非均質(zhì)和各向異性裂縫邊坡穩(wěn)定性分析

梁承龍 劉 芳

（廣西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，南寧 530023）

0 引 言

土坡穩(wěn)定性長(zhǎng)期以來是巖土工程一個(gè)熱門問題，許多學(xué)者對(duì)此做了大量研究[1-3]。極限分析以其便捷的運(yùn)算被廣泛應(yīng)用于土坡穩(wěn)定性。極限分析通過構(gòu)建運(yùn)動(dòng)許可的速度場(chǎng)直接求解極限狀態(tài)下的極限荷載，所求的極限荷載是不小于真實(shí)值的上限解。最早由 Drucker和 Prager[4]提出極限分析理論，隨后Chen[5]運(yùn)用極限分析理論詳細(xì)研究了巖土體邊坡的穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出二維土坡破壞面是一條對(duì)數(shù)螺旋線。

而裂縫邊坡普遍存在于實(shí)際工程之中，研究表明裂縫的存在會(huì)降低邊坡穩(wěn)定性。Utili[6]綜合研究了裂縫深度和位置對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。Michalowski[7]論述了孔隙水壓力及裂縫形成對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。Zhao等[8]分析了地震作用下邊坡穩(wěn)定性并得出地震效應(yīng)將大幅度降低邊坡穩(wěn)定性。羅強(qiáng)等[9]探討了坡頂超載對(duì)均質(zhì)土坡穩(wěn)定性的影響?；诜蔷€性Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，Li和Yang[10]分析了孔隙水作用下裂縫邊坡穩(wěn)定性；李得建等[11]研究了地震效應(yīng)下裂縫邊坡穩(wěn)定性。然而，實(shí)際中土體表現(xiàn)出某種程度的各向異性以及非均質(zhì)性，上述研究都是針對(duì)均質(zhì)土坡，因此得出的結(jié)果較為保守同時(shí)也會(huì)造成經(jīng)濟(jì)損失。Chen[5]給出了非均質(zhì)和各向異性土坡的穩(wěn)定系數(shù)。欒茂田等[12]進(jìn)行了阻滑樁加固非均質(zhì)各向異性土坡穩(wěn)定性分析并得出最優(yōu)加固位置。夏元友和陳春舒[13]提出了水平條分極限分析方法研究非均質(zhì)性及各向異性錨固邊坡抗震穩(wěn)定性。王珍等[14]采用擬合多項(xiàng)式近似描述對(duì)數(shù)螺旋線對(duì)非均質(zhì)邊坡穩(wěn)定性上限分析評(píng)價(jià)研究。

上述所研究的非均質(zhì)各向異性土坡都不含有裂縫，因此本文基于極限分析上限定理，考慮土體非均質(zhì)性和各向異性，研究孔隙水壓力作用下裂縫邊坡穩(wěn)定性，通過優(yōu)化算法求解邊坡穩(wěn)定系數(shù)，并結(jié)合算例驗(yàn)證本文計(jì)算方法的有效性，探討了邊坡土體非均質(zhì)性和各向異性參數(shù)變化對(duì)其穩(wěn)定性以及裂縫深度和位置的影響規(guī)律。

1 土的非均質(zhì)性和各向異性

實(shí)際中土并非均質(zhì)和各向同性，而是表現(xiàn)出一些程度上的非均質(zhì)性和各向異性。目前大多學(xué)者采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則對(duì)土體的非均質(zhì)性和各向異性進(jìn)行分析，研究表明，內(nèi)摩擦角的各向異性的影響可以忽略不計(jì)[15-16]。因此本文假定內(nèi)摩擦角保持不變，僅考慮黏聚力c的非均質(zhì)性和各向異性，如圖1（a）和（b）所示。土體黏聚力的各向異性與主應(yīng)力方向夾角有關(guān)，可表示為：

圖1 土體非均質(zhì)性與各向異性Fig.1 Nonhomogeneity and anisotropy of soils

式中：ch和cv分別為水平和豎直方向上的黏聚力；i為大主應(yīng)力方向與豎直方向的夾角。

ch采用圖1（b）所示沿深度變化模式，n0、n1和n2分別坡頂、坡趾和坡底處的非均質(zhì)系數(shù)。當(dāng)n0=n1=n2時(shí)，土體表現(xiàn)為均質(zhì)性。定義各向異性系數(shù)k=ch/cv，則式（1）可改寫為

當(dāng)k=1.0，即cv=ch時(shí)，土體表現(xiàn)為各向同性。

2 土坡穩(wěn)定性上限解法

極限分析上限定理可描述為對(duì)任一滿足運(yùn)動(dòng)許可的破壞機(jī)構(gòu)，令外力做功等于內(nèi)能耗散率，便可求得不小于真實(shí)值的極限荷載上限解：

式中：Ti為邊界S上的面力；Fi為體積V中的體力；分別為運(yùn)動(dòng)許可速度場(chǎng)中的應(yīng)力場(chǎng)和塑性應(yīng)變速率為運(yùn)動(dòng)許可的速度場(chǎng)。

