電荷量的測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生系統(tǒng)誤差.在典型參數(shù)設(shè)置之下，可以發(fā)現(xiàn)，忽略空氣浮力產(chǎn)生的相對(duì)誤差不超過0.1%，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響是比較微小的，所以無論在靜態(tài)法還是動(dòng)態(tài)法中，都可以忽略油滴所受的空氣浮力.然而當(dāng)忽略空氣的不連續(xù)性、不均勻性時(shí)，產(chǎn)生的相對(duì)誤差可以達(dá)到15.2%，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果有大的偏離，因此，在實(shí)驗(yàn)中必須考慮空氣的不連續(xù)性對(duì)空氣的粘滯系數(shù)的影響，從而提高油滴帶電荷量測(cè)量的精度.