拉蓋爾-高斯光束在高速運動分層介質(zhì)中的傳輸特性

王明軍，王婉柔 ，張 穎，柯熙政

(西安理工大學(xué) 自動化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

隨著電磁波技術(shù)的不斷發(fā)展，電磁波在介質(zhì)中的傳輸特性得到了人們的廣泛關(guān)注.近些年來，一種特殊的光場走進了我們的視線，它的波面與我們常見的平面波和球面波不同，是螺旋結(jié)構(gòu)的，也就是我們所說的渦旋光束.通過研究發(fā)現(xiàn)，它自身的螺旋形相位波前是由于其攜帶的軌道角動量(Orbital Angular Momentum，OAM)所導(dǎo)致的，這種獨特的相位結(jié)構(gòu)使其具有中心相位奇點，從而使它的光強呈現(xiàn)圓環(huán)型分布，使其在微粒操控、光通信、光子計算[1-3]、生物醫(yī)學(xué)等眾多領(lǐng)域中都發(fā)揮著重要作用.

關(guān)于渦旋光束在介質(zhì)中的傳輸特性的研究，在2008年，Okuda等人[4]通過研究TM和TE 拉蓋爾-高斯光束在接近臨界入射的電介質(zhì)界面處反射和透射，觀察了反射光束和透射光束的強度分布情況.2011年，歐軍等人[5]研究了在圓柱坐標(biāo)系中傍軸線偏振LG光束在兩種各向同性介質(zhì)界面反射和折射后光強質(zhì)心的偏移.2014年，張進等人[6]根據(jù)平面波角譜理論建立了渦旋光束在空氣-玻璃界面反射時的傍軸傳輸模型.2017年，李海英、吳振森等人[7]基于角基于角譜擴展和4×4矩陣?yán)碚摚芯苛藛屋S各向異性多層介質(zhì)中LG光束的反射和透射特性.2018年，劉佳偉、李海英、吳振森等人[8]研究了單軸各向異性介質(zhì)層中矢量Bessel渦旋波束的傳輸特性.

隨著對渦旋光束研究的愈發(fā)深入，可以看到其在介質(zhì)中的傳輸取得了許多令人欣喜的成果.但這些研究大多都停留在靜止介質(zhì)以及單層介質(zhì)中，并且大多都圍繞其光強、幅度進行觀察和討論，很少對其相位的變化情況進行分析討論.因此研究渦旋光束在分層介質(zhì)以及高速運動分層介質(zhì)中相位方面的傳輸特性是十分有必要的.

由于LG光束是目前應(yīng)用范圍最廣且最為基礎(chǔ)的渦旋光束，任意渦旋光束都可以分解為若干個LG光束，并且分解后的LG光束相互獨立，互不干擾.而線偏振的LG光束產(chǎn)生簡單，便于分析.因此本文將以線偏振的矢量LG光束為例，分別對LG光束在自由空間、靜止分層介質(zhì)以及高速運動介質(zhì)上的傳輸特性進行研究，主要研究其相位特性，討論其相位變化情況.

1 渦旋光束的傳輸特性

1.1 渦旋光束在自由空間中傳播

已知LG光束沿z軸傳播時，在柱坐標(biāo)系中的電場表達式為

(1)

式中，n為徑向模式分量；l為弧向模式分量也稱為拓?fù)浜蓴?shù)；p0為激光器的功率；θ為LG光束的方位角；w(z)為在z處的束腰半徑.

假設(shè)光束沿z軸正向傳播，從z=0處發(fā)射，根據(jù)式(1)，LG光束的電場表達式可以寫為

(2)

由惠更斯-菲涅爾原理和ABCD傳輸矩陣可以得到z處渦旋光束的電場為

(3)

其中k為波數(shù)，ABCD為系統(tǒng)的傳輸矩陣.