本文將土重功率Wγ和孔隙水壓力功率Wu視為外功率，土體沿破壞面產(chǎn)生的內(nèi)能耗散作為內(nèi)功率D，從而根據(jù)能量平衡方程求解土坡臨界高度上限解：

如圖2所示，建立運(yùn)動(dòng)許可的坡底破壞機(jī)構(gòu)。該破壞機(jī)構(gòu)通過坡趾下方；當(dāng)β'=β時(shí)，破壞機(jī)構(gòu)退化成坡趾破壞，即破壞面通過坡趾C。土坡坡高為H，坡度為β，坡頂AB=L。坡體BCDEF視為剛體并以角速度ω繞點(diǎn)O作旋轉(zhuǎn)破壞，破壞面為一條對(duì)數(shù)螺旋線r=r0exp[（θ-θ0）tanφ]，基準(zhǔn)線OA與OD長(zhǎng)度分別為r0和rh，對(duì)應(yīng)的角度分別為θ0和θh。坡頂處引入一條垂直張拉裂縫EF，裂縫深度為d，裂縫位置與坡肩B距離為x。E為裂縫與破壞面的交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)角度為θc。破壞面處的線速度與破壞面的夾角為土體內(nèi)摩擦角φ。m為破壞面與垂直于該點(diǎn)最大主應(yīng)力方向的平面之間的夾角。u為裂縫內(nèi)水壓力大小。

圖2 裂縫邊坡對(duì)數(shù)螺旋破壞機(jī)制Fig.2 Log-spiral failure mechanism of cracked slopes

由于坡體BCDEF視為剛體旋轉(zhuǎn)，因此破壞時(shí)土體不會(huì)發(fā)生體積變形。故BCDEF區(qū)土重功率Wγ可表示為

式中：γ為土體容重；f1-f4和p1-p3具體表示式見文獻(xiàn)[6]。

由于坡內(nèi)孔隙水壓力分布的復(fù)雜性，Bishop和Morgenstern[17]引提出孔隙水壓力分布采用孔隙水壓力ru從而考慮孔隙水壓力的影響，并被諸多學(xué)者采用[18-22]：

式中：u為孔隙水壓力；h為孔隙水作用高度。

Michalowski[7]以此將孔隙水壓力作為外荷載引入能量平衡方程中，因此式（3）可改寫為：

式中，ni為邊界S的外法線方向。

本文采用 Michalowski[7]的計(jì)算方法求解孔隙水壓力功率。假定土體處于穩(wěn)定滲流狀態(tài)，孔隙水壓力為靜水壓力，且裂縫中水位高度與ru呈線性關(guān)系。當(dāng)ru=0.5時(shí)，假設(shè)邊坡處于水位線以下。作用在破壞面上的孔隙水壓力功率Wu1可表示為

式中，h的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)[23]。

裂縫內(nèi)水壓力功率Wu2可表示為

式中：γw為水的容重，取γw/γ=0.5；θ（h）為裂縫中水位高度對(duì)應(yīng)的角度。

如圖1（a）所示，破壞面最大深度N/r0可由幾何關(guān)系給出：

其中：

因此，沿破壞面的內(nèi)能耗散率D為

由圖1（a）中幾何關(guān)系可得：

式中，δ=π/4+φ/2。

由圖1（a）和（b）破壞面每處的黏聚力ci：

將式（15）、式（16）帶入式（12）經(jīng)積分和化簡(jiǎn)后可得到：

式中，q1-q3的具體表達(dá)見文獻(xiàn)[5]。

根據(jù)式（4），令土重功率與孔隙水壓力功率之和等于內(nèi)能耗散率，可以得到非均質(zhì)各向異性土坡的臨界高度Hcr，并定義NS=γHcr/c為土坡的穩(wěn)定系數(shù)：

NS是關(guān)于四個(gè)變量θ0，θc，θh和β'的非線性隱式函數(shù)，直接求解往往十分困難，因此采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法求解NS的最優(yōu)解，表述如下：

3 對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述模型和計(jì)算方法的正確性，將本文中的土坡退化成均質(zhì)土坡與現(xiàn)有文獻(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，即非均勻性系數(shù)n0=n1=n2=1。并令θc=θ0，即不考慮裂縫的存在，結(jié)合強(qiáng)度折減法將本文求解得出的穩(wěn)定系數(shù)轉(zhuǎn)化成安全系數(shù)Fs并對(duì)比各向異性系數(shù)k=0.5和k=1.0兩種情況，相關(guān)參數(shù)與對(duì)比結(jié)果如表1所示。由表可知，對(duì)于各項(xiàng)異性均質(zhì)土坡，本文求解結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)解答非常接近，最大誤差不超過2%，從而充分驗(yàn)證了本文模型和計(jì)算方法的有效性。

