MATLAB 在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

周瀛

（長(zhǎng)春建筑學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130604）

1 MATLAB 的功能和特點(diǎn)

MATLAB 是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語(yǔ)言和交互式環(huán)境，具有如下特點(diǎn)：

a.計(jì)算功能強(qiáng)大。

b.圖形展示功能強(qiáng)大。MATLAB 強(qiáng)大的繪圖功能使得數(shù)據(jù)的可視化變得非常簡(jiǎn)單。

c.工具箱功能強(qiáng)大。MATLAB 包含大量已編寫程序，用戶可直接進(jìn)行計(jì)算、圖示建模仿真及其他相關(guān)研究。

d.幫助功能完整。

2 數(shù)學(xué)建模的一般步驟

數(shù)學(xué)建模的過程大概可以分為以下幾個(gè)步驟：

a.根據(jù)實(shí)際問題，明確建模目的，收集必要數(shù)據(jù)資料。

b.分析數(shù)據(jù)資料，提出若干符合實(shí)際背景的假設(shè)。

c.抽象并簡(jiǎn)化變量及參數(shù)間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。

d.根據(jù)模型特點(diǎn)選取適當(dāng)方法進(jìn)行模型求解。

e.模型分析與檢驗(yàn)，即用實(shí)際問題的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型是否可靠。

3 建模實(shí)例：道路交通流問題

為解決城市道路交通擁堵問題，提高預(yù)測(cè)道路交通流狀態(tài)的準(zhǔn)確性，交警部門提供了局部區(qū)域7 日內(nèi)道路的互聯(lián)網(wǎng)導(dǎo)航平臺(tái)數(shù)據(jù)、浮動(dòng)車數(shù)據(jù)以及交通卡口監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行以下問題的研究：

a.構(gòu)建模型描述道路交通流實(shí)際狀態(tài)，并比較分析說明模型特點(diǎn)。

b.構(gòu)建指標(biāo)用以直觀描述路段的暢通程度，基于采集數(shù)據(jù)計(jì)算所有路段的暢通程度。

c.構(gòu)建模型進(jìn)行道路擁堵預(yù)測(cè)，在道路發(fā)生擁堵后的任何時(shí)間點(diǎn)，基于已獲取的歷史監(jiān)測(cè)擁數(shù)據(jù)，可以進(jìn)行道路堵變化的預(yù)測(cè)。

3.1 問題假設(shè)

3.1.1 每條道路都沒有車輛出現(xiàn)故障或發(fā)生交通事故。

3.1.2 卡口數(shù)據(jù)、浮動(dòng)車數(shù)據(jù)等實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)在采集過程中不受極端天氣影響。

3.1.3 車輛在單位小時(shí)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為勻速運(yùn)動(dòng)。

3.1.4 各變量因素之間不存在間接影響。

3.2 模型的建立與求解

3.2.1 問題一

3.2.1.1 數(shù)據(jù)處理

第一，整理不同時(shí)間段各個(gè)路段的交通流量數(shù)據(jù)，并對(duì)缺失數(shù)據(jù)作出缺失處理；第二，將時(shí)間段進(jìn)行劃分，以1 小時(shí)為單位作為觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)，將七天時(shí)間劃分成168 個(gè)時(shí)間段；第三，結(jié)合卡口數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)各個(gè)道路單位時(shí)間內(nèi)駛向不同方向的車輛數(shù)。

3.2.1.2 模型建立

交通流必須具備兩個(gè)條件：一是在道路上，二是在運(yùn)行中。本文認(rèn)為在足夠短的時(shí)間內(nèi)交通流保持連續(xù)性不變。定義交通流量Q 的計(jì)算方法：

其中，T 為觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)(小時(shí))；N 為T 小時(shí)內(nèi)通過的車輛數(shù)。

