基于凸松弛的圖像選擇性分割模型的快速算法

金正猛 連曉煜 楊天驥

(南京郵電大學 南京 210023)

1 引言

圖像分割是指根據(jù)某種均勻性或一致性原則將圖像分成若干個特定的、具有獨特性質(zhì)的目標區(qū)域，從而實現(xiàn)對這些目標的提取和識別。目前，圖像分割已經(jīng)廣泛應用于人臉識別、目標檢測、精準醫(yī)療、自動駕駛、衛(wèi)星定位等各個方面，且起著關(guān)鍵的作用?，F(xiàn)有的圖像分割方法可分為兩種：全局分割方法和選擇性分割方法。當前大多數(shù)分割模型都是基于全局分割方法，旨在將圖像中所有的目標提取出來。而選擇性分割是指按照某種方式對圖像中感興趣單個特定目標進行局部分割和提取，在醫(yī)學影像處理中有著廣泛的應用，如：組織分類、腫瘤定位、腫瘤體積估計、血細胞勾畫、圖譜匹配和圖像配準等?；卺t(yī)學影像的選擇性分割，在疾病的病灶識別、早期診斷、治療方案規(guī)劃、術(shù)中導航等方面起著非常重要的作用，是當前醫(yī)學影像處理研究中的難點問題。

近30年來，基于變分偏微分方程知識的建模已成功應用于全局分割方法中?；谧兎址ǖ娜址指钅Ｐ椭饕譃閮深悾阂活愂腔谶吘壍姆指钅Ｐ停饕且蕾噲D像中的邊緣信息來捕捉物體邊界，例如經(jīng)典的Snake模型[1]和GAC模型[2]。雖然這些方法是有效的，并且分割效果良好，但是它們的分割結(jié)果依賴圖像初始輪廓線的選取。另一類是基于區(qū)域的分割模型，基本思想是利用圖像中的物體呈分片區(qū)域的特點，實現(xiàn)對目標物體的有效分割，如經(jīng)典MS模型[3]和CV模型[4]，這些模型對灰度均勻分布的圖像分割效果較好。

本文關(guān)注的是基于變分法的選擇性分割模型。對圖像進行選擇性分割時，首先需要用戶輸入一些靠近待分割目標的標記點 (xi,yi)，形成標記集M={(xi,yi)∈Ω,1≤i ≤k}。然后，構(gòu)造基于標記集M的距離函數(shù)，并將其嵌入分割模型中，以此來實現(xiàn)對圖像中特定目標的局部分割。2010年，文獻[5]將距離函數(shù)、活動輪廓的幾何約束[6]納入CV模型中，提出BC選擇性分割模型。BC模型對灰度均勻的圖像有較好的分割結(jié)果，但對灰度不均勻和邊緣模糊的圖像分割效果欠佳，且其分割結(jié)果對用戶輸入較敏感。2013年，文獻[7]在BC模型中添加面積擬合項，可防止BC模型在目標邊緣模糊的地方過度分割。但其模型關(guān)于H(?)是非線性的，不滿足對子問題進行凸化的條件，其分割結(jié)果依賴于初始值的選取。2015年，文獻[8]在BC模型中，引入基于標記集M的歐氏距離作為獨立線性項，并采用懲罰約束條件的凸松弛方法，提出了凸松弛的選擇性分割模型，稱SC模型。SC模型的分割結(jié)果對初始值的選取具有較好的魯棒性，但對于含強噪聲和邊緣模糊的圖像分割結(jié)果不理想。進一步，文獻[9]用測地距離替換SC模型中的歐氏距離，提出RCI選擇性分割模型。與其它選擇性分割模型相比，RCI模型對用戶輸入有較強的魯棒性，能較好地分割一些邊緣模糊的圖像。然而，文獻[9]利用加性算子分裂(Additive Operator Splitting, AOS)算法[10,11]來設(shè)計算法數(shù)值求解RCI模型，雖然可以取得較好的精度，但計算復雜且求解耗時。本文在RCI模型的基礎(chǔ)上，利用幾何測度論知識構(gòu)造新的凸松弛方法，得到新的凸松弛模型，并使用交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)[12,13]設(shè)計新模型的數(shù)值求解算法，大大提升了分割速度。數(shù)值實驗結(jié)果表明本文算法同AOS算法相比，不僅收斂速度更快，而且分割精度更高。

本文章節(jié)安排如下：第2節(jié)，回顧已有的全局變分分割模型和選擇性變分分割模型。第3節(jié)，引入凸松弛模型，并給出凸松弛模型的解與原模型解之間的關(guān)系。然后，應用交替方向乘子法，設(shè)計凸松弛模型的數(shù)值求解算法，并給出該算法的收斂性。第4節(jié)，給出本文算法和其他算法的分割結(jié)果并進行比較，驗證本文算法的有效性及可行性。

2 變分分割模型

本文中，Ω?R2表示具有Lipschitz邊界的有界圖像域，z:x ∈Ω →R 為 輸入圖像，Γ為一條簡單閉曲線。

2.1 全局變分分割模型

2001年，文獻[4]結(jié)合水平集方法，用分片常數(shù)函數(shù)代替MS模型中的分片光滑函數(shù)，提出CV分割模型為

2.2 選擇性分割模型

3 本文模型及其快速算法

3.1 本文凸松弛模型

3.2 本文算法

4 實驗結(jié)果及分析

本節(jié)將對多幅不同類型的圖像進行分割，以檢驗本文所提算法的分割效果，并同BC算法[5]、SC算法[8]和基于AOS的CRCI算法[9]的分割結(jié)果進行對比。采用Dice相似系數(shù)[15](Dice Similarity Coefficient, DSC)和Hausdorff距離[16](Hausdorff Distance, HD)作為不同算法分割精度的定量評價指標。其定義分別為

