(2 + 1)維Dirac 振子的Foldy-Wouthuysen 變換

孫 偉, 張可燁

（華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院, 上海 200241）

0 引 言

為了使量子力學(xué)能夠應(yīng)用到高能物理和宇宙學(xué)等領(lǐng)域, 1928 年Dirac 提出了滿足Lorentz 協(xié)變性的自由電子波函數(shù)演化方程—Dirac 方程, 并逐步建立了單粒子的相對(duì)論性量子力學(xué). Dirac 振子是在此基礎(chǔ)上, 結(jié)合量子力學(xué)中最常用的簡(jiǎn)諧振子模型而發(fā)展出來(lái)的相對(duì)論性量子力學(xué)中的一個(gè)常用模型, 經(jīng)常被用于研究量子效應(yīng)和原理的相對(duì)論性拓展, 如Dirac 貓態(tài)[1]、(1 + 1)維相對(duì)論性測(cè)不準(zhǔn)原理的研究[2], 以及相對(duì)論性量子熱機(jī)模型等[3].

Dirac 方程描述了1 個(gè)相對(duì)論性的自由粒子, 其哈密頓量和對(duì)應(yīng)的本征能態(tài)中充滿著自旋與動(dòng)量自由度的耦合, 這給基于它的計(jì)算和測(cè)量造成了困難. 只有在弱相對(duì)論極限下, 其正反自旋才會(huì)被封閉于完全分離的正負(fù)能態(tài)中, 不再展示與動(dòng)量的耦合, 十分便于計(jì)算. 隨之而來(lái)的問(wèn)題是, 能否找到1 個(gè)自旋與動(dòng)量自由度在任何情況下都可以被完全分離的表象. Foldy 和Wouthuysen 在1950 年證明了對(duì)于自由Dirac 方程這個(gè)表象的存在[4]. 本文將關(guān)注點(diǎn)放到(2 + 1)維Dirac 振子的Foldy-Wouthuysen(F-W)變換[5]上. 從(2 + 1)維時(shí)空開(kāi)始, Dirac 振子模型展示出了自旋與軌道角動(dòng)量的耦合, 該模型是原子譜線、高能物理, 以及宇宙學(xué)研究中經(jīng)常使用的模型. 本文不但推導(dǎo)出了可以簡(jiǎn)化其哈密頓量和本征態(tài)形式的F-W 變換, 還發(fā)現(xiàn)了自旋和軌道角動(dòng)量算符在該變換表象中變成了極為復(fù)雜的耦合形式, 并證明了總角動(dòng)量作為一個(gè)守恒量在F-W 表象變換前后其表達(dá)形式是不變的. 這些結(jié)果將加深人們對(duì)Dirac 振子的自旋-軌道耦合性質(zhì)的認(rèn)識(shí), 而且本文發(fā)展的尋找F-W 變換矩陣的理論方法還可以應(yīng)用到更復(fù)雜的相對(duì)論性量子系統(tǒng)上.

1 (2 + 1)維Dirac 振子模型

躍遷, 或者是

對(duì)于給定的量子數(shù), 定義直積態(tài)

寫(xiě)成矩陣形式為

解得本征值為

相應(yīng)的兩個(gè)本征態(tài)為

其中, 歸一化系數(shù)為

公式(20)中: |nl〉是左旋軌道角動(dòng)量的Fock 態(tài); |↑,↓〉是Pauli 自旋態(tài).

2 (2 + 1)維Dirac 振子的Foldy-Wouthuysen 變換

Foldy-Wouthuysen (F-W)變換是一類(lèi)能將Dirac 方程退耦合成2 個(gè)簡(jiǎn)單方程的幺正變換[10]: 一個(gè)方程描述正能態(tài)解; 另一個(gè)則描述負(fù)能態(tài)解. 從Dirac 振子的哈密頓量上考慮, F-W 變換的實(shí)質(zhì)是將矩陣形式的哈密頓量對(duì)角化. 在標(biāo)準(zhǔn)表象下Dirac 振子的哈密頓量是1 個(gè) 2×2 的Hermitian 矩陣, 其綴飾態(tài)解 |〉是自旋態(tài)矢 |↑,↓〉和左旋軌道角動(dòng)量態(tài)矢 |nl〉的糾纏態(tài), 展示出自旋-軌道耦合效應(yīng). 本文通過(guò)F-W 變換, 可以干凈利落地將自旋-軌道耦合效應(yīng)分離, 使自旋態(tài)矢 |↑,↓〉和左旋軌道角動(dòng)量態(tài)矢|nl〉分處于2 個(gè)獨(dú)立的自由度空間, 其本征態(tài)也將變?yōu)槲恍螒B(tài)矢和左旋軌道角動(dòng)量態(tài)矢直積的形式|nl〉?|↑〉或 |nl〉?|↓〉, 并將其稱為F-W 表象下Dirac 振子的本征態(tài).

