基于泰伯效應(yīng)測量光柵常量

李冬至,劉忠菊,伍豪佳,梁祿業(yè),李博琛,趙 騫

(1.廣東工業(yè)大學(xué) 先進(jìn)制造學(xué)院，廣東 揭陽 522000；2.沈陽工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

泰伯效應(yīng)(Talbot effect)由Henry Fox Talbot于1836年首次觀察到[1]. 當(dāng)平面波入射到周期性衍射光柵時(shí)，在遠(yuǎn)離光柵平面周期規(guī)則的距離處,光柵圖像重復(fù)出現(xiàn)，也稱為自成像或無透鏡成像[2-3]. 在光學(xué)領(lǐng)域，自成像一直是圖像處理[3-4]、空間濾波器[5]和光學(xué)測量[6]的熱點(diǎn)，在多個(gè)研究領(lǐng)域中都有應(yīng)用，例如聲學(xué)[7]、電子顯微鏡[8]、等離子體[9]、X射線[10]和玻色-愛因斯坦凝聚[11].

泰伯效應(yīng)是一種衍射效應(yīng)，周期規(guī)則的距離稱為泰伯長度，重復(fù)出現(xiàn)的圖像稱為泰伯正像. 此外，在泰伯長度的1/2處，也會(huì)出現(xiàn)泰伯負(fù)像，即相移了1/2個(gè)周期[12](光柵周期寬度橫向移動(dòng)了1/2). 隨著探測器位置變化，當(dāng)所成的像為正像或負(fù)像時(shí)，圖像最清晰且對比度出現(xiàn)極大值，每2個(gè)正像間距或負(fù)像間距即為泰伯距離[13]，而圖像最不清晰且對比度處于極小值時(shí)，則處于正像與負(fù)像兩者中間. 另外，相鄰正像和負(fù)像之間也會(huì)有自成像現(xiàn)象，在泰伯距離1/4處，自成像大小減半，并間隔1/2個(gè)光柵周期出現(xiàn)，對比度也相應(yīng)降低，在泰伯距離1/8處，圖像的周期和大小再次減半，對比度更低，最終形成地毯狀圖案(Talbot carpet)[14]. 因此，當(dāng)對所成的像進(jìn)行對比度分析時(shí)，由于存在周期性的特點(diǎn)，測量正像或負(fù)像對比度極大值所對應(yīng)的探測器位置之間的間隔，即可以得到1/2個(gè)泰伯距離的長度. 根據(jù)衍射理論可知，泰伯距離與光柵常量和光的波長有關(guān). 若已知入射光的波長，通過實(shí)驗(yàn)圖像對比度曲線可測得平均泰伯距離，進(jìn)而求出光柵常量.

1 實(shí)驗(yàn)原理

根據(jù)菲涅耳衍射理論可知，對于具有周期性結(jié)構(gòu)的物體，可給出透過率函數(shù). 以圖1所示一維周期性光柵為例，設(shè)其透過率函數(shù)為

(1)

其中，n取整數(shù)，Cn表示各平面波分量的相對振幅與相位分布，d為光柵常量，x為平行光柵的觀察平面到原點(diǎn)的坐標(biāo)距離.

(2)

觀察屏上的光場可以表示為

(3)

式(3)是卷積運(yùn)算形式，通過傅里葉變換并應(yīng)用卷積定理，得

(4)

其中，

式(4)用到了編碼脈沖信號(hào)的傅里葉變換式以及相似性定理，代入式(2)得

(5)

(6)

(7)

因此，泰伯相鄰正像與負(fù)像間距(泰伯距離的1/2)為Δs=d2/λ.如果已知波長λ，則可求得光柵常量為

(8)

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

由式(7)可知，泰伯距離與光柵常量之間存在聯(lián)系，使用平行光源照射光柵，沿光軸方向移動(dòng)相機(jī)，記錄所成的光柵圖像.分析獲得的圖像，得出泰伯距離與光柵常量之間的具體數(shù)值關(guān)系，更換不同線數(shù)光柵進(jìn)行測量，計(jì)算出平均值，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的可靠性.

