基于自適應(yīng)增益的PMSM龍伯格-滑模無位置控制

嚴彩芹，陳永軍，耿天潤，鄭曉忠

(1.長江大學 電子信息學院 ，湖北 荊州 434023；2.西安電子科技大學 電子工程學院，西安 710100；3.荊州市楚都學校，湖北 荊州 434020))

0 引 言

高精度的位置采集對控制系統(tǒng)有重要意義，現(xiàn)在常用位置反饋器件的有旋轉(zhuǎn)變壓器、編碼器等[1]。在許多應(yīng)用領(lǐng)域中，如水平井牽引器中對電機尺寸要求高，機械安裝復(fù)雜，且耐高溫性能不夠，干擾大，降低了系統(tǒng)可靠性，因此基于無位置傳感器的控制系統(tǒng)研究成為當今學者探索的方向。

常用的無位置傳感器控制方法主要有擴展卡爾曼濾波法、滑模觀測器法、高頻注入法、龍伯格觀測器法等。高頻注入法可以在全速范圍內(nèi)跟蹤轉(zhuǎn)子的位置，彌補了在零速和低速范圍內(nèi)受電動機基波的影響而無法得出轉(zhuǎn)子位置的缺點，但嚴重依賴電機結(jié)構(gòu)凸極性，動態(tài)性能差[2-3]。擴展卡爾曼濾波法有較強的抗干擾能力，但是在遇到粗差時會出現(xiàn)抖振[4]。而滑模觀測器較以上兩種方法有更好的魯棒性，對電機參數(shù)變化不敏感，但存在抖振問題。文獻[5]結(jié)合模糊控制方法，實現(xiàn)了變滑模增益控制，獲得了更好的動態(tài)響應(yīng)效果，但數(shù)學結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計算量大，在實際工況下，對電路及芯片的計算速率要求較高。

為此深入研究無位置觀測器，利用永磁同步電機在α、β軸上的數(shù)學模型推導(dǎo)出龍伯格觀測器結(jié)構(gòu)，結(jié)合滑?？刂茖ο到y(tǒng)擾動進行前饋補償，并設(shè)計了自適應(yīng)增益矩陣，系統(tǒng)在高速工況下仍有良好的跟蹤性，最后利用鎖相環(huán)模塊有效地獲得轉(zhuǎn)子位置信息，此算法數(shù)學結(jié)構(gòu)簡單，解決了定常增益在工況改變時特征根分布變化所造成的系統(tǒng)無法達到最優(yōu)控制的問題，并且有一定的抗擾動的能力,提高了系統(tǒng)的魯棒性[6-7]。用Lyapunov判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。利用PSIM進行仿真驗證，并采用PTS3000實驗平臺，用TMS320F28335作為主控芯片，檢驗了控制策略的有效性。

1 永磁同步電機在α、β坐標軸、下的數(shù)學模型

本文是基于標貼式永磁同步電機的研究，電機為隱極式，此時Ld=Lq=Ls，通過計算可得：

(1)

(2)

式中,LS為定子電感，iα、iβ為定子電流在αβ軸上的分量，uα、uβ為定子電壓在αβ軸上的分量，Eα、Eβ為反電動勢，Pn為電機極對數(shù)，ωm為轉(zhuǎn)子機械角速度，φf為永磁磁鏈的幅值。

由上式可知，反電動勢包含了轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和位置信息，因此得到精確的擴展反電動勢的值是十分必要的。由于定子電流值比較容易得到，為了得到準確的位置速度信息，將基于擴展反電動勢的方程式改為基于電流狀態(tài)量的方程式，如下：

(3)

2 龍伯格-滑模無位置觀測器的設(shè)計

2.1 永磁同步電機前饋擴張狀態(tài)模型

近年來，隨著各項技術(shù)的進步以及人民對生活質(zhì)量的追求日益提高，對控制性能的要求越來越高，傳統(tǒng)的龍伯格觀測器已經(jīng)不再滿足要求。

考慮到系統(tǒng)所受到的內(nèi)部擾動和外部攝動，雖然觀測器有一定的抗參數(shù)擾動以及抗負載擾動的能力，但為了實現(xiàn)高精度的系統(tǒng)控制，需要將各種擾動變化考慮進去。構(gòu)建了擴張狀態(tài)模型。

利用α、β靜止坐標系下的電流狀態(tài)方程建立建立空間狀態(tài)方程如：

(4)

將dt作為擾動擴張狀態(tài)變量，其中,

x=[iαiβEαEβ]T,u=[uαuβ]T

為實現(xiàn)觀測器的漸進收斂，要求A滿足Hurwitz判據(jù)。

通過式(4)，求解矩陣A的特征值。

令det(sI-A)=0，得：

(5)

