氫原子徑向波函數(shù)及其分布概率的數(shù)值模擬

陳敬仝，劉 鍇，吳 坤，張國睿，左亞麗，鄭興榮

(隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院，甘肅 慶陽 745000)

1 引言

氫原子是所有元素中結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的原子，由一個(gè)帶負(fù)電的電子和一個(gè)帶正電的質(zhì)子組成，是一個(gè)簡(jiǎn)單的兩體系統(tǒng)，同時(shí)也是物理學(xué)中唯一有解析解的實(shí)例[1，2].因此，氫原子在量子力學(xué)建立過程及實(shí)際應(yīng)用中有著重要地位，對(duì)整個(gè)現(xiàn)代量子理論體系的形成起到了舉足輕重的作用.所以對(duì)氫原子的研究，尤其是本征方程、波函數(shù)、電子云及其在空間各點(diǎn)的分布概率有深刻透徹的理解和掌握是必不可少的.隨著大數(shù)據(jù)、云計(jì)算和人工智能的發(fā)展，量子信息發(fā)展較快，我國在量子計(jì)算、量子通信和人工智能等尖端科技領(lǐng)域的領(lǐng)先優(yōu)勢(shì)[3]，已經(jīng)向著量子化發(fā)展，因此對(duì)量子特性的研究勢(shì)在必得.而氫原子作為現(xiàn)代物理學(xué)中唯一有解析解的實(shí)例，在許多領(lǐng)域具有重要的作用，如強(qiáng)子物理學(xué)、粒子物理學(xué)、量子化學(xué)、量子力學(xué)和材料物理等[4-7].尤其在量子力學(xué)里，沒有比氫原子問題更簡(jiǎn)單、更實(shí)用，而又有解析解的案例了.另外，運(yùn)用氫原子及其特性推演出來的基本物理理論，又可以用簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)來核對(duì).所以，氫原子問題是個(gè)很重要的問題，對(duì)其相關(guān)特性的進(jìn)一步研究至關(guān)重要[8-11].

近幾年對(duì)于氫原子及其電子的相關(guān)特性研究，已趨于白熱化[12-19].球諧函數(shù)作為氫原子拉普拉斯本征方程的角向解，其本身及其相關(guān)特性的研究很多[13-16]，而徑向波函數(shù)作為氫原子拉普拉斯本征方程的徑向解，近年來卻少有研究，或者單純的只是理論研究[20-24].如2008年陳鋼[20]討論了氫原子徑向波函數(shù)的“初等”解法，2019年盧欣[21]等人利用變分法得到了氫原子的徑向波函數(shù)和能級(jí)，1994年劉力[22]等人利用徑向波函數(shù)的振蕩性質(zhì)研究了氫原子徑向波函數(shù)，1999年魏志勇[23]嚴(yán)格證明了氫原子徑向波函數(shù)正交歸一性，1989年喀興林[24]等人研究了氫原子徑向函數(shù)的階梯算符，基于此，本文在得到氫原子波函數(shù)解析解的基礎(chǔ)上，單獨(dú)對(duì)波函數(shù)徑向波函數(shù)做了理論推導(dǎo)，并利用MATLAB軟件獨(dú)立、詳細(xì)地繪制了氫原子徑向波函數(shù)及其電子空間分布概率的二維圖.這種將氫原子徑向波函數(shù)及其電子空間分布情況形象逼真顯示出來的方法，對(duì)研究整個(gè)氫原子及其軌道的可視化結(jié)果具有引導(dǎo)和輔助作用，更對(duì)整個(gè)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義.

