分離雙模壓縮玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)并檢驗其貝爾關(guān)聯(lián)

孟 鑫, IVANNIKOV Valentin,2, BYRNES Tim,2

（1. 華東師范大學(xué) 精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室, 上海 200241;2. 上海紐約大學(xué) 物理系, 上海 200122）

0 引 言

糾纏作為量子力學(xué)的核心內(nèi)容之一, 是當(dāng)今現(xiàn)代量子信息技術(shù)重要的資源. 產(chǎn)生糾纏需要高度精確的操作和非常低的噪音水平, 一般來說有兩種產(chǎn)生糾纏粒子的方法: 第一種方法是通過適當(dāng)?shù)南嗷プ饔镁懿倏孛總€粒子, 使它們一個一個地糾纏在一起, 例如, 物理學(xué)家們利用這種方法已經(jīng)成功地產(chǎn)生了多達(dá)10 個光子[1]的糾纏態(tài)和20 個離子[2]的糾纏態(tài). 第二種方法是通過囚禁粒子, 并對粒子整體進(jìn)行操控, 使它們共同相互作用演化為一種糾纏態(tài); 這種方法可以使成千上萬的原子產(chǎn)生糾纏即玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC), 這是物質(zhì)在極低溫度下的一種狀態(tài), 內(nèi)部所有原子都處于同一狀態(tài); 雖然這種方法可以用來產(chǎn)生大量糾纏的粒子, 但是缺乏對單個粒子的操控意味著這些系統(tǒng)不適用于完成某些量子信息任務(wù). 本文主要通過對BEC 進(jìn)行空間分離以改善這種情況.

糾纏最早是由Einstein、Podolsky 、Rosen (EPR) 3 人[3]在1935 年的思想實驗上提出的. 1964 年貝爾將EPR 佯謬轉(zhuǎn)換為可被實驗驗證的貝爾不等式[4], 這激發(fā)了大家對非定域性理論的興趣[5]. 在CHSH 貝爾不等式的指導(dǎo)下[6], Freedman 等[7-10]通過實驗證明了糾纏光子對違反貝爾不等式. 盡管該實驗存在一些漏洞, 但依然能夠從違反貝爾不等式的結(jié)論中得出對局域現(xiàn)實論概念性的挑戰(zhàn). 在量子信息中, 量子關(guān)聯(lián)根據(jù)相互作用強(qiáng)度可依次分為量子相干、量子關(guān)聯(lián)、EPR 關(guān)聯(lián)、貝爾關(guān)聯(lián), 其中貝爾關(guān)聯(lián)(即非定域性)代表了量子力學(xué)與經(jīng)典物理學(xué)最為深刻的背離.

量子計算、量子模擬和量子精密測量[11]等領(lǐng)域的現(xiàn)代量子技術(shù)要求產(chǎn)生和操控由糾纏粒子組成的宏觀系統(tǒng). 因此, 由大量冷原子組成的BEC 就是一種非常合適的研究對象. 本文對雙模壓縮BEC 進(jìn)行分離, 得到兩個空間分離的BEC 并對其進(jìn)行觀測, 以證明系統(tǒng)內(nèi)部存在貝爾關(guān)聯(lián).

1 物理模型

1.1 改變自旋的碰撞

由N個內(nèi)部狀態(tài)相同的原子組成的BEC 處于狀態(tài)

其中,g表示散射過程中的強(qiáng)度. 公式(2)與量子光學(xué)中雙模壓縮態(tài)的哈密頓量相同[17-19]. 通過定義

將哈密頓量進(jìn)行統(tǒng)一變換. 公式(3)中壓縮參數(shù)(壓縮強(qiáng)度)為r=gNt, 其中t表示時間. 在海森堡繪景中壓縮算符變?yōu)?/p>

因此, 經(jīng)過改變自旋的碰撞后, 初始態(tài)變?yōu)閇18,20]

在公式(5)中, 把Fock 態(tài)定義為

公式(5)在a?1模和a+1模下有相同數(shù)目的Fock 態(tài), 具有雙模壓縮態(tài)的特征. 在本征近似下, 只有+1 模和–1 模被認(rèn)為是量子態(tài). 由于大量的原子處于0 態(tài), 即便其中有部分原子會轉(zhuǎn)變?yōu)?1 態(tài)和–1 態(tài), 但相較處于0 態(tài)的原子數(shù)而言這部分原子的數(shù)量并不多. 因此, 可以近似地將0 態(tài)當(dāng)成經(jīng)典態(tài)來處理. 在這個近似下, 根據(jù)公式(6), 初始狀態(tài)(公式(1))對應(yīng)于真空.

