洛倫茲變換矩陣的對角化及其意義

李一杰，張成園，石 薇，康曉珅，龔 麗，許廣智

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 沈陽 110036)

狹義相對論中，洛倫茲變換決定不同慣性參考系間時(shí)空坐標(biāo)的變換關(guān)系.取閔氏時(shí)空坐標(biāo)，沿x方向相對運(yùn)動(dòng)的S′與S系間的洛倫茲變換有如下形式

(1)

此時(shí)，洛倫茲變換矩陣Λ是正交對稱的實(shí)矩陣.引入?yún)⒖枷甸g的相對快度η后，洛倫茲矩陣寫成下式:

(2)

式中，η與參考系相對運(yùn)動(dòng)速度v的關(guān)系為

(3)

由線性代數(shù)知識，對稱實(shí)矩陣能夠?qū)腔玫狡渲髦? 洛倫茲變換矩陣對角化及其意義是什么，少有教材、文獻(xiàn)討論，下文內(nèi)容由此展開.

1 洛倫茲矩陣的對角化

將對稱矩陣對角化，需要先解矩陣的特征方程，以得到相似變換正交矩陣.解洛倫茲變換矩陣的特征方程[1]，有

Λa=λa

(4)

求出特征值λ及特征矢量a，結(jié)果在表(1)中給出.由特征方程的含義，可見式(4)表示在矩陣Λ作用下，矢量a方向不變，大小縮放λ倍.所以，表(1)結(jié)果表明參考系變換下有4個(gè)時(shí)空方向上四維矢量的方向保持不變，a1、a2、a3、a4分別是這4個(gè)時(shí)空方向上的單位矢量.(這里注意，矢量a3和a4的大小實(shí)際為0.)

a1、a2分別對應(yīng)沿y、z空間軸的類空矢量，參考系變換下，沿y(z)的矢量仍然沿y(z)軸.a1、a2對應(yīng)的特征值為1，所以矢量大小也保持不變，即垂直于參考系相對運(yùn)動(dòng)方向的空間距離大小不變.

為了理解a3、a4的意義，繪制xOct平面上的時(shí)空圖(圖1)[2].圖中選取S系作基準(zhǔn)，ct及x軸分別畫成豎直及水平.OB、OA分別是沿x軸正、反方向運(yùn)動(dòng)的真空中光子世界線.S′系坐標(biāo)軸ct′及x′分居OB兩側(cè)且與之夾角相等.

圖1 時(shí)空圖中兩慣性參考系下的真空光子時(shí)空坐標(biāo)

時(shí)空圖采用閔氏度規(guī)而非歐氏度規(guī)，ct′(x′)軸由ct(x)軸經(jīng)式(1)的洛倫茲偽轉(zhuǎn)動(dòng)(正交變換)得到，致使ct′及x′看似非正交實(shí)則正交[3].ct′(x′)與ct(x)軸間的夾角即為相對快度η.作AC、BD平行于x′軸，則它們垂直于OC，有∠CAF=∠DBF=η.A、B兩點(diǎn)在兩參考系下的時(shí)空坐標(biāo)分別寫為(這里略去y、z坐標(biāo))

(5)

(6)

可見a3、a4對應(yīng)xOct面上的類光單位矢量，即平行于OA、OB的單位矢量.參考系變換下，類光矢量依然是類光的.但不同參考系下，非xOct面上的類光矢量(對應(yīng)真空中與x軸有一定夾角傳播的光或電磁波)，矢量方向改變，這表現(xiàn)為真空中非x軸方向的光或電磁波空間中傳播方向改變，即是光/電磁波的光行差現(xiàn)象.而xOct面上類光矢量的方向不變[式(5)和式(6)]，表現(xiàn)為沿x軸(即參考系相對運(yùn)動(dòng)方向)的光/電磁波依然沿x軸.

