基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化的波束形成算法

王子豪,王安國,冷文

(天津大學(xué)a.微電子學(xué)院;b.電氣自動化與信息工程學(xué)院,天津 30072)

傳感器陣列信號處理在雷達(dá)、聲吶、醫(yī)學(xué)圖像處理和射電天文學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。波束形成技術(shù)是陣列信號處理中的一個重要分支。基于傳感器的波束形成算法使得輸出信號與干擾加噪聲功率之比最大化,在無失真地接收感興趣的期望信號的同時,最大程度抑制干擾和噪聲的功率[1]。傳統(tǒng)波束形成算法在陣列流形和信號先驗信息精確已知的前提下,性能極其優(yōu)越。但是在實際環(huán)境中,導(dǎo)向矢量失配、采樣快拍數(shù)過小、無法得到無期望信號的訓(xùn)練數(shù)據(jù)等問題往往會導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成算法性能急劇下降[2-5]。

為了提高波束形成算法的穩(wěn)健性和自適應(yīng)性,人們提出了許多改進優(yōu)化的波束形成算法,其中包括采樣協(xié)方差矩陣求逆算法、對角加載算法、基于特征子空間投影算法和協(xié)方差矩陣重構(gòu)等多種算法。這些算法在特定的工作環(huán)境中針對某類誤差具有較好的效果。但傳輸過程中的信道誤差、信號的接收誤差和陣列的構(gòu)形誤差等因素會導(dǎo)致性能不佳,因此波束形成技術(shù)仍具有重要研究意義[6-8]。

Capon波束形成算法在滿足期望信號導(dǎo)向矢量無失配和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣精確已知的條件下,性能十分優(yōu)秀。但實際通信過程中,必然會存在各種誤差影響波束形成器的性能。Cox等人與Carlson分別獨立提出了對角加載波束形成算法。對角加載方法就是在樣本協(xié)方差矩陣的對角元素加上一個常數(shù),關(guān)于對角加載的研究關(guān)鍵在于加載量的選擇,但是加載量的選擇缺乏理論指導(dǎo)[5]。對角加載算法的優(yōu)點是算法簡單,計算量小,便于工程實現(xiàn)。Sergiy A.Vorobyov等人于2003年提出了最差情況性能最優(yōu)算法,該算法設(shè)計了一種針對任意失配情況甚至是多種失配并存的波束形成算法[4]。其使用范圍較廣,但該算法針對某類具體失配情況效果一般。Sergiy A.Vorobyov等人于2008年提出了基于序列迭代二次規(guī)劃的波束形成算法,該算法通過導(dǎo)向矢量優(yōu)化迭代,使得最終的估計導(dǎo)向矢量接近真實值[6]。該算法針對導(dǎo)向矢量失配具有較好效果,但是面對協(xié)方差矩陣誤差仍不具有穩(wěn)健性。Gu Yujie等人于2012年提出一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的波束形成算法,此后又有許多研究者對此算法進行了更深入的研究和改進,此類方法對協(xié)方差矩陣誤差具有很好的穩(wěn)健性,但針對其它的誤差(例如導(dǎo)向矢量誤差等)也會出現(xiàn)性能下降的情況[8]。針對以上問題,研究提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化的波束形成算法。所提算法具有較高的輸出信干噪比,能夠在一定程度上減弱協(xié)方差矩陣誤差和導(dǎo)向矢量失配等問題帶來的影響,同時在小快拍場景下也具有較好性能。仿真實驗驗證了所提算法的有效性。

1 信號模型

基于一維均勻線陣模型,陣列由M個各向同性的陣元組成。信號建模為窄帶遠(yuǎn)場信號。假設(shè)信號與干擾和噪聲互不相關(guān),根據(jù)文獻[1],則均勻線陣在k時刻的接收信號可以寫成式(1)

其中:xs(k)=s(k)a0∈CM×1;和xn(k)∈CM×1分別代表期望信號,干擾信號和噪聲;s(k)代表期望信號的波形包絡(luò),a0代表期望信號的導(dǎo)向矢量。al代表第l個干擾信號的導(dǎo)向矢量,sl(k)為其對應(yīng)的波形包絡(luò)。xn(k)為零均值,方差為的高斯白噪聲。根據(jù)陣列信號處理的相關(guān)理論,從θ處入射的信號,其導(dǎo)向矢量寫作式(2)

其中:λ表示信號的波長;d表示2個陣元之間的間距;(·)T表示轉(zhuǎn)置運算。根據(jù)范數(shù)相關(guān)定理,可得導(dǎo)向矢量的歐幾里得范數(shù)具有式(3)的性質(zhì)。