將式(2)代入式(3)中，整理可得[9]

(4)

(5)

由式(5)可以看出，渦旋光束在自由空間中傳播時，其相位因子exp(ilφ)依舊存在并未發(fā)生改變，故在自由空間中傳播時，渦旋光束的相位依舊會隨著方位角的變化而變化，呈現(xiàn)螺旋結(jié)構(gòu).

1.2 渦旋光束在靜止分層介質(zhì)上的傳輸特性

假設(shè)入射光束為沿z軸正向傳播的線偏振矢量渦旋光束.首先我們對靜止分層介質(zhì)進行研究，由于任意方向入射的電磁波都可以分解成為電場與入射面平行的平行極化波和電場與入射面垂直的垂直極化波，以此為依據(jù)將入射LG光束進行分解.圖1為垂直極化波入射至靜止分層介質(zhì)的模型[10].

圖1 LG光束入射至靜止分層介質(zhì)模型

將渦旋光束所攜帶的相位因子eilθ分解為每個平面波譜所攜帶的相位eilv，則可將其相位分布表示為[11]

φ(k)=eilv=eilarctan(ky/kx)

(6)

式中arctan(ky/kx)∈(-180°,180°).

對于入射波，其波矢量ki可以分解為

(7)

其中θ為入射角，v為渦旋光束的方位角.

由式(6)可得其相位分布為

φi(ki)=eilv=eilarctan(kiy/kix)

(8)

令：

則由式(1)和式(8)可得，入射垂直極化波電場表達式為

Ei1⊥=(axcosθ-azsinθ)Elgφi(ki)e-i(xkix+zkiz)=

(axcosθ-azsinθ)Elgeilarctan(kiy/kix)e-i(xkix+zkiz)

(9)

入射平行極化波電場表達式為：

Ei1‖=ayElgφi(ki)e-i(xkix+zkiz)=

ayElgeilarctan(kiy/kix)e-i(xkix+zkiz)

(10)

對于反射波，根據(jù)坐標(biāo)變換，可得到入射波矢量與反射波矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系為：

(11)

由式(6)可得其相位分布為：

φr(kr)=eilv=e-ilarctan(kry/krx)

(12)

由Erm⊥=R⊥×Ei1⊥可得，反射垂直極化波電場表達式為：

Erm⊥=R⊥(axcosθ-azsinθ)Elgφr(kr)e-i(xkrx+zkrz)=

R⊥(axcosθ-azsinθ)Elge-ilarctan(kry/krx)e-i(xkrx+zkrz)

(13)

由Erm∥=R∥×Ei1∥，可得反射平行極化波電場表達式為

Erm∥=R∥ayElgφr(kr)e-i(xkrx+zkrz)=

R∥ayElge-ilarctan(kry/krx)e-i(xkrx+zkrz)

(14)

對于透射波，同理可得其透射波矢量與入射波矢量的坐標(biāo)變換關(guān)系為：

(15)

式中τ為透射角，θ為入射角，其關(guān)系為：sinθ=nsinτ.

特別地，當(dāng)θ=0時，可將式(15)寫為：

(16)

由式(6)可得其相位分布為

φt(kt)=eilv=eilarctan(kty/ktx)

(17)

由Etm⊥=T⊥×Ei1⊥可得，透射垂直極化波電場表達式為

(18)

由Etm∥=T∥×Ei1∥可得，透射平行極化波電場表達式為：

Etm∥=T∥ayElgφt(kt)e-i(xktx+zktz)=

T∥ayElgeilarctan(kty/ktx)e-i(xktx+zktz)

(19)

由式(8)和式(12)可以看出，入射渦旋波和反射渦旋波的拓?fù)浜蓴?shù)相反，因此入射渦旋波和反射渦旋波的相位旋轉(zhuǎn)方向應(yīng)該相反.由式(8)和式(16)可以看出，入射渦旋波和透射渦旋波具有相同的拓?fù)浜蓴?shù)，因此其相位旋轉(zhuǎn)方向應(yīng)該相同.但由于波矢量不再具有線性關(guān)系，因此方位角將不再線性變化.