2 氫原子徑向波函數(shù)及其薛定諤方程

對(duì)任一氫原子，以原子核為坐標(biāo)原點(diǎn)，則氫原子的電子受原子核吸引的勢(shì)能為

(1)

其中：r是電子到核的距離，Z為氫原子核電荷量，es是電子的電荷量，與e的關(guān)系為

(2)

(3)

在球坐標(biāo)系下，式(3)可表示為

(4)

基于數(shù)理方法，利用分離變量法[25]求解式(4)，整理可得

(5)

式中：R(r)僅是r的函數(shù)，Y(θ，φ)僅是θ和φ的函數(shù).此方程的左邊僅與r有關(guān)，右邊僅與θ，φ有關(guān)，而r，θ和φ都是獨(dú)立變量，所以只有當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€(gè)常數(shù)時(shí)，等式(5)才能成立.以λ表示這個(gè)常數(shù)，則(5)式分離為兩個(gè)方程：

(6)

(7)

(6)式稱為氫原子波函數(shù)的徑向本征方程，(7)式稱為氫原子波函數(shù)的角向本征方程，其特性的研究已在前期工作中完成[14].

在前期的工作中[14]，已知

λ=l(l+1)，l=0，1，2，….

代入徑向方程(6)式，得

(8)

當(dāng)E>0時(shí)，對(duì)于E的任何值，方程(8)都有滿足波函數(shù)條件的解，即氫原子體系的能量具有連續(xù)譜，這使得電子可以離開原子核而運(yùn)動(dòng)到無限遠(yuǎn)處，即可以發(fā)生電離.當(dāng)E<0時(shí)，E具有分立譜，電子的狀態(tài)是束縛態(tài).

借助合流超幾何方程，使用合流超幾何級(jí)數(shù)截?cái)酁楹狭鞒瑤缀味囗?xiàng)式，才能滿足波函數(shù)有界條件[4，25]，則記

β=l+1+nr=n，l=0，1，…，n=1，2，….

(9)

其中：nr為徑向量子數(shù)，n為總量子數(shù)或主量子數(shù).因?yàn)閚r和l都是正整數(shù)或零，所以n=1，2，3….將(9)式代入能量本征值公式中，可得為

(10)

由此可見，在粒子能量小于零的情況下，即在束縛態(tài)下只有當(dāng)粒子能量取(10)式所給出的分立值時(shí)，波函數(shù)才有滿足有限性條件的解.

結(jié)合能量本征值，合流超幾何方程及其條件，得到氫原子的徑向波函數(shù)為

(11)

(12)

由氫原子體系波函數(shù)的歸一化條件

=1

及球諧函數(shù)Ylm(θ，φ)的歸一化條件[15]，可知Rnl(r)的歸一化條件為

(13)

將(11)式代入上式，可以算出徑向波函數(shù)的歸一化因子為

根據(jù)徑向波函數(shù)公式(11)，我們得到前面幾個(gè)徑向波函數(shù)Rnl的表達(dá)式：

……

3 數(shù)值仿真

氫原子波函數(shù)的徑向分布有幾種表示方法：(1)徑向波函數(shù)圖，即波函數(shù)的徑向部分Rnl對(duì)r作圖；(2)徑向波函數(shù)幾率密度圖，即Rnl2對(duì)r作圖；(3)電子云的徑向分布圖，即徑向分布函數(shù)D=r2Rnl2對(duì)r作圖.下面通過MATLAB軟件對(duì)其數(shù)值仿真，并加以討論、分析.

3.1 徑向波函數(shù)及其幾率密度的數(shù)值仿真與討論

結(jié)合式(11)和前面幾個(gè)徑向波函數(shù)的表達(dá)式，利用MATLAB軟件，對(duì)氫原子的徑向波函數(shù)及其幾率密度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了16組徑向波函數(shù)及其幾率密度的仿真圖，如圖1和圖2所示.

圖1 氫原子的徑向波函數(shù)的二維仿真圖

由圖1和圖2可以看出，當(dāng)r發(fā)生變化時(shí)，徑向波函數(shù)及其幾率密度也隨之發(fā)生改變.當(dāng)主量子數(shù)n越大時(shí)，原子軌道的最可幾徑向距離越大，則原子軌道的擴(kuò)散程度越大；對(duì)單原子而言，當(dāng)主量子數(shù)n相同時(shí)，角量子數(shù)l對(duì)原子軌道的徑向分布影響不大，僅隨角量子數(shù)l的增大，最可幾徑向距離稍有減小.