4.1 參數(shù)的選擇

表1 本文算法的求解流程

4.2 數(shù)值實驗

首先，討論本文算法對初值選取的敏感性。在圖1中，圖1(a)給出差異很大的4種初始輪廓，但是對于這4種不同的初值，本文算法都能精準地分割出四邊形。進一步，通過圖1(c)的DSC值與迭代步數(shù)的關(guān)系圖可以發(fā)現(xiàn)：不同初值條件下，本文算法都是在5步以內(nèi)達到收斂，且分割精度接近100%。這些結(jié)果都表明了本文算法對輪廓初始化的魯棒性。

圖1 不同初始輪廓下的分割結(jié)果

其次，圖2展示了不同算法對MR圖像中腦白質(zhì)的分割結(jié)果，其中，標記集為藍色線，groundtruth為紅色線，分割結(jié)果為綠色線。分析圖2中3幅腦部圖的分割結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)：BC算法和SC算法的分割結(jié)果很不準確；CRCI算法和本文算法的分割效果較好。值得一提的是，本文算法能識別出較精細的點塊狀腦灰質(zhì)，得到更精確的分割結(jié)果。進一步，表3給出了不同算法在分割腦白質(zhì)目標時的DSC值、HD值、收斂迭代步數(shù)以及收斂時間，其中加粗字體是指每列中的最佳值。這些結(jié)果表明：本文算法在分割MR腦圖像時，不僅收斂速度快，而且分割的精度更高。

表3 圖2中分割結(jié)果的DSC(%)、HD值、迭代收斂步數(shù)及收斂時間(s)

圖2 不同算法對MR腦圖像白質(zhì)的分割結(jié)果

然后，圖3展示了本文算法對不同噪聲水平圖像的分割結(jié)果，其中標記集為藍色線，groundtruth為紅色線，分割結(jié)果為綠色線。圖3中每一行分別帶有方差為σ= 0.01 ,σ= 0.02 ,σ= 0.03的高斯噪聲，通過比較不同模型的分割結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)：BC和SC算法對噪聲比較敏感，不能精確分割出目標物體；CRCI算法與本文算法的分割結(jié)果對噪聲有很好的魯棒性。同時，表4的各項指標數(shù)據(jù)也表明：相比較于BC算法、SC算法和CRCI算法，本文算法取得了最佳的分割效果，其收斂時間和迭代步數(shù)也明顯優(yōu)于其它算法，其中加粗字體是指每列中的最佳值。

表4 圖3中分割結(jié)果的DSC(%)、HD值、迭代收斂步數(shù)及收斂時間(s)

圖3 不同算法對不同噪聲圖像的分割結(jié)果

表2 本文算法分割圖像的參數(shù)λ 1, λ 2和 θ 的值

接著，圖4給出了不同模型對比度較低、邊緣模糊的醫(yī)學CT圖像的分割結(jié)果圖4(b)—圖4(e)，其中標記集為藍色線，groundtruth為紅色線，分割結(jié)果為綠色線。不難從這些結(jié)果中看出：由于CT圖像中目標物體的邊緣不明顯，BC算法、SC算法和CRCI算法的分割結(jié)果中均出現(xiàn)了過度分割現(xiàn)象；而本文算法能精準地識別目標物體，取得了較好的分割結(jié)果。進一步，表5的各項指標結(jié)果表明：本文算法取得的DSC和HD值要優(yōu)于其他算法，且其收斂速度更快，其中加粗字體是指每列中的最佳值。

表5 圖4中分割結(jié)果的DSC(%)、HD值、迭代收斂步數(shù)及收斂時間(s)

圖4 不同算法對CT圖像的分割結(jié)果

最后，圖5展示了不同算法對灰度不均勻的圖像進行選擇性分割的結(jié)果，其中標記集為藍色線，groundtruth為紅色線，分割結(jié)果為綠色線。從圖5(b)—圖5(e)的分割結(jié)果可以看出：SC算法的分割結(jié)果欠佳，CRCI算法和本法算法的分割結(jié)果較好，表明基于測地距離的選擇性分割模型相比基于歐氏距離的分割模型，在分割灰度不均勻的圖像時更有優(yōu)勢。進一步，表6給出了不同算法在分割圖5兩幅真實圖像時的DSC值、HD值以及收斂迭代步數(shù)，其中加粗字體是指每列中的最佳值。不難發(fā)現(xiàn)：本文算法都能取得理想的分割結(jié)果。而且，就收斂迭代步數(shù)而言，本文算法的收斂速度無疑是最快的。

表6 圖5中分割結(jié)果的DSC(%)、HD值、迭代收斂步數(shù)及收斂時間(s)

圖5 不同算法對灰度不均勻圖像的分割結(jié)果

5 結(jié)束語

本文在RCI模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合CV凸松弛方法，提出新的凸松弛選擇性分割模型，并給出了凸松弛模型的解與原問題解的關(guān)系。此外，結(jié)合ADMM方法，設(shè)計了新模型的快速數(shù)值求解算法，并給出了該算法的收斂性結(jié)果。最后，數(shù)值試驗結(jié)果驗證了本文算法的有效性和可行性。