基于彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型和物理隨機地震動模型的地震易損性分析

蘇嘉頔 彭勇波 寧超列，*

（1.同濟大學土木工程學院，上海 200092；2.同濟大學上海防災救災研究所，上海 200092）

0 引 言

近幾十年來，隨著我國城鎮(zhèn)化過程的快速發(fā)展，為滿足大量涌入城市居住的人們生產(chǎn)、生活需要，建筑行業(yè)得到極大程度的發(fā)展，大量建筑結(jié)構(gòu)涌現(xiàn)，城市擴張迅速[1]。與此同時，我國地處環(huán)太平洋地震帶和歐亞地震帶交匯處，是世界上地震災害最為頻發(fā)的地區(qū)之一。因此，在這些人口高密度聚集的城市區(qū)域，一旦發(fā)生破壞性的地震災害，將造成重大的經(jīng)濟損失和人員傷亡。鑒于此，圍繞現(xiàn)代城市區(qū)域建筑群開展地震易損性分析，對于減輕地震災害風險，提高城市抗震防災韌性具有十分重要的意義。

然而，由于我國各地城市普遍缺乏歷史震害調(diào)查資料，因此數(shù)值解析方法是開展區(qū)域建筑群地震易損性分析的主要手段之一。在數(shù)值解析方法中，建筑結(jié)構(gòu)簡化計算模型和地震動選波/生成方法是研究的關(guān)鍵。在建筑結(jié)構(gòu)簡化計算模型中，剪切層模型是目前結(jié)構(gòu)彈塑性時程動力響應分析的主流模型[2]。然而，剪切層模型不能反映群體建筑中多層和高層結(jié)構(gòu)的彎剪耦合動力響應特征[3]。在能夠反映彎剪耦合動力響應特征的結(jié)構(gòu)簡化計算模型中[4-7]，又存在模型參數(shù)眾多、參數(shù)標定困難甚至無法標定的難題，造成這些模型應用極其不便。而在地震動選波/生成方法中[8-9]，已有的研究大多采用確定性的方式，較難全面和準確地反映地震動隨機性的影響。

因此，本文圍繞區(qū)域建筑地震易損性分析，提出了一類模型參數(shù)較少、計算速度快，且能夠反映彎剪耦合動力響應特征的結(jié)構(gòu)簡化計算模型。同時，為了全面和準確反映地震動隨機性的影響，通過引入物理隨機地震動模型，結(jié)合概率密度演化理論，建立了一類適用于區(qū)域建筑地震易損性分析的新方法。

1 結(jié)構(gòu)簡化計算模型

根據(jù)已有的剪切型層模型[2-4]和連續(xù)型彎剪層模型[5-6]，同時考慮控制模型參數(shù)的數(shù)量，本文將建筑結(jié)構(gòu)簡化為一組彈塑性剪切層彈簧和一根彈性彎曲梁，建立了一類改進的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型，如圖1所示。其中，剪切層彈簧用于表征結(jié)構(gòu)的剪切變形，能夠進入彈塑性變形。彎曲彈性梁用于表征結(jié)構(gòu)的彎曲變形，僅能夠處于彈性變形。同時，模型假設結(jié)構(gòu)每一層的質(zhì)量均集中于樓面。與經(jīng)典的剪切性層模型一致，剪切層彈簧的各質(zhì)點通過非線性剪切彈簧連接，剪切層彈簧只傳遞剪力和橫向位移。彎曲彈性梁通過彈性桿連接，彈性桿可以傳遞剪力、彎矩、位移和轉(zhuǎn)角。剪切層彈簧和彎曲彈性梁之間通過剛性鏈桿連接。剛性鏈桿可以約束各層的橫向位移保持一致。

圖1 彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型Fig.1 Bending-shear coupled structural simplified computation model

因此，根據(jù)動力平衡條件，剪切層彈簧的運動控制微分方程可表示為

式中：Ms為剪切層彈簧的質(zhì)量矩陣；Cs為剪切層彈簧的阻尼矩陣；Fs為恢復力向量；Ps為剪切層彈簧承擔的地震荷載；U為結(jié)構(gòu)各層的水平位移時程；?為水平速度時程；?為水平加速度時程。