作出系數(shù)行列式(Hurwitz行列式)：

Δ=

Δ的各主行列式如下：

通過計算得到Δ的各行列式均大于零，且特征方程的系數(shù)也大于零，根據(jù)Hurwitz判據(jù)，上述永磁同步電機觀測器具有全局穩(wěn)定。

2.2 龍伯格-滑模觀測器設(shè)計

龍伯格觀測器只對小的擾動有魯棒性，結(jié)合滑?？刂瓶梢栽鰪娤到y(tǒng)的魯棒性，設(shè)計觀測器如：

(6)

其中，

其中，上角標帶有“～”的是狀態(tài)變量的估計值。

2.3 龍伯格自適應(yīng)增益矩陣

在一般工程中增益矩陣往往通過試湊法得到，不僅會耗費大量人力，而且在工況發(fā)生改變時還會造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定，為解決以上問題，提出了自適應(yīng)增益矩陣的詳細構(gòu)造。

由式(4)、式(6)可得：

(7)

為實現(xiàn)觀測器的漸進收斂，要求A+HC滿足Hurwitz判據(jù)。此龍伯格觀測器的特征求解得：

det(sI-(A+HC))=λ4s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

(8)

為簡化特征值求解，令h2=h3=0，h1=h4，h5=h8，h6=-h7。得到結(jié)果：

(9)

觀測器特征根的負實部影響著觀測器的收斂速度和對噪聲的抑制能力，通過求解傳統(tǒng)的龍伯格觀測器的特征根，擴大其實部絕對值的倍數(shù)，則令新觀測器有更好的控制效果。

令det(sI-A)=0，得到特征根為

(10)

(11)

(12)

則得到：

(13)

即

(14)

由2.1節(jié)分析可知矩陣A滿足Hurwitz穩(wěn)定性，即(A+HC)也滿足其穩(wěn)定性。

2.4 滑模增益矩陣

滑模系數(shù)矩陣在系統(tǒng)中也起了至關(guān)重要的作用，增益太小對于開關(guān)函數(shù)sign(s)不足以抵消擾動，甚至誤差無法收斂，增益太大時系統(tǒng)會在滑模面附近產(chǎn)生較大的抖動。

通過李亞普洛夫穩(wěn)定性可以確定當前觀測器的增益k1和k2，然后通過等效控制確定k3和k4。

由式(7)可得：

(15)

定義Lyapunov函數(shù)為

(16)

此時需要V1的導(dǎo)數(shù)小于零即可。

(17)

(18)

若要使上式的值小于零，其充要條件為

(19)

最終得到以下結(jié)論:

(20)

其中，令k1=-n|2εRSeα/LS+e1α/LS|，k2=-n|2εRSeα/LS+e1β/LS|，n大于1。

(21)

(22)

再次利用李亞普洛夫檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最終得到滑模增益系數(shù)k3和k4。此時定義李亞普洛夫函數(shù)為V2。

(23)

同理若要使上式的值小于零，其充要條件為

(24)

通過(22)式可知，由于k1與k2都小于零，那么e1α、e1β與eα、eβ異號，那么有4中可能：(1)eα>0,eβ>0;(2)eα>0,eβ<0;(3)eα<0,eβ>0;(4)eα<0,eβ<0。

最終求得：

(25)

令k3=n1|pnωmLSk2|，k4=n1|pnωmLSk1|，n1大于1。

2.5 準滑動模態(tài)函數(shù)

從數(shù)學角度上描述滑模變結(jié)構(gòu)控制的“非理想性”，把所有造成系統(tǒng)抖振的因素都歸結(jié)為“非理想切換”。為了削弱系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，構(gòu)造了準滑動模態(tài)函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)(sign(s))，如下：

(26)

這種準滑模態(tài)函數(shù)函數(shù)使滑模運動變?yōu)榻苹＿\動。隨著a值的增大收斂于正負一的速度變快，但邊界層厚度會變小，使抖振抑制功能降低，但a值太小的話，收斂于正負一的速度變慢，切換至滑模面的時間變長，因此要根據(jù)實際情況制定合理的a值。這種函數(shù)不僅能夠克服系統(tǒng)的抖振問題，而且對參數(shù)變化更加不敏感，對滑模觀測器的魯棒性和穩(wěn)定性沒有影響。

2.6 基于鎖相環(huán)的位置速度估計

傳統(tǒng)的觀測器中的位置估計是將估計的反電動勢值送入到反正切函數(shù)中，反正切函數(shù)使誤差放大，造成位置估計不準確。此外，傳統(tǒng)的觀測器是相位補償來減小誤差，補償?shù)慕嵌扰c電角速度有關(guān)，使電機的調(diào)速范圍變小。結(jié)合以上分析，本次采用鎖相環(huán)的原理(Phase-locked Loop,PLL)獲得轉(zhuǎn)子位置信息，如圖1所示。