1.2 分離玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)

2017 年Oudot 等[21]提出了可以通過1 個與狀態(tài)無關(guān)的分束器將BEC 分離. 如圖1 所示, 將左邊阱的模和湮滅算符am(Alice 的BEC)聯(lián)系起來, 將右邊阱的模和湮滅算符bm(Bob 的BEC)聯(lián)系起來.空間分離理論上相當(dāng)于在初態(tài)上作用1 個分裂算符, 即[22]

其中,

在分裂算符的作用下變?yōu)?/p>

這種操作類似于光學(xué)系統(tǒng)中50/50 分束器的轉(zhuǎn)換. 圖1 展示了一種分離方法: 將諧波俘獲勢能變?yōu)殡p阱勢能, 再將2 阱任意分開. 由圖1 可知, 通過分束器相互作用, 原子在空間上被分離成2 個系統(tǒng).分裂后, 2 個BEC 中的原子仍然相互關(guān)聯(lián), 在2 個阱之間產(chǎn)生貝爾關(guān)聯(lián).

圖1 實現(xiàn)分裂雙模壓縮BEC 的原理圖Fig. 1 Schematic for implementing split two-mode compression BECs

將單個BEC 分成2 個阱(a、b)后,N個原子按二項分布的規(guī)律隨機(jī)分布. 為了證明這一點, 本文計算發(fā)現(xiàn), 包含大部分原子的初始狀態(tài)(公式(1))在分裂后演變?yōu)?/p>

因此, 每個阱中的原子數(shù)滿足條件

當(dāng)N很大時, 最可能出現(xiàn)的結(jié)果在Na≈Nb≈N/2 這個范圍內(nèi).

1.3 局部自旋

接下來將局部自旋算符作用到Alice (A)和Bob (B)的BEC. 局部自旋算符為[23]

布洛赫球沿著y軸的自旋是

通過在+1 態(tài)、–1 態(tài)的雙光子轉(zhuǎn)換實驗可以實現(xiàn)局部自旋[14]. 在制備的過程中, 為了計算方便, 還需要在模式m= –1 和m= +1 上加上1 個相對相位. 在相干繪景下, +1 態(tài)和–1 態(tài)的默認(rèn)相位演變都是0. 這里引入1 個可控的含時能移 Δ , 因此, 有效哈密頓量變?yōu)?/p>

實驗上, 可以通過在+1 態(tài)和–1 態(tài)施加1 個磁場或者是交流斯塔克頻移(Stark shift)來實現(xiàn), 即

1.4 測 量

最后, 為了探測到原子的狀態(tài), 分別由Alice 和Bob 測量處在am態(tài)和bm態(tài)的原子個數(shù). 可以通過自旋選擇吸收成像法來實現(xiàn)[24], 該方法類似于投影測量, 即

利用此方法測得的原子個數(shù)分別記為k和l, 它們將在下面章節(jié)中被用來計算貝爾關(guān)聯(lián).

2 構(gòu)建貝爾關(guān)聯(lián)態(tài)

2.1 分離壓縮態(tài)

在介紹生成貝爾相關(guān)態(tài)的方案之前, 首先寫出由雙模壓縮算符Ur和分離算符UW先后作用得到的波函數(shù). 從公式(5)開始, 當(dāng)r ?1 時, 有

2.2 態(tài)制備方案

這里介紹一種在原子BEC 上產(chǎn)生貝爾相關(guān)態(tài)的制備方案: 以公式(1)為初態(tài), 將壓縮算符U2r作用于態(tài)公式(1), 產(chǎn)生 2r=2gNt的壓縮; 根據(jù)UW(公式 (7) )將BEC 分離為2 個阱.