本實(shí)驗(yàn)光源要求為單色平行光源，即單色平面波，若以單色球面波照射周期性結(jié)構(gòu)的物體時(shí)，泰伯距離Δz滿足

(9)

其中，R為球面波在泰伯像處的半徑，只有R?Δz(單色平面波)時(shí)，泰伯距離才為等間距，計(jì)算得到的平均泰伯距離才有意義.此外，非相干光源照明不會(huì)影響實(shí)驗(yàn)，因?yàn)樾盘?hào)來源于衍射光線干涉的結(jié)果，故本實(shí)驗(yàn)可在普通照明環(huán)境下進(jìn)行.

如圖2所示，氦氖激光器(λ=632.8 nm)發(fā)出的激光經(jīng)擴(kuò)束鏡后變?yōu)槠叫泄?，再?jīng)過濾光片去除雜散光的影響，將其照射到光柵，在沿光柵向后的方向不斷移動(dòng)探測相機(jī)，探測相機(jī)就會(huì)接收到周期性變化的圖像，再利用LabVIEW軟件在計(jì)算機(jī)屏幕上進(jìn)行即時(shí)顯示，并對接收到的圖像中心400×400像素點(diǎn)區(qū)域?qū)崟r(shí)計(jì)算光強(qiáng)二階中心矩，將其作為對比度(當(dāng)采集像素點(diǎn)數(shù)足夠多，像素光強(qiáng)的二階中心矩等價(jià)于方差[16])來表示所統(tǒng)計(jì)圖像區(qū)域內(nèi)的同質(zhì)性[17](像素視覺的顯著性或平滑性)：

(10)

其中，M2為二階矩，N為輸入圖像像素個(gè)數(shù)，xi為第i個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)值，μ為總體像素光強(qiáng)的均值.以此統(tǒng)計(jì)數(shù)值來表征圖像對比度，從而形成對比度-探測相機(jī)位置曲線.

實(shí)驗(yàn)中采用LabVIEW軟件的逐點(diǎn)尋峰函數(shù)實(shí)時(shí)記錄每個(gè)對比度峰對應(yīng)該處探測相機(jī)移動(dòng)的位置，每2個(gè)峰之間的距離就是泰伯正負(fù)像間距. 當(dāng)探測相機(jī)移動(dòng)距離逐漸增大時(shí)，接收到的信號(hào)強(qiáng)度受周圍雜散光的影響增大，從而會(huì)導(dǎo)致圖像信噪比降低. 因此，根據(jù)絲杠導(dǎo)軌的長度只選取從測量開始的幾個(gè)峰值的間距，再取平均值作為泰伯正負(fù)像間距，以此確定對比度隨探測器移動(dòng)變化曲線的峰值，分析每個(gè)峰之間的距離并求出正負(fù)像的平均間隔Δs，代入式(8)，得到光柵常量.

圖2 實(shí)驗(yàn)原理光路示意圖

圖像獲取、控制探測相機(jī)移動(dòng)、計(jì)算二階矩、自動(dòng)尋峰和結(jié)果計(jì)算均由LaVIEW軟件編寫程序完成，全程自動(dòng)化采集處理，從而去除了人為因素的干擾.

為實(shí)現(xiàn)相機(jī)沿光軸方向移動(dòng)，利用步進(jìn)電機(jī)來控制探測相機(jī)移動(dòng). 采用的步進(jìn)電機(jī)上的絲杠螺距為4 mm，在非細(xì)分的情況下，1個(gè)脈沖對應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)1.8°，驅(qū)動(dòng)器采用4細(xì)分，由于每個(gè)脈沖對應(yīng)行進(jìn)距離為0.005 mm，故20個(gè)脈沖對應(yīng)的行進(jìn)距離為0.1 mm，為實(shí)時(shí)分析圖像位置提供了探測相機(jī)移動(dòng)距離的數(shù)據(jù)參考.