3.2.1.3 模型求解

城市道路基礎(chǔ)設(shè)施狀況是影響交通流量的因子，很大程度上決定了交通流量具有非線性和不確定性[4]，但人們出行行為具有總體規(guī)律性，一定程度上又決定了交通流量具有時(shí)空相似性。經(jīng)過求解公式(1)，得到各條路段在不同時(shí)間段內(nèi)的交通流量，利用MATLAB 繪制出每個(gè)路段七天的交通流量圖如圖1 所示（以路段一為例，其余各路段類似）：

圖1 路段一交通流實(shí)際狀態(tài)

通過分析發(fā)現(xiàn)，交通流量具有時(shí)間相似性，即同一地理位置或同一區(qū)域的人們出行時(shí)間具有規(guī)律性，例如各路段在通勤日或雙休日具有相似的交通流特點(diǎn)，在同一天內(nèi)達(dá)到流量高峰的時(shí)間段基本相同。

3.2.2 問題二

3.2.2.1 數(shù)據(jù)處理

基于問題一歸納整理出任一位置的實(shí)際交通流量，利用MATLAB 軟件中的“max”函數(shù)統(tǒng)計(jì)出每條道路的最大交通流量。依據(jù)道路所占權(quán)重進(jìn)行回歸擬合，統(tǒng)計(jì)出通勤日與周末的車流量，進(jìn)而衡量道路暢通程度。

3.2.2.2 模型建立

同一條件的道路同一時(shí)刻不同位置截面所通過的車輛數(shù)目不同，則這條道路任一位置的暢通程度[5]不同。路網(wǎng)中有n 條路段，i 時(shí)刻道路j 的暢通概率定義為道路在某一時(shí)刻交通狀態(tài)等級(jí)處于可接受狀態(tài)的路段暢通程度，計(jì)算方法如下：

其中，Q(i,j)為實(shí)際交通流量；為道路j的最大交通流量且=maxQ(i,j)；-Q(i,j)表示道路剩余交通流量。

為了使評(píng)價(jià)結(jié)果具有一致性，基于問題一所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，利用卡口數(shù)據(jù)進(jìn)行平均交通流量(i,j)的回歸擬合分析，如下：

其中，α (i,j)表示道路j第i 時(shí)刻交通流量所占權(quán)重值。通過隸屬函數(shù) μ建立起與暢通概率P(i,j)之間一對(duì)一的關(guān)系，公式如下：

用隸屬函數(shù) μ作為評(píng)價(jià)道路路段暢通程度的指標(biāo)，將隸屬度區(qū)間[0,1]劃分為四個(gè)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)一類評(píng)估詞，劃分結(jié)果見表1：

表1 擁堵程度表

3.2.2.3 模型求解

利用MATLAB 擬合出隸屬度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像，如圖2（以路段一為例，其余各路段類似）：

對(duì)比表1，由圖2 可以發(fā)現(xiàn)，該路段在通勤日的暢通程度如下：00:00～06:30 期間車輛來往較少，路段處于暢通狀態(tài)；06:30～07:00 期間開始進(jìn)入早高峰，路段變得非常擁堵；07:00～11:00 期間路段持續(xù)非常擁堵；11:00～13:00 期間車輛稍有減少，路段進(jìn)入擁堵狀態(tài)；13:00～21:00期間路段再次進(jìn)入非常擁堵狀態(tài)，21:00 以后路段逐漸由非常擁堵狀態(tài)進(jìn)入基本暢通狀態(tài)。

圖2 路段一暢通程度

3.2.3 問題三

3.2.3.1 數(shù)據(jù)處理

對(duì)道路網(wǎng)數(shù)據(jù)以及浮動(dòng)車軌跡數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選與關(guān)聯(lián)，剔除部分異常數(shù)據(jù)，將車速小于或等于某一特定值時(shí)作為判斷為堵車時(shí)的速度，將速度為0 的數(shù)據(jù)全部篩選出來。在道路發(fā)生擁堵后的任一時(shí)間點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)出同一時(shí)刻不同道路的當(dāng)前車流量，進(jìn)一步與最大交通流作比較，分析擁堵程度并預(yù)測(cè)擁堵變化。