將接收信號進行復(fù)數(shù)加權(quán)得到最終的輸出,寫作式(4)

其中:w=[w1,w2,…,wM]T∈CM×1表示復(fù)加權(quán)矢量;(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置。根據(jù)文獻[1],可將陣列輸出信干噪比(SINR,signal-to-interference-plus-noise ratio)定義為式(5)

最優(yōu)權(quán)重可以根據(jù)最大化輸出信干噪比的原則來求解。根據(jù)式(5)可得以下最優(yōu)化問題

通過拉格朗日乘子法可以求得上述優(yōu)化問題的解。該解就是最小方差無失真響應(yīng)(MVDR,minimum variance distortionless response)波束形成器的權(quán)矢量[9-12]。其值為式(8)

在實際場景中,無法得到準(zhǔn)確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。根據(jù)信號的時間平穩(wěn)性,采用一批接收數(shù)據(jù)來估計協(xié)方差矩陣。用批量采樣快拍數(shù)據(jù)計算采樣協(xié)方差矩陣,再使用采樣協(xié)方差矩陣來代替干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。采樣協(xié)方差矩陣∈CM×M的表達(dá)式如下

其中K表示采樣快拍數(shù)。將采樣協(xié)方差矩陣代替MVDR波束形成器權(quán)矢量中的Ri+n,從而得到采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI,sample covariance inversion)算法的表達(dá)式[3]。

根據(jù)式(10)可以發(fā)現(xiàn),導(dǎo)向矢量和采樣協(xié)方差矩陣的對波束形成器的輸出性能影響很大,當(dāng)出現(xiàn)導(dǎo)向矢量失配或協(xié)方差矩陣誤差等情況,會導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成算法性能嚴(yán)重下降[13-16]。

2 研究算法

2.1 協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法

由以上分析可知,當(dāng)接收信號中包含期望信號時,接收到的采樣協(xié)方差矩陣中包含期望信號成分,會使得波束形成器性能下降。筆者提出了一種協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法,通過估計信號和干擾成分的功率及入射角,構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣,使其不包含期望信號成分或者包含極少的期望信號成分,從而減弱了協(xié)方差矩陣誤差帶來的波束形成器的性能下降,提高了輸出信干噪比。

根據(jù)式(1),求得接收的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣為下式[3]

其中:A=[a0,a1,…,aL]∈CM×(L+1)表示陣列流形,是由期望信號和干擾信號的導(dǎo)向矢量組成的矩陣;s(k)=(s(k),s1(k),…sL(k))T∈C(L+1)×1表示信號和干擾的波形包絡(luò)構(gòu)成的向量。Rn∈CM×M代表噪聲協(xié)方差矩陣,根據(jù)高斯白噪聲假設(shè),有成立,I表示單位陣。Rs=E{s(k)sH(k)}∈C(L+1)×(L+1)為信號和干擾的互譜矩陣。顯然矩陣R為厄米特矩陣,利用矩陣分解知識,有下式存在[4]

其中:λi(i=1,2,…,M)表示矩陣特征分解后得到的M個特征值。ei(i=1,2,…,M)表示第i個特征值對應(yīng)的特征向量?！?diag(λ1,λ2,…,λM)∈CM×M,表示矩陣特征值分解得到的M個特征值組成的對角陣。U=[e1,e2,…,eM]∈CM×M表示特征向量組成的矩陣。

根據(jù)較大的特征值對應(yīng)信號子空間,較小特征值對應(yīng)噪聲子空間的理論,式(12)可以重寫為

根據(jù)式(15)可知,信號子空間與噪聲子空間相互正交。

將式(16)和式(17)代入式(18),可得

通過矩陣運算可以得到信號和干擾的互譜矩陣Rs為

根據(jù)其定義,Rs矩陣可寫作

很多經(jīng)典的波束形成算法都是基于信號源數(shù)目已知,或根據(jù)采樣協(xié)方差矩陣特征分解選取較大的特征值對應(yīng)的特征向量作為信號子空間,剩余特征向量作為噪聲子空間。但在實際應(yīng)用中信號源的數(shù)目往往無法得到。在波束形成技術(shù)中,信號子空間維數(shù)的確定是算法實現(xiàn)高性能的關(guān)鍵?？臻g場景中信號和干擾的變化嚴(yán)重影響著信號子空間的構(gòu)造和劃分。雖然可以用信息論準(zhǔn)則和輔助變量法等一些方法對信號源數(shù)目進行估計,進而對空間進行劃分,但是在低信噪比下仍會出現(xiàn)子空間模糊,輸出信干噪比下降等問題。筆者采用一種基于矩陣特征值分解的子空間確定法。采樣協(xié)方差矩陣特征值分解后,特征值對應(yīng)空間傳感器接收信號各分量的功率。空間某處接收到了信號或干擾,同時也受到了噪聲的影響,所以該處必然會對應(yīng)較大的特征值。根據(jù)疊加性,可知信號和干擾子空間所對應(yīng)的特征值會大于噪聲子空間對應(yīng)的特征值。在高信噪比下,信號遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲功率,則采樣協(xié)方差矩陣特征值大小會相差很大數(shù)量級,然而在低信噪比下,特征值相差不大甚至非常接近,這時就需要進行計算從而確定信號子空間維數(shù)。