制備全態(tài)的單位算符為

本文發(fā)現(xiàn), 這種方法類似于一種量子光學(xué)過程: 在光學(xué)系統(tǒng)中, 向分束器發(fā)射1 個壓縮態(tài), 結(jié)果會產(chǎn)生單模壓縮和雙模壓縮的組合[25].

Alice 的粒子數(shù)(NA)和Bob 的粒子數(shù)(NB)定義為

Alice 的粒子數(shù)(NA)和Bob 的粒子數(shù)(NB)在子空間中的概率分布為

公式(22)表示的是在Alice 取 (0, NA) 和Bob 取 (0, NB) 這個范圍內(nèi)的聯(lián)合概率分布.

3 用歸一平均值計算貝爾不等式

本文利用Ralph 等人的方法來計算處于分裂壓縮態(tài)(公式 (19))的貝爾不等式[26]. 希望求值的量是

這里定義

利用旋轉(zhuǎn)算符(公式(15)), 公式(27)變?yōu)?/p>

公式(28)中j=±. 公式(25)出現(xiàn)的相關(guān)因子可以寫為

結(jié)合變換公式(4)、公式(9)和公式(27), 可以得到

其中, 最大的違反是在r →0 的情況下,B=. 結(jié)果如圖2 所示.

圖2 Bell-CHSH 不等式中的量(B)隨r 的變化Fig. 2 Variation of the quantity in the Bell-CHSH inequality (B) with r

本文發(fā)現(xiàn), 當(dāng)r?0.49 , 可以觀察到違反貝爾不等式的情況. 正如文獻(xiàn)[26]所表達(dá)的, 貝爾不等式違反的程度(B)隨著壓縮強(qiáng)度(r)的增大而減弱. 之所以會出現(xiàn)這種情況, 是因為檢測貝爾相關(guān)性的算符是用最低階項(公式(20))構(gòu)造的. 較大的壓縮值會產(chǎn)生額外的高階項, 從而開始偏離最優(yōu)相關(guān)因子[27-28]. 然而對于較小的r, 造成違反貝爾不等式的主要項是一階項, 因此作為一階近似應(yīng)該接近最佳情況.

4 噪聲的影響

本章計算了所考慮的方法對噪聲的魯棒性, 展示了損耗和不完全原子數(shù)的分辨率對違反貝爾不等式的影響.

4.1 損 耗

原子系統(tǒng)退相干的主要原因是粒子損失, 即原子從阱中逃逸. 這里采用了一種相對簡單的方法來計算損耗. 假設(shè)初始態(tài)已經(jīng)準(zhǔn)備好, 在沒有發(fā)生退相干的情況下將旋轉(zhuǎn)算符(公式(15))作用到初始態(tài)上, 得到態(tài)

發(fā)生損耗之后的態(tài)為

對于存在損耗的單模n原子系統(tǒng)而言, 克勞斯算符為

可以得出, 公式(37)中所有的γ因子都消失了, 得到了與公式(33)相同的結(jié)果. 因此, 對于本文方法,貝爾關(guān)聯(lián)測量值在存在損耗的情況下是不變的.

4.2 探測器分辨率缺陷

在探測無效的情況下, 相關(guān)因子變?yōu)?/p>

由于公式(43)的線性性質(zhì), 在存在損耗的情況下, 公式(44)中的相關(guān)因子η消失了, 得到了和公式(33)一樣的表達(dá)式. 因此, 當(dāng)存在不完全粒子數(shù)的測量缺陷時, 通過本文方法計算得到的貝爾關(guān)聯(lián)測量值不變.

5 總結(jié)和結(jié)論

本文提出了一種檢驗2 個空間分離BEC 貝爾關(guān)聯(lián)的方法. 制備狀態(tài)分為兩步: 第一步是利用改變自旋的碰撞來產(chǎn)生雙模壓縮態(tài); 第二步是通過勢阱來分離BEC. 這里為了計算貝爾關(guān)聯(lián), 采用了Ralph 等[26]的方法, 相關(guān)因子由粒子數(shù)算符的期望值之比來計算. 發(fā)現(xiàn), 當(dāng)r?0.49 , 可以觀察到貝爾不等式的違反. 在噪聲的影響下, 本文所采用的方法對損耗和探測器分辨率問題具有高度魯棒性.