一維可壓縮黏性輻射反應(yīng)氣體方程組強(qiáng)解的整體存在性

帥清清，韓小敏，王 滕*

(1.南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系，江西 南昌 330031；2.南昌航空大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330063)

1 引言與研究背景

一維空間上的可壓縮黏性輻射反應(yīng)氣體方程組在Lagrange坐標(biāo)下表示如下[1-2]

vt=ux

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

其中(x,t)∈×[0,+∞)，(x,t)分別表示Lagrange空間坐標(biāo)和時間變量；未知函數(shù)v(x,t)>0、u(x,t)、θ(x,t)>0、z(x,t)、e(x,t)>0和P分別表示氣體的比容、速度、溫度、反應(yīng)物濃度、內(nèi)能和壓力;常數(shù)d>0和λ>0分別為物質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)、反應(yīng)物和生成物的熱差系數(shù)；μ>0和κ>0分別表示黏性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù);反應(yīng)速率函數(shù)φ=φ(θ)滿足如下Arrhenius定律(見文獻(xiàn)[1-2])：

(1.5)

其中正常數(shù)K和A分別是反應(yīng)速率系數(shù)和活化能系數(shù)，b為非負(fù)常數(shù)。

將輻射當(dāng)作連續(xù)場，高溫輻射使液體處于熱平衡狀態(tài)，由Stefan-Boltzmann輻射定理知，壓力P和內(nèi)能e分別滿足如下狀態(tài)方程：

(1.6)

其中R、Cv和a分別是理想氣體常數(shù)、比熱和Stefan-Boltzmann常數(shù)。考慮黏性系數(shù)μ和熱傳導(dǎo)系數(shù)κ滿足如下關(guān)系式：

(1.7)

對方程組(1.1)-(1.7)，考慮如下初始條件：

(v(0,x),u(0,x),θ(0,x),z(0,x))=(v0(x),u0(x),θ0(x),z0(x)),x∈

(1.8)

和無窮遠(yuǎn)處的漸近性態(tài)：

(1.9)

κ(v,θ)=κ1+κ2vθb

其中κ1，κ2和b為正常數(shù)。對于具有一般形式(1.7)的黏性系數(shù)μ和熱傳導(dǎo)系數(shù)κ,可壓縮黏性輻射反應(yīng)方程組光滑解的整體適定性問題有待進(jìn)一步討論。

對于熱傳導(dǎo)系數(shù)為溫度的冪函數(shù)的情形，本文建立了一維全空間上可壓縮黏性輻射反應(yīng)氣體方程組柯西問題大初值強(qiáng)解的整體存在性，主要結(jié)果如下：

a)定理1.1 假設(shè)α=0，β≥0，0≤b≤min{15,8+β}，如果初值(v0(x),u0(x),θ0(x),z0(x))滿足

(v0-1,u0,θ0-1)∈H1(),z0∈H1()∩L1(),

則問題(1.1)-(1.9)存在唯一的整體強(qiáng)解(v,u,θ,z)，且對任意T>0有

(1.10)

注：定理1.1推廣并改進(jìn)了現(xiàn)有的若干結(jié)果：一方面，將文獻(xiàn)[13]關(guān)于Navier-Stokes方程的結(jié)果推廣到了含有反應(yīng)方程的情形，并得到了類似的結(jié)論；另一方面，將文獻(xiàn)[11]的結(jié)果推廣到了更一般的具有退化的熱傳導(dǎo)系數(shù)情形。

2 定理1.1的證明

首先給出問題(1.1)-(1.9)強(qiáng)解的局部存在性結(jié)果，其證明見文獻(xiàn)[14-16]。

引理2.1在定理1.1 的假設(shè)下，存在T*>0，使得問題(1.1)-(1.9)在×[0,T*]上有唯一的強(qiáng)解(v,u,θ,z)滿足(1.10)。

為了完成定理1.1的證明，下面將建立光滑解的整體估計，進(jìn)而可以將解的局部存在時間延續(xù)到任意時刻，從而得到整體解的存在性。

首先，給出如下基本能量估計。

引理2.2在定理1.1的假設(shè)下，對任意0≤t≤T有

(2.1)

(2.2)

(2.3)

證明對(1.4)關(guān)于(x,t)在[0,t]×上積分可得，

聯(lián)立(1.9)可得(2.1)成立。

在方程(1.4)兩邊同乘z，再關(guān)于(x,t)在[0,t]×上積分，聯(lián)立(1.9)即可得(2.2)成立。

利用(1.1),(1.2)和(1.5)，可將(1.3)改寫為如下形式

(2.4)

在方程(1.1)和(1.2)兩邊分別乘以(1-v-1)和u，在(2.4)兩邊同乘(1-θ-1)，將它們所得的結(jié)果相加可得

對上式關(guān)于(x,t)在[0,t]×上積分，再聯(lián)立(1.9)可知(2.3)成立，引理2.2證畢。

類似于文獻(xiàn)[17]的方法，可得如下z(x,t)的上下界估計：

引理2.3在定理1.1的假設(shè)下，對所有(x,t)∈×[0,T]有

0≤z(x,t)≤1

(2.5)