將特征值序號作為橫坐標(biāo),將降序排列的特征值模的平方進行取對數(shù)運算作為縱坐標(biāo),畫出特征值曲線,曲線形狀類似于字母“L”,稱其為L-曲線。曲線有一個轉(zhuǎn)折點,即膝點。其表示噪聲和其他信號成分的分界點。顯然可以發(fā)現(xiàn),在高信噪比場景下,膝點很容易找到,但在低信噪比下,轉(zhuǎn)折點難以直接確定,需要通過數(shù)學(xué)計算來確定膝點位置。具體方法如下:

1)計算相鄰2個特征值模平方取對數(shù)的差值,得到相鄰特征值取對數(shù)后的變化量;

2)計算上一步得到的相鄰變化量之間的差值,得到相鄰特征值取對數(shù)后的變化率,即曲線的曲率。

3)求曲率最大的點,即為膝點。

膝點確定后,膝點右側(cè)的值為噪聲功率,從而劃分出信號子空間和噪聲子空間。通過該方法可以確定各空間維數(shù),從而得到Us和Un。

假設(shè)一個期望信號從3°入射,2個干擾信號分別從30°和50°入射,信噪比和干噪比均為-5 dB。陣元數(shù)為10,采樣快拍數(shù)為100。期望信號估計角度為0°。其對數(shù)特征值和特征值序號關(guān)系圖如圖1所示。

圖1 特征值曲線圖Fig.1 Curve of eigenvalue

根據(jù)膝點法求解的步驟,得到圖2。

圖2 相鄰特征值曲率圖Fig.2 Curvature graph of adjacent eigenvalues

根據(jù)圖2可以發(fā)現(xiàn)膝點位于特征值序號3的位置,信號及干擾源共有3個。膝點法對于信噪比比較低,特征值非常接近,子空間無法分辨的問題,具有很好的效果。

觀察式(20),求解Rs還需要得到較為精確的陣列流形A。在傳感器接收端接收數(shù)據(jù)時,假定接收到期望信號的導(dǎo)向矢量為a(θ0),該導(dǎo)向矢量可能與真實的導(dǎo)向矢量存在誤差。同時設(shè)置期望信號的觀測角扇區(qū)為Θs。利用求根MUSIC算法(Root-MUSIC)進行求根運算,代替?zhèn)鹘y(tǒng)MUSIC算法的譜搜索。

根據(jù)文獻[17],先定義如下多項式

其中:ei是采樣協(xié)方差矩陣特征值分解后,(M-L-1)個較小的特征值對應(yīng)的特征向量。

當(dāng)z=exp(jω)時,多項式的根位于單位圓上,則p(exp(jω))為角頻率為ω所對應(yīng)的導(dǎo)向矢量的形式。當(dāng)該角頻率為信號角頻率時,則其變?yōu)樾盘枌?dǎo)向矢量。

根據(jù)信號處理相關(guān)理論,有下式成立

式(24)表明信號子空間與信號和干擾導(dǎo)向矢量張成的空間是同一個空間。同時由于信號子空間與噪聲子空間是正交的,所以信號和干擾導(dǎo)向矢量張成的空間也與噪聲子空間正交,從而信號導(dǎo)向矢量與噪聲子空間也是正交的。式(22)可修改為

通過求解式(25)多項式的根可以得到有關(guān)信號角度的信息。由于式(25)存在z項,導(dǎo)致求零過程不是很簡單,為了提高計算效率,進行下述修正

式(26)共有(M-1)對根,且相互共軛。如果不存在協(xié)方差矩陣誤差,那么將會有(L+1)個根落在單位圓上。實際場景中,考慮到協(xié)方差矩陣的誤差,求得式(25)中接近單位圓的(L+1)個根z1,…zL+1。對于一維等距均勻線陣,有下式