標(biāo)識(shí)為10線的待測光柵，理論上的光柵常量d=0.1 mm，但實(shí)驗(yàn)得到的光柵常量測量值與標(biāo)識(shí)值存在較大偏差，這可能是低線數(shù)光柵的生產(chǎn)精度不高和使用過程中的損耗造成的. 利用實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有的機(jī)器視覺綜合測量系統(tǒng)測量此光柵，具體步驟為：

1)將標(biāo)準(zhǔn)板置于機(jī)器視覺綜合測量系統(tǒng)中，標(biāo)準(zhǔn)板上2個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離為0.1 mm (標(biāo)準(zhǔn)距離).

2)對標(biāo)準(zhǔn)板圖像進(jìn)行拍攝，計(jì)算0.1 mm所對應(yīng)的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到單個(gè)像素點(diǎn)所對應(yīng)的長度約為0.015 82 mm.

3)將待測光柵置于儀器中，拍攝圖像，并選取多個(gè)光柵線對進(jìn)行計(jì)算(選取拍攝清晰的連續(xù)48個(gè)光柵線對)，得出對應(yīng)的像素點(diǎn)個(gè)數(shù)為299.

因此，該10線光柵的d≈0.098 5 mm，與標(biāo)識(shí)值確有偏差.

3 數(shù)據(jù)測量與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)測量10線光柵的光柵常量

圖3所示為LabVIEW軟件操作界面，左側(cè)為實(shí)驗(yàn)實(shí)時(shí)圖像及橫向光強(qiáng)分布圖，右側(cè)為400×400像素中心矩所得到的對比度-探測相機(jī)位置曲線，可以觀察到曲線除了5個(gè)主峰外，在1個(gè)泰伯距離內(nèi)還存在一些很有規(guī)律的次峰，這些次峰是由衍射和干涉形成的周期子圖像造成的. 通過確定對比度主峰的位置，可以確定泰伯距離，由于測量精度等原因，這些子圖像成像時(shí)的對比度峰顯現(xiàn)效果較差，但對實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果沒有影響.

通過以上方法得到的測量結(jié)果如表1所示. 根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)求得平均相鄰峰值為15.326 mm，代入式(8)，計(jì)算可得光柵常量d1=(0.098 4±0.000 2) mm. 利用機(jī)器視覺系統(tǒng)測量得到該光柵的光柵常量為0.098 5 mm. 經(jīng)比較，2種不同方法得到的結(jié)果非常接近,證明了該實(shí)驗(yàn)方法的有效性.

表1 10線光柵的測量結(jié)果

3.2 實(shí)驗(yàn)測量25線光柵的光柵常量

為進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)方法的可靠性，對標(biāo)識(shí)為25線光柵的光柵常量進(jìn)行測量，測量結(jié)果如表2所示. 根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)求得平均相鄰峰值為2.531 mm，代入式(8)，計(jì)算可得光柵常量d2=(0.040 0±0.000 2) mm，得到的結(jié)果與利用機(jī)器視覺系統(tǒng)測量得到的光柵常量(0.039 9 mm)接近，進(jìn)一步證明了該實(shí)驗(yàn)方法的有效性.

表2 25線光柵的測量結(jié)果

4 結(jié) 論

基于泰伯效應(yīng)測量光柵常量的方法和裝置，可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)監(jiān)控和自動(dòng)化采集測量，裝置結(jié)構(gòu)簡單、測量結(jié)果誤差小、準(zhǔn)確度高，且與機(jī)器視覺系統(tǒng)的測量結(jié)果接近，證明本文實(shí)驗(yàn)方法的有效性. 該實(shí)驗(yàn)裝置既可用于物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，又可用于對光柵或其他周期性物體的質(zhì)量檢測. 另外，本實(shí)驗(yàn)還能夠幫助學(xué)生掌握自動(dòng)化測量的實(shí)驗(yàn)思路和方法，并加強(qiáng)學(xué)生對泰伯效應(yīng)實(shí)驗(yàn)過程的理解.