注意到文獻(xiàn)[13]中關(guān)于v的上下界估計并不涉及到方程(1.3)和(1.4)，從而可以根據(jù)文獻(xiàn)[13]的結(jié)果直接給出如下估計。

引理2.4在定理1.1的假設(shè)下，對所有(x,t)∈×[0,T]有

C-1≤v(x,t)≤C

(2.6)

下面，我們將證明溫度θ的下界。

引理2.5存在一個正常數(shù)C使得對于所有的(x,t)∈×[0,T]有

θ(x,t)≥C-1

(2.7)

證明記

(θ>2)(t)={x∈從(2.3)可得

從而對任意t∈[0,T]有

(2.8)

對任意的p≥0，在(2.4)兩邊同乘θ-5wp(其中w?(θ-1-2)+)，然后關(guān)于x在上積分，聯(lián)合(2.6)和(2.8)可得

(2.9)

對上式運用Gronwall不等式可知

(2.10)

從而

(2.11)

注意到上式中的正常數(shù)C和p無關(guān)，在(2.11)上取極限p→∞可得

由上式可得(2.7)，引理2.5證畢。

下面，我們給出ux的L2(×(0,T))范數(shù)估計。

引理2.6存在正常數(shù)C使得如下估計成立

(2.12)

證明在方程(1.2)兩邊同乘u，然后關(guān)于x在上積分可得

(2.13)

這里用到了(2.3)、(2.6)和如下估計

(2.14)

為處理(2.13)右邊的兩項，直接計算可得

(2.15)

聯(lián)立(2.14)、(2.3)、(2.6)和(2.7)有

(2.16)

該式結(jié)合(2.6)、(2.3)和(2.14)可得

(2.17)

對(2.13)關(guān)于時間積分，結(jié)合 (2.16)和(2.17)即得(2.12)，引理2.6證畢。

下面，我們給出ux和vx的L∞(0,T;L2)估計。

引理2.7存在正常數(shù)C使得

(2.18)

證明注意到

由此可將(1.2)重寫為

(2.19)

(2.20)

由(2.3)、(2.6)和(2.7)可得

(2.21)

對(2.20)關(guān)于(x,t)在×[0,T]上積分，并利用(2.6)、(2.12)、(2.7)和(2.21)可得

(2.22)

注意到

該式聯(lián)立(2.22)和(2.6)可得

(2.23)

分部積分結(jié)合(1.1)可得

(2.24)

(2.25)

其中上式最后一個不等式用到了以下估計：

(2.26)

對(2.25)兩邊在[0,T]上積分，并利用(2.6)和(2.12)可得

(2.27)

利用(2.21)和(2.7)可有以下估計：

(2.28)

上式聯(lián)立(2.23)和(2.27)可得

(2.29)

由0≤b≤β+8和如下估計

(2.30)

我們有

(2.31)

由(2.26)可得(2.31)右端第一項的如下估計

(2.32)

上式最后一個不等式用到了如下估計

(2.33)

將(2.32)代入(2.31)中，取η充分小，結(jié)合(2.6)、(2.7)和(2.12)可得

(2.34)

將(2.34)兩邊同乘C2=C1+1，將其結(jié)果和(2.28)相加，并選擇適當(dāng)小的ε可知

(2.35)

上式結(jié)合(2.12)、(2.16)以及Gronwall不等式可得

該式聯(lián)合(2.6)可得(2.18)成立，引理2.7證畢。

下面，我們給出zx的L∞(0,T;L2)估計和zxx的L2(0,T;L2)估計。

引理2.8存在正常數(shù)C使得

(2.36)

證明將(1.4)重寫為

(2.37)

在上式兩邊同乘zxx并在上積分可得

(2.38)

由(2.18)可得

(2.39)

另外，利用(2.18)可知對任意0≤b≤15有

從而有

(2.40)

對(2.38)兩邊關(guān)于t在[0,T]上積分，聯(lián)立(2.39)、(2.40)、(2.2)、(2.4)、(2.16)以及(2.7)，通過選擇適當(dāng)小的ε可得

(2.41)

由(2.2)、(2.37)、(2.40)和(2.41)可得

上式結(jié)合(2.41)即得(2.36)，引理2.8證畢。

最后，我們給出θ的高階導(dǎo)數(shù)估計，進(jìn)而可以得到θ的上界估計。

引理2.9存在正常數(shù)C使

(2.42)

證明由分部積分和(1.1)可知

在(2.4)兩邊同乘θβθt后在上積分，類似文獻(xiàn)[13]的估計方法，并利用上式可得

(2.43)

其中用到了(2.6)、(2.7)、(2.18)、(2.26)以及利用(2.8)、(2.7)和(2.31)所得到的如下估計：

和

(2.44)

利用(2.18)和(2.6)可得

(2.45)

因此，聯(lián)合(2.43)、(2.45)、(2.18)和(2.36)可知，對任意0≤b≤15有

(2.46)

該式結(jié)合(2.44)可知，對任意(x,t)∈×[0,T]有

θ≤C

(2.47)

由(2.7)和(2.46)可知

(2.48)

最后，由(1.3)可得

該式結(jié)合(2.6)、(2.7)、(2.47)、(2.48)、(2.26)、(2.40)、(2.16)和(2.18)可得

聯(lián)立(2.48)即得(2.42)，引理2.9證畢。