假設(shè)信源數(shù)為3,陣元數(shù)為8,3個信號分別從45°,60°和10°方向入射到陣列(此處認(rèn)為干擾也是信號),信噪比為20 dB。表1為采用Root-MUSIC算法估計出的信號角度。

表1 Root-MUSIC算法估計信號角度Table 1 The Root-MUSIC algorithm estimates signal angle

根據(jù)表1可以看出,該算法具有較好的角度估計能力,采用該方法能夠得到較為準(zhǔn)確的信號入射角度。

因為協(xié)方差矩陣存在誤差,所以采用Root-MUSIC算法求出的角度可能與真實的存在一定的偏差,表1也驗證了存在一定的角度誤差。研究采取下式進行約束選擇,確定期望信號的入射角度。

其中:B為信號主瓣帶寬。滿足式(28)的角度即為期望信號入射角度,剩下的角度即為干擾信號入射角度。為方便表述,假設(shè)θ1為期望信號,θ2,…θL+1為L個干擾信號對應(yīng)的入射角度。于是陣列流形A可重寫為下式

將相關(guān)量代入式(20),可以求得互譜矩陣Rs。此時對角線元素即為與之對應(yīng)的信號和干擾功率。MVDR波束形成器要求接收信號中盡可能少的包含期望信號成分,所以基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)思想,重構(gòu)后的協(xié)方差矩陣如下

即將采樣協(xié)方差矩陣較小的(M-L-1)個特征值求均值作為噪聲功率的估計值。然后根據(jù)式(30)求得優(yōu)化后的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣i+n。

2.2 導(dǎo)向矢量優(yōu)化

根據(jù)式(10)可以發(fā)現(xiàn),導(dǎo)向矢量誤差也會影響波束形成器的權(quán)矢量,從而影響輸出信干噪比。近些年相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者提出一些針對導(dǎo)向矢量優(yōu)化的算法,這些算法的主要思路是通過設(shè)置約束條件,利用范數(shù)約束通過二階錐規(guī)劃技術(shù)進行迭代求解。也有算法通過設(shè)定誤差角度的不確定性集,通過求解優(yōu)化問題得到修正向量,從而修正假定的導(dǎo)向矢量。這些已有算法的應(yīng)用受限于其自身計算復(fù)雜度高、迭代次數(shù)多、收斂速度較慢和優(yōu)化問題求解復(fù)雜等因素,因而,導(dǎo)向矢量優(yōu)化算法仍有較大提升空間。研究基于空域積分和導(dǎo)向矢量投影思想進行導(dǎo)向矢量優(yōu)化。傳統(tǒng)投影算法在低信噪比下出現(xiàn)子空間模糊,投影后導(dǎo)向矢量仍有較大誤差。在高信噪比下協(xié)方差矩陣失配,投影算法失效。針對上述問題,將投影思想與空域積分相結(jié)合,進行導(dǎo)向矢量修正,所提算法思路簡單,便于實現(xiàn),同時具有較好的性能。

當(dāng)導(dǎo)向矢量存在失配時,假定的導(dǎo)向矢量會使得波束形成器的輸出信干噪比下降。為了減小導(dǎo)向矢量失配帶來的性能損失。進行導(dǎo)向矢量估計使得估計后的導(dǎo)向矢量更接近真實的導(dǎo)向矢量。首先構(gòu)造如下正定矩陣C。

其中:Θs為期望信號到達(dá)角落在的扇區(qū),且該區(qū)間僅包含期望信號而不包含任何干擾信號。該正定矩陣通過對期望信號波達(dá)角扇區(qū)范圍內(nèi)所有角度的導(dǎo)向矢量進行空域積分運算。積分運算通過多點求和運算進行編程求解。定義如下空域功率譜

圖3 空域功率譜與角度的關(guān)系圖Fig.3 The relation chart of spatial power spectrum and angle

由圖3可知,對于期望信號角度區(qū)域中的導(dǎo)向矢量,空域功率譜的值很大,對于不在該區(qū)域的信號,空域功率譜的值很小,所以該正定矩陣對于期望信號具有選擇加強性,對非期望信號具有極大的抑制作用。當(dāng)信號扇區(qū)很小,近似為一個點時,則對該正定矩陣特征值分解,可以得到與假定導(dǎo)向矢量相關(guān)性最大的特征向量,不考慮范數(shù)約束,可以認(rèn)為是真實導(dǎo)向矢量的估計值。當(dāng)信號扇區(qū)變大時,期望信號成分仍然占據(jù)主導(dǎo)地位,其主成分仍為期望信號導(dǎo)向矢量最佳近似估計。但存在一些其他成分在信號扇區(qū),前文假設(shè)該扇區(qū)不包括干擾成分,則干擾對該正定矩陣無貢獻。由于空間噪聲的存在,該正定矩陣會包含噪聲成分,但是其值很小,所以該正定矩陣主要由期望信號起主導(dǎo)作用。定義2個向量a,b的相關(guān)系數(shù)。