1.3 渦旋光束在高速運動分層介質(zhì)中的傳輸特性

假設(shè)S系為參考坐標(biāo)，在S′系中的各向同性介質(zhì)以v的速度向x軸正向運動，建立如圖2所示坐標(biāo)系.入射LG光束以θ為入射角x′O′z′平面為入射面，由介質(zhì)0進入介質(zhì)1中.其中k為波矢量，θ、α分別為入射角和透射角.

圖2 運動分層界面模型

由于在高速運動過程中，電磁場量會發(fā)生變化，故根據(jù)洛倫茲逆變換可得：

(20)

由式(20)可得，電場強度滿足：

E=γ(1+βcosθ′)E′

(21)

波矢量k滿足：

ω=γ(ω′+vk′x)

(22)

當(dāng)入射波是垂直極化波時，在S′系中有E′i=E′ixax+E′izaz，將其變換到S系中，可得[12]：

Ei⊥=γ(1+βcosθ′)E′i⊥=

γ(1+βcosθ′)(E′ixax+E′izaz)=

(23)

(24)

(25)

當(dāng)入射波為平行極化波時，在S′系有E′i=E′iyay，由洛倫茲變換將其變換到S系中，可得：

(26)

(27)

(28)

式中R⊥v、T⊥v、R∥v、T∥v分別為垂直極化波和平行極化波在運動分層介質(zhì)中的反射系數(shù)和透射系數(shù).

為保證推導(dǎo)的正確性，將高速運動分層介質(zhì)中所推導(dǎo)的反射和透射波表達式進行退化.由式(20)可知，當(dāng)v=0時，β=0，γ=1，則對于垂直極化波，式(23)、式(24)和式(25)可以分別退化為1.2節(jié)中的式(9)、式(13)和式(18)靜止分層介質(zhì)中入射、反射和透射垂直極化波表達式. 同理對于平行極化波，當(dāng)v=0時，式(26)、式(27)和式(28)也可以分別退化為式(10)、式(14)和式(19). 即就是當(dāng)介質(zhì)運動速度為0時，高速運動分層介質(zhì)中所推導(dǎo)表達式都可以退化為靜止時的表達式，即可驗證推導(dǎo)的正確性.

2 數(shù)值模擬

取LG光束的徑向分量n=0，拓?fù)浜蓴?shù)l=2，束腰半徑ω0=0.5mm，以式(13)、(18)為研究基礎(chǔ)，用matlab進行數(shù)值模擬.圖3-圖6為LG光束入射至靜止各向同性分層介質(zhì)時，改變其入射角對反射光束和透射光束的相位影響情況. 此處只給出垂直極化波的數(shù)值模擬結(jié)果，水平極化波變化規(guī)律與垂直極化波相同.

圖3可以看出，當(dāng)入射角為0°時，反射渦旋光束的相位旋轉(zhuǎn)方向和入射光束的相位旋轉(zhuǎn)方向相反，與之前得到的結(jié)論相符，由此時沒有透射渦旋光束. 由圖3-圖6可以看出，通過增大入射角，反射渦旋光束的相位除了旋轉(zhuǎn)方向與入射渦旋光束相反之外，一直維持渦旋光束的相位結(jié)構(gòu)；而透射渦旋光束的相位會隨著入射角的增大，相位結(jié)構(gòu)逐漸模糊，逐漸失去渦旋光束所具有的相位特點，當(dāng)入射角大于等于45°時徹底丟失其相位結(jié)構(gòu).

圖3 入射角為0°時相位圖

圖4 入射角為30°(π/6)時相位圖

圖5 入射角為36°(π/5)時相位圖

圖6 入射角為45°(π/4)時相位圖

以式(24)和式(25)為研究基礎(chǔ)，對LG光束入射至高速運動分層界面的情況進行數(shù)值模擬，圖7-圖10為當(dāng)θ=0，介質(zhì)運動速度改變時LG光束的相位變化情況.