類似地，根據(jù)動力平衡條件，彎曲彈性梁的運動控制微分方程可表示為

式中：Mb為彎曲彈性梁的質(zhì)量矩陣；Cb為彎曲彈性梁的阻尼矩陣；Kb為彈性剛度矩陣；Pb為彎曲彈性梁承擔的地震荷載。

將式（1）和式（2）相加，可得：

因此：

其中，M代表結(jié)構(gòu)的整體質(zhì)量矩陣：

式中：mi和Ji（i=1，2，…，N）分別為結(jié)構(gòu)第i層的質(zhì)量和慣性矩；N為結(jié)構(gòu)層數(shù)；C為阻尼矩陣，可采用瑞利阻尼；Kb為彎曲彈性梁的整體剛度矩陣，可通過建立和疊加結(jié)構(gòu)各層的單元彎曲剛度矩陣獲得。

結(jié)構(gòu)各層的單元彎曲剛度矩陣為

式中：H為層高；EI為結(jié)構(gòu)每層的抗彎剛度。

另一方面，P為結(jié)構(gòu)的外荷載向量：

Fs為由剪切層彈簧提供的水平恢復力向量：

式中，fsi為剪切層彈簧的恢復力，由相應的滯回模型確定。

考慮復雜的滯回模型將使得簡化計算模型的參數(shù)眾多且難以標定。因此，采用Steelman和Hajjar提出的滯回模型描述[10]，如圖2所示。相比其他的滯回模型，該滯回模型僅包括三個參數(shù)：剪切剛度GA、剪切屈服轉(zhuǎn)角?和退化參數(shù)τ。因此，該滯回模型具有參數(shù)較少、標定簡單且計算方便的優(yōu)勢。其中，退化參數(shù)τ反映了建筑結(jié)構(gòu)耗能能力的退化，代表實際滯回環(huán)面積與理想滯回環(huán)面積的比。

圖2 滯回模型Fig.2 Hysteresis model

2 模型參數(shù)校準

綜上所述，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型共有7個參數(shù)，如表1所示，分別為：等效層質(zhì)量m、層高H、彎曲剛度EI、剪切剛度GA、轉(zhuǎn)動慣量J、滯回模型參數(shù)τ和剪切屈服轉(zhuǎn)角?。顯然，這7個模型參數(shù)的取值與建筑材料、結(jié)構(gòu)類型、建筑年代和抗震設防水平等因素相關(guān)。不同的模型參數(shù)取值，表征不同的建筑結(jié)構(gòu)，使得地震動力響應特征具有顯著差異。

表1 彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型參數(shù)Table 1 Bending-shear coupled structural simplified computation model parameters

2.1 參數(shù)敏感性分析

為使本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型具有良好的適用性，開展參數(shù)敏感性分析，進一步減少需要標定的模型參數(shù)數(shù)量。根據(jù)模型試算，首先設定7個模型參數(shù)的范圍，如表1所示。然后，采用修正的Morris篩選法對每個參數(shù)的敏感性進行判斷。修正的Morris篩選法對每個自變量以固定的步長依次變化[11]，計算相應的靈敏度判別因子S，表達式為

式中：Yi為模型第i次運行的計算結(jié)果；Yi+1為模型第i+1次運行的計算結(jié)果；Y0為模型取基準參數(shù)時的計算結(jié)果；Pi為第i次模型運算時的參數(shù)取值；Pi+1為第i+1次模型運算時的參數(shù)取值；P0為模型的基準參數(shù)取值；n為模型的運行次數(shù)。

以結(jié)構(gòu)的最大頂層位移和最大層間位移角為判別指標，獲得7個模型參數(shù)的靈敏度判別因子S，如圖3所示?？梢姡诮o定的模型參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)，剪切剛度GA最為敏感，其次為等效層質(zhì)量m和層間高度H。彎曲剛度EI、剪切屈服轉(zhuǎn)角?、轉(zhuǎn)動慣量J和滯回模型參數(shù)τ屬于低靈敏度參數(shù)。