相關(guān)系數(shù)用來衡量2個向量之間的相關(guān)性。利用相關(guān)系數(shù),來尋找上述正定矩陣特征分解后的特征向量中與假定信號導(dǎo)向矢量相似度最高的向量。

對矩陣Q進行特征值分解,得到其特征分解如下式

假定接收到的導(dǎo)向矢量為a(θ0),定義下式

式(36)通過尋找與假定導(dǎo)向矢量相似度最高的特征向量來完成對導(dǎo)向矢量的估計?？紤]到范數(shù)約束,根據(jù)式(3),可得導(dǎo)向矢量修正值pro

其中sqrt為開根號運算。通過式(37)可以得到較為精確的導(dǎo)向矢量修正值。但是隨機的陣列誤差,積分扇區(qū)的不當(dāng)選取,較低的信噪比環(huán)境等問題會導(dǎo)致矩陣Q特征分解后的主成分摻雜噪聲成分,導(dǎo)致修正后的導(dǎo)向矢量仍存在一定誤差。筆者將投影思想與上述修正方法結(jié)合,以應(yīng)對在復(fù)雜場景下出現(xiàn)的導(dǎo)向矢量預(yù)估不準(zhǔn)的問題。

根據(jù)信號處理中的子空間理論,真實的期望信號導(dǎo)向矢量一定落在信號加干擾子空間中,可以通過向信號加干擾子空間投影的方法來降低信號導(dǎo)向矢量估計誤差。利用投影可以將假定的導(dǎo)向矢量的在噪聲子空間的分量去除,最大限度的提高導(dǎo)向矢量估計的精度。

投影算法的關(guān)鍵在于信號加干擾子空間和噪聲子空間的劃分,如果劃分不當(dāng),則投影后的導(dǎo)向矢量便不是完全落在信號加干擾子空間,無法減弱導(dǎo)向矢量失配帶來的性能下降。在此部分仍采用膝點法進行子空間的確定和劃分。

根據(jù)式(13)可得信號子空間Us和噪聲子空間Un。根據(jù)投影分析相關(guān)理論,定義投影矩陣Es。其表達(dá)式如下

因為

于是投影矩陣可以寫作

將導(dǎo)向矢量向信號加干擾子空間投影后,得到投影后的導(dǎo)向矢量(θ0),其寫作下式

假定的導(dǎo)向矢量中包含了較多的期望信號先驗信息,通過投影算法可將期望信號信息保留,將該方法得到的導(dǎo)向矢量與導(dǎo)向矢量修正值結(jié)合,能夠應(yīng)對各種場景的失配,同時可以最大限度的將期望信號導(dǎo)向矢量還原。具體公式如下

將式(30)和式(42)代入式(8),可以得到最優(yōu)權(quán)重如下

2.3 算法總體描述

為了表述更為清晰,將所提算法實現(xiàn)步驟總結(jié)如下:

2)通過膝點法確定信號子空間和噪聲子空間,利用Root-MUSIC算法確定干擾的入射角度和其對應(yīng)的功率值。

4)根據(jù)式(42)求得優(yōu)化后的期望信號導(dǎo)向矢量anew。

所提算法復(fù)雜度集中在矩陣分解部分和空域積分部分。采樣協(xié)方差矩陣特征分解的運算量為O(M3),空域積分的運算量為O(SM2),其中S為求解積分所用離散點數(shù)目。所提算法相比于傳統(tǒng)算法具有低復(fù)雜度,高輸出信干噪比的特性,抗干擾能力強,自適應(yīng)性好。是一種穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法。