表1 邊坡安全系數(shù)對(duì)比分析Table 1 Comparative analysis of safety factors of slopes

4 參數(shù)分析

4.1 非均質(zhì)性系數(shù)的影響

由圖3—圖6可知，考慮坡內(nèi)孔隙水的存在會(huì)降低邊坡穩(wěn)定性。圖3和圖4給出了土體非均質(zhì)性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。由圖3可知，無論是否考慮坡內(nèi)孔隙水壓力作用，邊坡穩(wěn)定性隨著n0的增大呈線性增大，且隨著邊坡坡角的減小和內(nèi)摩擦角的增大，穩(wěn)定系數(shù)增加的幅度增大。如圖3（a）所示β=45°土坡，n0從0.5到1變化時(shí)，φ=10°和φ=20°對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定系數(shù)γH/c分別增大了13.1%和17.4%。原因在于，坡頂處的黏聚力小于坡趾處的黏聚力，相比較于均質(zhì)土，黏聚力整體減小了，從滑動(dòng)土體沿破壞面消耗的內(nèi)能減小，因而導(dǎo)致邊坡穩(wěn)定性減小。圖4表示在不同孔隙水壓力系數(shù)下土體非均質(zhì)性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。從圖4可以看出，在不考慮孔隙水作用下n0對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響最大，并隨著孔隙水壓力系數(shù)的增大，n0的影響在減小。ru=0和ru=0.5穩(wěn)定系數(shù)分別提高了16.6%和10.3%。

圖3 土體非均質(zhì)性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.3 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability

圖4 不同孔隙水作用下土體非均質(zhì)性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.4 Effect of soil nonhomogeneity on slope stability under different pore water pressure

圖5 土體各向異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.5 Effect of soil anisotropy on slope stability

圖6 不同孔隙水作用下土體各向異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響Fig.6 Effect of soil anisotropy on slope stability under different pore water pressure

圖7 土體非均質(zhì)性和各向異性對(duì)裂縫深度的影響Fig.7 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack depth

4.2 各向異性系數(shù)的影響

圖5和圖6給出了土體各向異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。圖5表明隨著k的增大，邊坡穩(wěn)定性逐漸降低。原因在于，隨著k的增大，ci減小，從而邊坡破壞時(shí)沿破壞面消耗的內(nèi)能減小，導(dǎo)致邊坡穩(wěn)定性降低。圖6給出了不同孔隙水壓力系數(shù)下土體對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響，從圖中可知，對(duì)于不同的ru，邊坡穩(wěn)定性隨著k的增大而降低，且隨著ru的增大，土體的各向異性影響逐漸減小。

4.3 裂縫深度和位置

圖7和圖8分別給出了土體非均質(zhì)性和各向異性對(duì)裂縫深度和位置的影響。從圖7可以看出，裂縫深度隨著坡角的增大而增大，圖7（b）表明坡內(nèi)孔隙水的存在會(huì)使得裂縫深度增加，原因在于裂縫中存在水壓力在促使邊坡ABCD破壞的同時(shí)也為垂直邊坡AFE提供抗滑力，提高了該邊坡的穩(wěn)定性，即邊坡臨界高度Hcr增大，即裂縫深度。相比較于均質(zhì)各向同性土坡，僅考慮各向異性的土坡對(duì)應(yīng)的裂縫深度更大，而僅考慮非均質(zhì)的土坡對(duì)應(yīng)裂縫深度最小。從圖8可知，裂縫位置隨著坡角的增大先增大后減小至0。另外，無論是否考慮坡內(nèi)孔隙水壓力作用，圖8表明土體的非均質(zhì)性對(duì)裂縫位置的影響遠(yuǎn)大于土體各向異性對(duì)裂縫位置的影響。因此土體的各向異性對(duì)裂縫位置的影響可忽略不計(jì)。

圖8 土體非均質(zhì)性和各向異性對(duì)裂縫位置的影響Fig.8 Effect of nonhomogeneity and anisotropy of soil on crack location

5 結(jié) 論

本文基于極限分析上限定理，分析了孔隙水壓力作用下土體非均質(zhì)性和各向異性對(duì)裂縫邊坡穩(wěn)定性的影響，通過優(yōu)化程序求解得到邊坡穩(wěn)定系數(shù)上限解，探討了土體非均質(zhì)性和各向異性對(duì)邊坡穩(wěn)定性及裂縫深度和位置的影響，得到以下結(jié)論：

（1）邊坡穩(wěn)定性隨著非均質(zhì)系數(shù)的增大呈線性增大，隨著各向異性系數(shù)的減小而增大。這是由于土體的非均質(zhì)系數(shù)增大和各項(xiàng)異性系數(shù)的減小導(dǎo)致滑落土體沿破壞面的內(nèi)能耗散增大，從而提高邊坡的穩(wěn)定性。在實(shí)際工程中需考慮土體的非均質(zhì)和各向異性以減小經(jīng)濟(jì)損失。

（2）孔隙水壓力作用會(huì)導(dǎo)致裂縫深度增加。裂縫深度隨著非均質(zhì)系數(shù)和各向異性系數(shù)的減小而增大，但隨著非均質(zhì)系數(shù)和各向異性系數(shù)同時(shí)減小而減小。裂縫位置隨著非均質(zhì)系數(shù)的增大越靠近坡肩，土體的各向異性對(duì)裂縫位置的影響可以忽略不計(jì)。