圖1 基于鎖相環(huán)的位置估計結(jié)構(gòu)框圖

鎖相環(huán)的方法是將估計的反電動勢在αβ軸上的分量分別與位置的正弦值和余弦值相乘得到的偏差經(jīng)過PI調(diào)節(jié)器獲取轉(zhuǎn)子速度，在經(jīng)過積分器得到轉(zhuǎn)子位置，同時利用鎖相環(huán)還可以實現(xiàn)濾波的效果。

(27)

根據(jù)上式結(jié)論可對基于鎖相環(huán)的位置估計系統(tǒng)進行化簡，得到傳遞函數(shù)：

(28)

在r(t)=1(t)時的穩(wěn)態(tài)誤差為

(29)

基于鎖相環(huán)的位置估計的穩(wěn)態(tài)誤差為零，此方法可取。

由此構(gòu)建基于改進觀測器的永磁同步電機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，如圖2所示。

圖2 改進后的觀測器結(jié)構(gòu)圖

3 基于PSIM的仿真分析

PSIM是專門為電機控制和電力電子設(shè)計的一款仿真軟件，能夠進行快速仿真，同時可以加深對電路與系統(tǒng)的原理的理解，大大加快了電路的設(shè)計和實驗過程。在PSIM的仿真平臺下，能自動生成程序，為硬件方面的研究提供了便利。

在PSIM環(huán)境中根據(jù)圖2所示的控制框圖搭建仿真模型，結(jié)合磁場定向矢量控制策略，對所提出的自適應(yīng)增益龍伯格-滑模觀測器算法進行驗證。仿真采用的表貼式永磁同步電機參數(shù)如表1所示。

表1 表貼式永磁同步電機參數(shù)

將定常增益龍伯格觀測器以及自適應(yīng)增益龍伯格-滑模觀測器進行對比，其中準滑模態(tài)函數(shù)取a=0.1，仿真時間為1 s，0.4 s時負載突增一倍，由變?yōu)?.4 Nm, 0.8 s時給定轉(zhuǎn)速由600 r/min增加到1000 r/min。

圖3為定常增益龍伯格觀測器速度波形，在0.6 s增加負載時，幅值波動大，下降最大幅值是180 r/min,當0.8 s速度增大時，需要0.1 s的調(diào)節(jié)時間才能上升至給定值，圖4中突增負載時，速度幅值最大降低140 r/min，在抗擾動性上有一定的作用。

圖3 定常增益龍伯格觀測器速度波形

圖4 基于自適應(yīng)增益龍伯格-滑模觀測器轉(zhuǎn)速波形

圖5為兩種方法的轉(zhuǎn)速誤差波形，可見采用的加前饋補償和自適應(yīng)增益的龍伯格-滑模觀測器的誤差較小，且魯棒性好。

圖5 速度誤差波形

圖6和圖7是兩種方法的轉(zhuǎn)子位置波形，且兩種方法都結(jié)合鎖相環(huán)的方法測電機轉(zhuǎn)子位置，跟蹤性能好。

圖6 龍伯格定常增益觀測器位置波形

圖7 基于自適應(yīng)增益龍伯格-滑模觀測器位置波形

圖8為采用新型觀測器的定子電流的矢量軌跡圖，該矢量圖為平滑的圓形。

圖8 定子電流的矢量軌跡圖

4 實驗驗證

為驗證上述自適應(yīng)增益龍伯格-滑模觀測器的有效性，在PTS3000實驗平臺上進行測試，利用PSIM將搭建的仿真模型轉(zhuǎn)換為可移植代碼，燒錄到TMS320F28335主控芯片中，平臺如圖所示。

圖10和圖11是改進后的觀測器的轉(zhuǎn)速和位置波形，電機給定轉(zhuǎn)速在0.23 s時由600 r/min改為1000 r/min，由圖可知改進后的實際和估計波形幾乎重合，有較好的魯棒性。

圖9 實驗平臺

圖11 估計和實際轉(zhuǎn)子位置波形

5 結(jié) 論

通過仿真以及實驗可以得出所提出的方法不僅保證了強魯棒性，且有一定的抗干擾能力。利用自適應(yīng)增益的龍伯格-滑模觀測器可以適用于各種永磁同步電機，解決了定常增益在工況改變時特征根分布變化所造成的系統(tǒng)無法達到最優(yōu)控制的問題，不再通過試湊法調(diào)試得出最優(yōu)增益矩陣，使用更加簡單，該算法達到了預(yù)估效果，在應(yīng)用領(lǐng)域具有一定的價值。