3 實驗仿真

對所提出的算法進行了仿真分析,將其與采樣協(xié)方差矩陣求逆(SMI,sample matrix inversion)算法、對角加載SMI(LSMI,loading SMI)算法、基于特征子空間(ESB,eigenspace-based)算法、基于序列二次迭代(SQP,sequential programming)的波束形成算法、最差情況性能最優(yōu)(WCB,worst-case optimizationbased)波束形成算法和最少先驗信息(LP,as little as possible prior information)波束形成算法進行比較。同時最優(yōu)輸出信干噪比也展示在仿真結(jié)果中。在所有的仿真實驗中,均采用陣元數(shù)M=10的均勻一維線性陣列,陣元半波長等距擺放,期望信號的假定入射角度θ=5°,2個干擾信號分別從-30°和50°入射到基陣,期望信號均存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中,即每個實驗均存在協(xié)方差矩陣誤差。圖中的每個點均是由100次獨立實驗得到的。所提算法中,期望信號的估計角度扇區(qū)Θs=[θ-5°,θ+5°],其中積分運算采用100個均勻離散點求和代替積分值。在WCP算法中,設(shè)置ε=0.3M。在SQP算法中,范數(shù)修正小量δ=0.1,取正定矩陣C的8個主特征向量參與仿真。WCP算法和LP算法中求解最優(yōu)化問題均采用MATLAB中的CVX工具箱。SQP算法求解優(yōu)化問題采用SeDu Mi工具箱。具體實驗中的額外條件將在每個具體實驗中詳細(xì)敘述。

仿真實驗1:期望信號導(dǎo)向矢量精確已知

在本仿真實驗中,假定知道導(dǎo)向矢量的精確值,即不存在導(dǎo)向矢量誤差。盡管精確信息已知,但是訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號導(dǎo)致協(xié)方差矩陣存在誤差,相比于無期望信號的訓(xùn)練數(shù)據(jù),仍會導(dǎo)致波束形成算法性能下降。圖4仿真了無導(dǎo)向矢量失配情況下,不同算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖?？炫臄?shù)為50,信噪比從-20 d B到30 d B均勻產(chǎn)生,2個干擾信號干噪比均為10 dB。

圖4 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(無導(dǎo)向矢量失配)Fig.4 The curve of output SINR versus input SNR(no steering vector mismatch)

SMI算法通過采樣協(xié)方差矩陣求逆進行波束形成,雖然其導(dǎo)向矢量無誤差,但是協(xié)方差矩陣帶來的失配使其在高信噪比環(huán)境下輸出信干噪比無法提升。本實驗LSMI算法對角加載量選取為5倍的噪聲功率,在低信噪比下,LSMI算法性能相對優(yōu)越,主要原因是加載量抑制了小的噪聲特征值帶來的擾動,在高信噪比下,由于加載量過小,無法進一步抑制噪聲特征值的在矩陣求逆后帶來的較大影響,所以該算法在高信噪比輸出信干噪比同樣無法提升。對于ESB算法,其在低信噪比下表現(xiàn)較差,主要原因為低信噪比下,易發(fā)生子空間纏繞和子空間模糊,這會導(dǎo)致基于特征子空間的算法對子空間維數(shù)的判斷出現(xiàn)誤差,從而導(dǎo)致其性能下降。在較高信噪比下,該算法性能相對得以提高,此時信噪比較高,信號子空間和噪聲子空間劃分明顯,其算法優(yōu)勢得以體現(xiàn)。WCP算法主要針對空間存在多種誤差的情況而設(shè)計的一種算法,其綜合性能表現(xiàn)也相對較好,尤其在高信噪比下,性能相比于其它算法優(yōu)勢明顯。SQP算法利用迭代思想,其針對導(dǎo)向矢量進行不斷迭代求解,通過修正小量使得優(yōu)化后的導(dǎo)向矢量更加接近真實的期望信號導(dǎo)向矢量,原參考文獻中SQP算法無協(xié)方差矩陣失配,對比該算法均假設(shè)存在協(xié)方差矩陣失配。該算法針對導(dǎo)向矢量無誤差的實驗條件,其性能優(yōu)勢也無法體現(xiàn),較高的計算復(fù)雜度并沒有得到更優(yōu)的輸出信干噪比。

從圖4可以看出,所提算法幾乎與最優(yōu)輸出信干噪比重合,證明了所提算法在無導(dǎo)向矢量誤差情況下,通過協(xié)方差矩陣重構(gòu),得到了極為準(zhǔn)確的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,此時的輸出信干噪比達(dá)到了與最佳輸出信干噪比水平相當(dāng)?shù)某潭?。所提算法輸出信干噪比在高信噪比?相比于WCP算法有3 dB左右的提高。由仿真實驗1可以看出,所提算法無論在高信噪比還是低信噪比下,均具有較高的輸出信干噪比,是一種穩(wěn)健的波束形成算法。

仿真實驗2:存在期望信號接收角度誤差

在本仿真實驗中,存在期望信號導(dǎo)向矢量失配,即期望信號估計的接收角度與真實的角度存在誤差。真實角度為5°,假定接收角度為0°,存在5°的接收誤差。此時既存在導(dǎo)向矢量失配,也存在協(xié)方差矩陣失配。針對該假設(shè),進行仿真實驗。圖5仿真了該條件下,不同算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖。快拍數(shù)為50,信噪比從-20 d B～30 d B均勻產(chǎn)生,2個干擾信號干噪比均為10 dB。