注意到△BDF、△OEF是閔氏時(shí)空中直角三角形，利用時(shí)空圖中的幾何關(guān)系[2]，得到

(7)

類似地，△ACF、△OEF是閔氏時(shí)空中直角三角形，有

(8)

容易驗(yàn)證a1、a2、a3、a4線性無關(guān)，這樣就能以它們所在矢量方向?yàn)檩S建立時(shí)空坐標(biāo)系.為了更加符合相對論的標(biāo)號習(xí)慣，以下討論中，重新定義基矢(e0≡a4,e1≡a3,e2≡a1,e3≡a2)，則任一四維時(shí)空矢量展開為cTe0+Xe1+Ye2+Ze3，(cT,X,Y,Z)為新坐標(biāo)系中的各坐標(biāo)分量.此坐標(biāo)系稱為光錐坐標(biāo)系，在粒子物理中有廣泛應(yīng)用[4].兩條光子世界線分別充當(dāng)時(shí)間軸和一條空間軸，相當(dāng)于這里構(gòu)建了處于光速的慣性觀者參考系，所以光錐坐標(biāo)系是光子的共動(dòng)系.另外注意到，e2、e3相互正交且與e0、e1正交，但e0與e1非正交，有(e0)Tge1≠0,其中g(shù)=diag(1,-1,-1,-1)是閔氏時(shí)空度規(guī).所以光錐坐標(biāo)系不是正交坐標(biāo)系，而是四維時(shí)空斜交坐標(biāo)系，其度規(guī)也不同于閔氏度規(guī).

此時(shí)，參考系變換下的矢量變換規(guī)則變?yōu)?/p>

(9)

其中，ΛLC由下面的相似變換對洛倫茲變換矩陣進(jìn)行對角化得到

ΛLC=P-1ΛP=diag(e-η,eη,1,1)

(10)

相似變換正交矩陣P由下式給出

P=PT=P-1=(e0,e1,e2,e3)

(11)

ΛLC的對角元對應(yīng)表1中洛倫茲變換矩陣的特征值.由此可見，洛倫茲變換矩陣的對角化即是從一般慣性系變換到光錐坐標(biāo)系的過程，對角元(即洛倫茲變換矩陣的主值)對應(yīng)某時(shí)空點(diǎn)在參考系變換下各光錐坐標(biāo)分量發(fā)生縮放的倍數(shù).

表1 洛倫茲矩陣的特征值及特征矢量

那么，光錐坐標(biāo)(cT,X,Y,Z)與一般慣性系時(shí)空坐標(biāo)(ct,x,y,z)有怎樣的對應(yīng)關(guān)系呢？首先，易見Y、Z與y、z分別對應(yīng)相等.再由

(ct,x,y,z)T=cTe0+Xe1+Ye2+Ze3=

cTa4+Xa3+Ya1+Za2

(12)

將一般慣性系中ai,i=1,2,3,4的形式(即表1結(jié)果)代入，即可求得.有

(13)

解得

(14)

定義某時(shí)空點(diǎn)p光錐坐標(biāo)系下X方向速率為Vp，則求得它與一般慣性系中三維速率vp關(guān)系為

(15)

2 結(jié)語

本文在四維閔氏時(shí)空中，討論了洛倫茲變換矩陣對角化的意義. 洛倫茲變換矩陣的對角化是將一般慣性參考系變換到光錐坐標(biāo)系的過程. 如果采用復(fù)四維歐氏空間，洛倫茲變換矩陣是包含虛數(shù)矩陣元的厄米矩陣，經(jīng)過幺正變換后的結(jié)果依然得到式(10). 類比量子力學(xué)，光錐坐標(biāo)系則相當(dāng)于洛倫茲變換矩陣的自身表象.

本文內(nèi)容可以作為狹義相對論課程的擴(kuò)展知識引入課堂，幫助學(xué)生加深對洛倫茲變換及相對論時(shí)空特性的理解.文中推導(dǎo)作為應(yīng)用閔氏時(shí)空圖定量分析[2]的一個(gè)簡單例子，能使得學(xué)生更好地認(rèn)識時(shí)空圖法.