圖3 模型參數(shù)敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of model parameters

2.2 參數(shù)校準步驟

因此，固定結(jié)構(gòu)的彎曲剛度EI=1.5×109N·m2，剪切屈服轉(zhuǎn)角?=0.2%，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量比J/m=1，滯回模型參數(shù)τ=0.3，建立其他參數(shù)的校準步驟，具體如下：

（1）等效層質(zhì)量m：根據(jù)樓面恒載和活載取值估算。

（2）層間高度H：由結(jié)構(gòu)基本屬性參數(shù)獲得或估算。

（3）剪切剛度GA：首先，根據(jù)建筑結(jié)構(gòu)類型和建筑高度H估算獲得結(jié)構(gòu)的一階自振周期。然后，假設彎曲剛度EI與剪切剛度GA的比值[12]，通過不斷調(diào)整剪切剛度GA，使得結(jié)構(gòu)簡化計算模型的一階自振周期與估算結(jié)果相等。

2.3 模型校準驗證

為了驗證模型和上述參數(shù)校準過程的準確性，本文開展了彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型與精細有限元模型分析結(jié)果的對比。以一棟六層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)為例，如圖4所示，各層的樓面恒載為3.5 kN/m2，活載為2.0 kN/m2，混凝土樓板的厚度為 120 mm，柱構(gòu)件為 C400×400，配筋率為1.2%，梁構(gòu)件為B200×400，頂部和底部的配筋率為0.6%。鋼筋采用HRB400，混凝土采用C35，采用OpenSEES程序建立精細有限元模型，具體過程見文獻[13]。

圖4 鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)Fig.4 Reinforced concrete frame structure

在基礎上，從美國太平洋地震工程中心的地震動數(shù)據(jù)庫中任意選擇三條地震動記錄作為輸入（EQ1、EQ2和EQ3）。圖5給出了不同地震動作用下本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型與精細有限元模型最大層間位移角沿層高分布的對比。可見，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型計算結(jié)果與精細有限元模型的計算結(jié)果基本相同。層間位移角沿層高的分布呈現(xiàn)先大后小的趨勢，表明本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型能夠準確反映結(jié)構(gòu)的彎剪耦合變形。同時，在計算過程中，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型平均用時僅需1.5 s，而精細有限元模型的計算用時為1 min。因此，本文建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型可以大幅度縮短計算時間，這對區(qū)域建筑的地震動力響應計算具有十分重要的意義。

圖5 最大層間位移角對比Fig.5 Comparison of maximum inter-story drift

3 地震易損性分析

增量動力分析方法（Incremental Dynamic Analysis，IDA）是一類基于彈塑性動力時程響應分析的地震易損性分析方法，其基本思想是輸入地震動強度逐級增大的同一地震動，對結(jié)構(gòu)進行多次彈塑性動力時程響應分析，獲得結(jié)構(gòu)在不同地震動強度作用下的最大地震動力響應，從而較為全面地評估建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能。IDA曲線反映了結(jié)構(gòu)從初始彈性階段到彈塑性階段，直至失穩(wěn)倒塌的結(jié)構(gòu)破壞全過程。然而，傳統(tǒng)的IDA方法一般針對設定場地，通過選取或人工模擬方式，獲得若干條地震動開展結(jié)構(gòu)的地震動力時程響應分析。這種方式不能全面、精細地反映地震動的隨機性特征。為了合理考慮地震作用的隨機性，李杰等近年來提出了基于物理的隨機地震動模型和概率密度演化理論，開展了建筑結(jié)構(gòu)的地震響應隨機分析與可靠度評價，揭示了地震動隨機性在復雜非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的傳播[14-15]。因此，本文采用物理隨機地震動模型，結(jié)合概率密度演化理論，開展上述彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型的地震易損性分析，并與常規(guī)研究方法進行對比。