圖5 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(存在導(dǎo)向矢量失配)Fig.5 The curve of output SINR versus input SNR(steering vector mismatch)

WCP算法在低信噪比和高信噪比下均能保持較高的輸出信干噪比,主要原因是其針對多種失配進行了聯(lián)合建模求解,將多種誤差都放到一個最優(yōu)化求解問題中,所以該算法不針對特定誤差,但對多種誤差并存的實驗條件表現(xiàn)相對較好。LP算法需要極少的先驗信息,在低信噪比下性能相比于其它算法表現(xiàn)較差,但高信噪比下性能得以提高。ESB算法主要影響因素是子空間的劃分,對于導(dǎo)向矢量誤差,該算法并不敏感,其也能保持一定的輸出信干噪比,但是在高信噪比下,受限于協(xié)方差矩陣誤差,其輸出信干噪比也出現(xiàn)下降。SQP算法雖然能夠針對導(dǎo)向矢量,進行優(yōu)化求解,但是該算法對期望信號存在于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中,造成協(xié)方差矩陣誤差這一問題,并未進行有效的解決,所以該算法在協(xié)方差矩陣誤差較大情況下,出現(xiàn)了性能下降較為嚴(yán)重的問題。LSMI算法仍然存在高信噪比下加載量無法起到加載效果的問題,從而導(dǎo)致輸出信干噪比下降。無法應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配等問題。

由圖5分析可知,所提算法在導(dǎo)向矢量失配條件下,仍然具有很好的波束形成效果,其輸出信干噪比相比于最優(yōu)輸出信干噪比有較小差距。所提算法在應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配和采樣協(xié)方差矩陣失配方面具有極佳的效果。

仿真實驗3:固定信噪比,存在導(dǎo)向矢量失配

在本仿真實驗中,固定信噪比為10 d B,干噪比也為10 d B,實際期望信號的接收角度為0°,即存在期望信號導(dǎo)向矢量失配,同時也存在協(xié)方差矩陣失配。該條件下的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 輸出信干噪比隨快拍數(shù)的變化曲線圖(存在導(dǎo)向矢量失配)Fig.6 The curve of output SINR versus the number of snapshots(steering vector mismatch)

從仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),所提算法始終具有很高的輸出信干噪比,在小快拍和大快拍場景下均具有很好的效果。其它對比算法隨著快拍數(shù)增加,輸出信干噪比會發(fā)生變化。說明快拍數(shù)對波束形成算法具有一定的影響。LP算法隨快拍數(shù)的增加,其輸出信干噪比也增加,ESB算法隨快拍數(shù)增加輸出信噪比增加明顯,說明大快拍下,該算法性能較好。其余對比算法受快拍數(shù)影響不大,但也有一定的變化。SMI算法在該實驗條件下,無論在什么快拍場景,其性能都比較差,說明SMI算法對失配條件極其敏感。在快拍數(shù)50時,所提算法相比LP算法有6 d B的性能提升,跟最優(yōu)輸出信干噪比相差1.5 d B左右。對比其它算法也更為優(yōu)秀。在雷達(dá)發(fā)射接收信號時,有時候無法得到較多快拍數(shù)下的信號數(shù)據(jù),所以小快拍下,能夠保證較高輸出信干噪比的波束形成算法也是優(yōu)秀的算法。圖6結(jié)果證明了所提算法在小快拍場景下優(yōu)越性。

仿真實驗4:固定信噪比,不存在導(dǎo)向矢量失配

固定信噪比為10 d B,干噪比也為10 dB,實際期望信號的接收角度為5°,導(dǎo)向矢量無失配,但存在協(xié)方差矩陣失配。該條件下的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 輸出信干噪比隨快拍數(shù)變化曲線圖(無導(dǎo)向矢量失配)Fig.7 The curve of output SINR versus the number of snapshots(no steering vector mismatch)

從圖7可以發(fā)現(xiàn),所提算法在無導(dǎo)向矢量失配情況下,輸出信干噪比曲線與最優(yōu)曲線幾乎重合,且不受快拍數(shù)影響,在小快拍場景下具有明顯的優(yōu)勢。其它對比算法受快拍數(shù)影響較大?？傮w趨勢為輸出信干噪比隨采樣快拍數(shù)增加而變大。SMI算法受快拍數(shù)影響最大,在導(dǎo)向矢量無誤差情況下,采樣數(shù)越高,則采樣協(xié)方差矩陣越精確,則輸出信干噪比越大。SQP算法和LSMI算法受快拍數(shù)影響較大,在小快拍下性能會出現(xiàn)下降。總體上SQP算法、LSMI算法和ESB算法在此仿真條件下性能相差不大。圖7仿真結(jié)果證明了所提算法具有很高的輸出信干噪比,適合在小快拍場景使用。