圖1 Dirac 振子的能譜(a)和歸一化系數(shù)(b)Fig. 1 Energy spectrum of the Dirac oscillator(a) and normalization coefficient(b)

后續(xù)推導(dǎo)將用到玻色產(chǎn)生和湮滅算符的2 個(gè)重要對(duì)易關(guān)系[11]

3 Foldy-Wouthuysen(F-W)表象下的角動(dòng)量算符

因此, 自旋算符在F-W 表象下的形式為

軌道角動(dòng)量算符在F-W 表象下的形式為

總角動(dòng)量算符在F-W 表象下的形式為

從上述結(jié)果可以看到, 盡管標(biāo)準(zhǔn)表象下的哈密頓量和本征態(tài)中的自旋-軌道耦合在F-W 表象下被解開(kāi), 但這并不意味著自旋-軌道耦合效應(yīng)消失了. 這是因?yàn)樽孕惴蛙壍澜莿?dòng)量算符在F-W 表象下的解析形式變成了標(biāo)準(zhǔn)表象下的自旋算符和軌道角動(dòng)量算符的復(fù)雜組合; 或者說(shuō), 哈密頓量中的自旋-軌道耦合效應(yīng)經(jīng)過(guò)F-W 變換“轉(zhuǎn)移”到了算符上. 另外, 總角動(dòng)量算符在F-W 表象中的形式與標(biāo)準(zhǔn)表象中的形式相同, 這體現(xiàn)了其守恒量的性質(zhì).

盡管算符的自旋-軌道耦合形式十分復(fù)雜, 但如果考慮弱相對(duì)論和強(qiáng)相對(duì)論兩種極限情況, 就可以獲得相對(duì)簡(jiǎn)潔的形式. 在弱相對(duì)論極限下, 相對(duì)論參量滿足? →0 , 歸一化系數(shù)近似為 |Anl|=1 和|Bnl|=0. 由此, 自旋算符表示為

軌道角動(dòng)量算符表示為

其中, h.c.表示厄米共軛; 軌道角動(dòng)量算符表示為

表1 展示了自旋算符和角動(dòng)量算符在2 個(gè)表象(標(biāo)準(zhǔn)表象和F-W 表象)中的解析通式以及極限情況(弱相對(duì)論極限、強(qiáng)相對(duì)論極限)下的數(shù)學(xué)形式. 盡管強(qiáng)相對(duì)論極限中的自旋算符在形式上偏離但總角動(dòng)量仍是這體現(xiàn)出了相對(duì)論性粒子的自旋內(nèi)稟性.

表1 自旋算符和角動(dòng)量算符在2 個(gè)表象的數(shù)學(xué)形式Tab. 1 Spin and angular momentum operator in the two representations

4 總結(jié)與展望

本文研究了以(2 + 1)維Dirac 振子為基本模型的F-W 變換: 首先通過(guò)綴飾態(tài)的方法求解了Dirac 振子在標(biāo)準(zhǔn)表象下的本征能量和本征態(tài); 其次利用F-W 表象和標(biāo)準(zhǔn)表象基矢之間的變換關(guān)系得到了F-W 變換矩陣的具體形式, 然后通過(guò)F-W 變換將Dirac 振子的自旋-軌道耦合完全分離, 使其正能態(tài)和負(fù)能態(tài)分別與自旋向上和向下唯一相關(guān); 最后討論了自旋算符和角動(dòng)量算符在F-W 表象中的具體形式, 以及弱相對(duì)論和強(qiáng)相對(duì)論極限情況下的近似情況, 并證明了總角動(dòng)量作為一個(gè)守恒量在F-W 表象變換前后其表達(dá)形式都是不變的. 這些結(jié)果將使人們對(duì)Dirac 振子的相對(duì)論性本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí); 而且本文發(fā)展的尋找F-W 幺正變換矩陣的理論方法, 還可以應(yīng)用到其他更復(fù)雜的Dirac 量子系統(tǒng)上. 本文中的(2 + 1)維Dirac 振子模型, 不但可應(yīng)用在與相對(duì)論效應(yīng)有關(guān)的重力儀、時(shí)鐘、加速器和量子傳感器等新量子技術(shù)上, 還可以用來(lái)研究相對(duì)論性量子測(cè)量原理[14]、相對(duì)論性不確定性原理[15-16]等基礎(chǔ)量子和相對(duì)論物理問(wèn)題.