3.2.3.2 模型建立

聚類分析可根據(jù)對(duì)象之間的相似程度將對(duì)象劃分為幾個(gè)類別，是一種非常重要和有效的無(wú)監(jiān)督分類方法[6]。本文采用模糊聚類分析理論中的FCM 算法進(jìn)行道路擁堵預(yù)測(cè)。考慮樣本集X= {x1,x2,…,xn}，其中xi={xi1,xi2, …,xik}，將X 分為k個(gè)模糊子集，聚類結(jié)果由聚類中心矩陣C= {c1,c2, …,ck}及隸屬度矩陣μ共同表示：

FCM 算法的數(shù)學(xué)描述為：

(1) 設(shè)定聚類數(shù)k、指數(shù)權(quán)重m 及停止閾值 ε；初始化聚類中心C(0)；設(shè)置計(jì)數(shù)器b=0。

(2) 計(jì)算模糊隸屬度矩陣 μ(b)：

(3) 計(jì)算新的模糊聚類中心C(b+1)：

本文選擇模糊綜合評(píng)判方法實(shí)現(xiàn)對(duì)路網(wǎng)交通狀態(tài)的實(shí)時(shí)評(píng)價(jià)，步驟如下：

并認(rèn)為兩者的關(guān)聯(lián)度越高，指標(biāo)x 屬于類別j 的隸屬度越高。

步驟2：計(jì)算模糊隸屬度矩陣

步驟3：為路網(wǎng)暢通率和路網(wǎng)負(fù)荷裕度賦予權(quán)重W=(w1,w2)，對(duì)于不同的指標(biāo)，如果交通管理者對(duì)其關(guān)注程度高，則賦予其較高的權(quán)值；否則，賦予較低的權(quán)值。

步驟4：計(jì)算綜合評(píng)價(jià)矩陣B=W?U，其中

步驟5：確定最終輸出結(jié)果b*=max (b1,b2, …,b14)。

3.2.3.3 模型求解

采用K 均值聚類分析法，利用MATLAB[5]軟件實(shí)現(xiàn)，經(jīng)過對(duì)坐標(biāo)和時(shí)間的兩次聚類后，得到聚類結(jié)果。為了刻畫不同路口在各個(gè)時(shí)間段的擁堵程度，用表示路口，時(shí)間段為t= {t0,t1, …,t23}，將同一時(shí)間段內(nèi)的不同路口的交通流量最大值記為qmax(t,l)，最小值記為qmin(t,l)，不同路口在各個(gè)時(shí)間段的擁堵程度，記作ω(t,l)，關(guān)系式如下：

其中，q(t,l)為第l 個(gè)路口的第t 個(gè)時(shí)間段內(nèi)的交通流量以其中一個(gè)路口L1為例，給出t1～t12交通擁堵程度表(其余類似)如表2。

表2 路口L1 交通擁堵程度

3.2.4 模型的分析檢驗(yàn)

第一，模型的穩(wěn)定性好。利用MATLAB 軟件對(duì)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行畫圖分析，輸出的圖像能準(zhǔn)確地看出實(shí)際交通流的變化特征，易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性；第二模型的層次性好，試用范圍廣，易于推廣。利用MATLAB 軟件對(duì)大數(shù)據(jù)進(jìn)行K 均值聚類法，算法快速簡(jiǎn)單；第三，模型尚有不足之處，對(duì)缺失數(shù)據(jù)的處理方法有待改進(jìn)，改進(jìn)后可減小由于數(shù)據(jù)缺失造成的誤差。

4 結(jié)論

通過上述模型的求解過程不難發(fā)現(xiàn)，MATLAB 強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能、圖形展示功能及編程功能使其在解決數(shù)學(xué)建模問題時(shí)展現(xiàn)出其它軟件無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。將MATLAB 應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模的過程中必將能夠使數(shù)學(xué)模型更好地反映實(shí)際問題的本質(zhì)屬性。