3.2 徑向分布函數(shù)的數(shù)值仿真與討論

盡管在量子力學(xué)中電子并無嚴(yán)格的軌道概念而只能給出位置的分布概率，但對(duì)于氫原子基態(tài)，量子力學(xué)給出的最可幾半徑r=a0(Bohr半徑)可由數(shù)值仿真圖的峰值給出.對(duì)于不同的主量子數(shù)n，角量子數(shù)l的值可以看出電子徑向分布有不同的峰值，其代表了電子在此處出現(xiàn)的概率較大.

基于此，利用MATLAB軟件，對(duì)氫原子的徑向分布函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到了16組電子云的徑向分布概率仿真圖，如圖3所示.

通過圖3我們發(fā)現(xiàn)，曲線最高點(diǎn)的位置是D最大的球殼，且曲線波峰的數(shù)目等于n-l；任意兩個(gè)及其以上波峰的圖形中，兩個(gè)相鄰波峰之間必有一個(gè)零點(diǎn)，以零點(diǎn)的r為半徑可作一球面，在此球面上電子云密度等于零，稱為節(jié)面，且節(jié)面的數(shù)目等于n-l-1.如，圖3中，圖形(4)對(duì)于n=3，l=0態(tài)的氫原子在徑向分布上有3-0-1=2個(gè)節(jié)面，圖形(5)對(duì)于n=3，l=1態(tài)的氫原子在徑向分布上有3-1-1=1個(gè)節(jié)面，圖形(11)對(duì)于n=5，l=0態(tài)的氫原子在徑向分布上有5-0-1=4個(gè)節(jié)面.

圖3 氫原子徑向分布函數(shù)的二維仿真圖

總之，圖中的峰值位置代表電子在此處出現(xiàn)的概率較大.這和舊量子力中的軌道概念有吻合之處.

3.3 能級(jí)簡(jiǎn)并的數(shù)值計(jì)算與討論

電子的能級(jí)對(duì)m簡(jiǎn)并，即En與m無關(guān)，這是由于勢(shì)場(chǎng)是中心力場(chǎng)(勢(shì)能僅與r有關(guān)，而與n，φ無關(guān))；能級(jí)對(duì)l簡(jiǎn)并，即En與l無關(guān)，則是庫侖場(chǎng)所特有的.在堿金屬原子中，價(jià)電子的勢(shì)場(chǎng)也是中心力場(chǎng)，由于核體積較大，不是嚴(yán)格的庫侖場(chǎng).這樣，價(jià)電子的能級(jí)Enl僅對(duì)m簡(jiǎn)并，對(duì)l則沒有簡(jiǎn)并.

4 結(jié)論

本文在所學(xué)量子力學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)物理方法的基礎(chǔ)上，確定出氫原子體系的薛定諤本征方程及其徑向和角向本征方程，通過分離變量法重點(diǎn)得出氫原子徑向波函數(shù)的解析解.在以上工作的基礎(chǔ)上，根據(jù)氫原子波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義推導(dǎo)出了氫原子的徑向波函數(shù)，并用MATLAB軟件仿真繪制出氫原子徑向波函數(shù)及其幾率密度，電子空間分布函數(shù)的立體圖，得到了可視化的結(jié)果.結(jié)果表明，當(dāng)r發(fā)生變化時(shí)，徑向分布幾率密度也隨之發(fā)生改變.當(dāng)主量子數(shù)n越大時(shí)，原子軌道的最可幾徑向距離越大，則原子軌道的擴(kuò)散程度越大；對(duì)單原子而言，當(dāng)主量子數(shù)n相同時(shí)，角量子數(shù)l對(duì)原子軌道的徑向分布影響不大，僅隨角量子數(shù)l的增大，最可幾徑向距離稍有減小.分布函數(shù)曲線最高點(diǎn)的位置是D最大的球殼，且曲線波峰的數(shù)目等于n-l；任意兩個(gè)及其以上波峰的圖形中，任意兩個(gè)相鄰波峰之間必有一個(gè)零點(diǎn)，且節(jié)面的數(shù)目等于n-l-1.這種可視化的結(jié)果與理論推導(dǎo)的結(jié)果完全吻合，這對(duì)量子力學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義.