3.1 分析流程

圖6給出了基于物理隨機地震動模型和概率密度演化理論開展地震易損性分析的流程[19-20]?？梢姡譃樗膫€步驟：

圖6 基于物理隨機地震動模型和概率密度演化理論開展地震易損性分析的流程Fig.6 Flowchart of seismic fragility analysis based on physical random earthquake ground motion model and probability density evolution method

（1）根據(jù)工程場地條件，采用物理隨機地震動模型模擬生成一系列地震動樣本，并確定其賦得概率。

（2）開展每條地震動樣本在給定地震動強度作用下的結(jié)構(gòu)動力時程響應分析，得到表征結(jié)構(gòu)地震損傷的最大層間位移角。

（3）采用概率密度演化理論，獲得最大層間位移角的概率密度分布。同時，結(jié)合設定的最大層間位移角閾值，獲得結(jié)構(gòu)在給定地震動強度作用下的超越概率。

（4）調(diào)整地震動樣本的地面峰值加速度（簡稱PGA），得到結(jié)構(gòu)在不同地震動強度作用下的超越概率，最終生成地震易損性曲線。

3.2 隨機地震動模型

為客觀反映地震動幅值和頻譜的隨機性，本文采用的物理隨機地震動模型包括三個基本隨機變量：基巖白噪聲強度S0、場地卓越頻率ω0和場地等效阻尼比ξ0。模型具體細節(jié)，見文獻[15]。不失一般性，假設建筑結(jié)構(gòu)所在的工程場地抗震設防烈度為8度，基本地震加速度峰值均值為0.3g，場地土為Ⅲ類，場地特征周期為0.45 s。因此，根據(jù)物理隨機地震動模型的參數(shù)校準結(jié)果，場地卓越頻率ω0的均值和標準差可取12rad/s和5.04rad/s；等效阻尼比ξ0的均值和標準差可取0.1和0.035。場地卓越頻率ω0和等效阻尼比ξ0均假定為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量。基巖白噪聲強度S0假定為高斯過程，其傅立葉譜幅值為0.20m/s2，對應的地面峰值加速度均值為0.11g。

針對上述三個基本隨機變量，采用切球選點方法模擬生成221條隨機地震動樣本[15]。其中任意2條地震動樣本的時程曲線，如圖7所示。可見，模擬生成的隨機地震動樣本具有較好的零均值特性和時域非平穩(wěn)性。

圖7 典型隨機地震動時程Fig.7 Time history of typical random ground motions

圖8給出了221條隨機地震動樣本的PGA的統(tǒng)計分布?？梢?，這221條隨機地震動樣本的PGA的均值為1.04 m/s2，標準差為0.34 m/s2，其直方圖近似服從對數(shù)正態(tài)分布假設。

圖8 隨機地震動PGA的統(tǒng)計分布Fig.8 Statistical distribution of peak ground acceleration of random ground motion

3.3 地震易損性曲線

由上可知，隨機地震動的PGA為一個隨機變量。因此，采用PGA均值表征地震動強度大小，表示為E[PGA]。根據(jù)圖6所示流程，對每條地震動樣本按PGA的均值同等調(diào)幅，由0.01g按照0.01g的間隔依次調(diào)幅至1.0g，獲得不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)的最大層間位移角，即：對于每一個E[PGA]都有221個最大層間位移角。然后，采用等價極值事件準則，基于概率密度演化理論，引入虛擬隨機過程[14]，獲得給定E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布。

圖9給出了不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布?？梢姡陔S機地震動模型和概率密度演化理論可獲得不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角精確的概率密度分布。與傳統(tǒng)的對數(shù)正態(tài)分布假設對比，該精確分布在尾部區(qū)域具有一定的波動性。這種波動性在地震動強度E[PGA]較小時尤為明顯。隨著E[PGA]的增大，分布的波動性逐漸減小。

圖9 最大層間位移角的概率密度曲線Fig.9 Probability density curve of maximum inter-storey drift ratio