仿真實驗5:存在局部相干散射導(dǎo)致期望信號導(dǎo)向矢量失配

本實驗中,期望信號導(dǎo)向矢量因為存在局部相干散射,導(dǎo)致與真實的期望信號導(dǎo)向矢量存在誤差。實驗快拍數(shù)為100,干噪比為15 dB。本仿真將期望信號導(dǎo)向矢量建模為5個信號的求和。具體形式為:。其中p表示直達(dá)波信號,b(θi)(i=1,2,3,4)對應(yīng)局部相干散射路徑。方向角θi在每次仿真實驗中由均勻隨機發(fā)生器獨立產(chǎn)生,其均值為3°,標(biāo)準(zhǔn)差為1°。ψi(i=1,2,3,4)為第i條路徑的相角。每次實驗在[0,2π]上獨立均勻產(chǎn)生。方向角和相角在每次實驗中是變化的,但每次實驗的多次快拍內(nèi)保持不變?；谏鲜龇抡鏃l件,得到仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化曲線圖(存在局部相干散射)Fig.8 The curve of output SINR versus input SNR(local coherent scattering)

所提算法由于具有極好的導(dǎo)向矢量優(yōu)化作用,針對局部相干散射場景,仍可以得到較為準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量,在該條件下,性能相比于參考算法有很大的優(yōu)勢。而對比的幾類算法由于無法針對局部相干散射帶來的誤差,導(dǎo)致輸出信干噪比不高,甚至出現(xiàn)急劇下降的情況。仿真結(jié)果證明所提算法具有很強的抗局部相干散射能力。

仿真實驗6:存在波前失真

實驗仿真了波前失真情況下的算法性能。干噪比為30 dB。在非均勻傳播介質(zhì)中,會導(dǎo)致波前失真,導(dǎo)向矢量出現(xiàn)扭曲,相位畸變由相位增量累計而成。假定每次實驗中相位增量保持不變,相位增量的產(chǎn)生服從均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為0.08的高斯分布。仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 輸出信干噪比隨輸入信噪比變化曲線圖(存在波前失真)Fig.9 The curve of output SINR versus input SNR(wavefront distortion)

所提算法在該實驗條件下輸出信干噪比較大,性能優(yōu)越。LSMI算法在信噪比大于5 d B后,輸出信干噪比下降,說明對角加載算法對于波前失真不具有穩(wěn)健性。ESB算法也是在高信噪比下出現(xiàn)曲線下降的問題,這是由于高信噪比下,協(xié)方差矩陣失配帶來的影響。WCB算法輸出信干噪比雖然不高,但是該算法也能保證一定的輸出信干噪比。由仿真結(jié)果可以得出結(jié)論,所提算法應(yīng)對波前失真具有魯棒性和穩(wěn)健性。

4 結(jié) 論

提出了一種基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化相結(jié)合的波束形成算法。通過估計干擾信號的功率和入射角,重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,同時為了應(yīng)對導(dǎo)向矢量失配帶來的波束形成器性能下降的問題,采用了空域積分,尋找相似度最大的特征向量,結(jié)合子空間投影算法對導(dǎo)向矢量進行修正。實驗仿真結(jié)果證明,所提算法在導(dǎo)向矢量失配和協(xié)方差矩陣誤差及其它誤差存在的條件下,具有較好的性能,能夠保證較高的輸出信干噪比。所提算法在快拍數(shù)固定且存在導(dǎo)向矢量失配情況下,其輸出信干噪比與最優(yōu)輸出信干噪比相差1 dB左右,在較高信噪比條件下,相比于WCP算法有5 dB的性能提升,相比于LP算法有4 dB的性能提升。在固定信噪比和存在導(dǎo)向矢量失配情況下,所提算法與最優(yōu)輸出信干噪比相差1.5 dB左右,但其隨快拍數(shù)增加變化不大,是一種穩(wěn)健的波束形成算法,相比于其它對比算法均有4 dB以上的性能提升。所提算法較為準(zhǔn)確的角度估計、協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量優(yōu)化保證了其有效性和穩(wěn)健性。因此所提算法是一種比較好的自適應(yīng)波束形成算法。