由圖7-圖10可以看出，無論介質(zhì)靜止還是運動，反射渦旋光束的相位旋轉(zhuǎn)方向都和入射光束相反；透射光束的相位旋轉(zhuǎn)方向和入射光束相位旋轉(zhuǎn)方向相同. 當(dāng)介質(zhì)靜止，入射角為0時，沒有透射渦旋光束；當(dāng)介質(zhì)開始高速運動，此時入射和反射渦旋光束的旋轉(zhuǎn)方向與靜止時恰好相反，并且出現(xiàn)透射渦旋光束，這是由于介質(zhì)的運動速度對渦旋光束的波矢產(chǎn)生了影響，改變了渦旋光束的傳播方向,從而使其出現(xiàn)透射光束.當(dāng)介質(zhì)速度逐漸增大，入射渦旋光束和反射渦旋光束的相位改變逐漸減小，與我們的公式推導(dǎo)結(jié)果相符.

圖7 介質(zhì)運動速度v=0 m/s

圖8 介質(zhì)運動速度v=0.5×106 m/s

圖9 介質(zhì)運動速度v=0.5×107 m/s

圖10 介質(zhì)運動速度v=0.5×108 m/s

3 結(jié)論

本文主要對線偏振的LG光束在介質(zhì)中相位的傳輸特性進行分析推導(dǎo).首先討論了自由空間中渦旋光束的相位變化情況.隨后對其在靜止分層界面以及高速運動界面上的反射渦旋光束和透射渦旋光束的相位變化情況進行了推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)反射光束的拓?fù)浜蓴?shù)與入射光束的拓?fù)浜蓴?shù)相反，故其相位旋轉(zhuǎn)方向與入射光束相反；透射光束的拓?fù)浜蓴?shù)與入射光束的拓?fù)浜蓴?shù)相同，但波矢量呈非線性關(guān)系，透射光束將不在具備入射光束的圓形軸對稱分布特點.并且當(dāng)介質(zhì)運動速度為0時，高速運動分層介質(zhì)中所推導(dǎo)表達式都可以退化為靜止時的表達式. 最后通過數(shù)值模擬，驗證了靜止分層界面以及高速運動界面情況結(jié)論的正確性，并模擬當(dāng)入射角增大時，反射渦旋光束和透射渦旋光束在靜止分層界面的相位變化情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射角逐漸增大，反射渦旋光束的相位除了旋轉(zhuǎn)方向與入射渦旋光束相反之外，將一直維持渦旋光束的相位結(jié)構(gòu)；而透射渦旋光束的相位會隨著入射角的增大，相位結(jié)構(gòu)逐漸模糊，逐漸失去渦旋光束所具有的相位特點，當(dāng)入射角大于45°時徹底丟失其相位結(jié)構(gòu). 當(dāng)介質(zhì)靜止，入射角為0時，此時沒有透射渦旋光束；當(dāng)介質(zhì)開始高速運動，此時入射和反射渦旋光束的旋轉(zhuǎn)方向與靜止時恰好相反，并且由于介質(zhì)的運動速度對渦旋光束的波矢產(chǎn)生了影響，出現(xiàn)了透射渦旋光束. 當(dāng)介質(zhì)速度逐漸增大，入射渦旋光束和反射渦旋光束的相位改變逐漸減小.本文的研究結(jié)果詳細(xì)的給出了線偏振的LG光束在自由空間、單層介質(zhì)、高速運動介質(zhì)以及多層介質(zhì)上傳輸時的相位變化情況，進一步完善了渦旋光束的相位在介質(zhì)中的傳輸特性，對后續(xù)研究十分有意義.另外，若后續(xù)需對其他偏振狀態(tài)進行研究，比如圓偏振狀態(tài)，可以參考本文對線偏振渦旋光束的研究，將其分解為兩個振動方向互相垂直的線偏振光進行分析.