在此基礎上，將建筑結(jié)構(gòu)的損傷狀態(tài)劃分為四個等級，分別為輕微破壞狀態(tài)、中等破壞狀態(tài)、嚴重破壞狀態(tài)和毀壞狀態(tài)[16]。其中，輕微破壞狀態(tài)的最大層間位移角閾值取1/550；中等破壞狀態(tài)、嚴重破壞狀態(tài)和毀壞狀態(tài)的最大層間位移角閾值分別取輕微破壞狀態(tài)閾值的2倍、4倍和10倍。圖10給出了不同E[PGA]作用下結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線?？梢?，當E[PGA]為0.1g時，該結(jié)構(gòu)有50%左右的概率發(fā)生輕微或中等以上的破壞，基本不會發(fā)生嚴重破壞；當E[PGA]為0.2g時，輕微破壞難以避免，同時有70%的可能性發(fā)生中等破壞，40%左右的概率發(fā)生嚴重破壞；當E[PGA]達到0.3g時，結(jié)構(gòu)有50%以上的概率發(fā)生嚴重破壞；當E[PGA]達到0.6g時，嚴重破壞難以避免。

圖10 地震易損性曲線Fig.10 Seismic fragility curve

3.4 結(jié)果對比分析

為驗證本文建立方法計算結(jié)果的準確性，進一步開展與已有研究方法計算結(jié)果的對比。因本文采用的結(jié)構(gòu)為一棟6層鋼筋混凝土框架，因此搜集已有文獻中6層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線，如圖11所示。其中，盧飛[17]采用PKPM軟件對一棟6層三跨鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進行精細有限元建模，并基于對數(shù)正態(tài)分布假定，計算獲得了以PGA為地震動強度指標的地震易損性曲線。楊碩[18]采用MSC.MARC軟件對一棟6層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)進行了地震易損性研究，獲得了以PGA為地震動強度指標的地震易損性曲線。采用F偏差對比不同破壞狀態(tài)下三條曲線的差異性，可得：輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞和毀壞狀態(tài)下本文獲得的地震易損性曲線與盧飛、楊碩等人獲得的地震易損性曲線相差較小，F(xiàn)偏差分別為1.455 3與1.520 8、1.415 2與1.329 4、1.203 4與1.131 5、0.909 5與2.542 0。

圖11 地震易損性曲線對比Fig.11 Comparison of seismic fragility curves

4 結(jié) 論

圍繞區(qū)域建筑地震易損性分析需求，提出了一個模型參數(shù)較少、計算速度快、能夠反映彎剪耦合效應的結(jié)構(gòu)簡化計算模型。同時，考慮地震動隨機性的影響，基于物理隨機地震動模型和概率密度演化理論，建立了一種適用于群體建筑地震易損性分析的新方法。主要研究結(jié)論如下：

（1）建立的彎剪型結(jié)構(gòu)簡化計算模型僅需標定三個模型參數(shù)：剪切剛度GA、等效層質(zhì)量m和層間高度H，即能較好反映建筑結(jié)構(gòu)在地震作用下的彎剪耦合動力響應特征，計算結(jié)果與精細有限元模型計算結(jié)果吻合良好。相比精細有限元模型，本文模型的計算效率提高了近40倍，這對大規(guī)模群體建筑地震易損性分析具有十分重要的意義。

（2）基于物理隨機地震動模型和概率密度演化理論開展建筑結(jié)構(gòu)地震易損性分析，能夠更加精細和全面地反映地震動隨機性對建筑結(jié)構(gòu)地震損傷特征的影響。其中，不同地震動強度作用下結(jié)構(gòu)最大層間位移角的概率密度分布與傳統(tǒng)的對數(shù)正態(tài)分布假設存在一定的偏差。隨著地震動強度增大，這種偏差逐漸減小。

需要指出的是，本文采用的是IDA方法開展建筑結(jié)構(gòu)的地震易損性分析。這一方法需要增量調(diào)幅隨機地震動樣本強度，因此計算量仍較大。為了降低計算量，同時保證每個樣本點均屬于隨機動力計算，可進一步采用云圖法，結(jié)合物理隨機地震動模型生成建筑結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線。