數(shù)學(xué)新高考的考向研究與命題實(shí)踐
——基于中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系

黃 健

(江蘇省蘇州市教育科學(xué)研究院 215004)

精準(zhǔn)把握教學(xué)方向、正確實(shí)施人才培養(yǎng)是每個(gè)教學(xué)工作者追求的目標(biāo)．基于《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》(下稱《體系》)的新高考體現(xiàn)了國(guó)家教育部對(duì)教育根本問(wèn)題的思考與探索，是創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略和科教興國(guó)人才強(qiáng)國(guó)戰(zhàn)略下的新要求．在深度研究新高考的基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合自身命題實(shí)踐，談?wù)剶?shù)學(xué)新高考的特點(diǎn)以及對(duì)有效引導(dǎo)思維提升和能力發(fā)展的思考．

1 對(duì)《體系》的思考與啟示

《體系》指出，高考的核心功能是立德樹(shù)人、服務(wù)選材和引導(dǎo)教學(xué)．首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀、價(jià)值觀，為國(guó)家培養(yǎng)具有積極思想、良好心態(tài)的后續(xù)人才，保證國(guó)家的持續(xù)性發(fā)展．其次，高考會(huì)聚焦核心素養(yǎng)，注重能力立意，加強(qiáng)開(kāi)放探究，突出對(duì)邏輯思維和關(guān)鍵能力的考查，增強(qiáng)選拔功能，區(qū)分度會(huì)更為明顯．再次，高考會(huì)通過(guò)展示文化與應(yīng)用的廣闊領(lǐng)域來(lái)引導(dǎo)教學(xué)回歸基礎(chǔ)、回歸規(guī)律、回歸本質(zhì)，彰顯數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值．

《體系》為我們梳理了正確的研究目標(biāo)方向、科學(xué)的方法路徑，提出了“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的命題理念．新高考數(shù)學(xué)命題的首要任務(wù)是要體現(xiàn)試題價(jià)值，遵循學(xué)以致用的原則，堅(jiān)決摒棄“構(gòu)造類”和“技巧型”問(wèn)題，避免試題與生活脫節(jié)，堅(jiān)持應(yīng)用導(dǎo)向，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)、能力和素養(yǎng)去解決問(wèn)題．新高考數(shù)學(xué)命題對(duì)創(chuàng)新思維的要求會(huì)更高，會(huì)引入更多的問(wèn)題情境，要求學(xué)生在現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上敏銳地發(fā)現(xiàn)新舊事物的關(guān)系，并利用推測(cè)、類比、聯(lián)想、論證等手段創(chuàng)造性地解決問(wèn)題，這是對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)考查的綜合體現(xiàn)．

2 基于《體系》的考向研究與命題實(shí)踐

2.1 強(qiáng)化概念辨析，深化數(shù)學(xué)理解

數(shù)學(xué)概念反映數(shù)學(xué)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和本質(zhì)特征，是構(gòu)成判斷、推理、論證、拓展等思維的基礎(chǔ)．正確理解數(shù)學(xué)概念，必須理解概念的內(nèi)涵與外延．多選題型的加入，使得新高考對(duì)概念的考查有了更為寬闊的手段，除了傳統(tǒng)的對(duì)基本概念的直接考查外，還增加了對(duì)概念的全方位辨析考查，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注意對(duì)概念的深度理解和類比遷移．

數(shù)學(xué)概念試題的呈現(xiàn)方向一是對(duì)相似概念的鑒別，突出糾錯(cuò)性，解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于理解不同場(chǎng)景概念，有時(shí)需要融入實(shí)際情境進(jìn)行甄別；二是平行概念的呈現(xiàn)，突出全面性，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是要全面理解概念，不能有遺漏；三是抽象概念的轉(zhuǎn)化，突出應(yīng)用性，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是要關(guān)注概念、公式、定理、法則的推導(dǎo)及拓廣．

例1(2022蘇州零模)下列命題正確的是( )．

A．若z1,z2為復(fù)數(shù)，則|z1z2|=|z1|·|z2|

B．若a,b為向量，則|a·b|=|a|·|b|

C．若z1,z2為復(fù)數(shù)，且|z1+z2|=|z1-z2|，則z1z2=0

D．若a,b為向量，且|a+b|=|a-b|，則a·b=0

命題意圖 本題主要考查向量與復(fù)數(shù)的概念辨析，學(xué)生通過(guò)對(duì)相似概念的鑒別，鞏固知識(shí)、深化理解．此外還可以聯(lián)想實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)、向量與實(shí)數(shù)的概念對(duì)比，培養(yǎng)類比探究的思維習(xí)慣．

例2(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升．某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號(hào)召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開(kāi)設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程．甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則( )．

A．A與B為對(duì)立事件 B．A與C互斥

C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立

命題意圖 本題主要考查事件的概念辨析，選擇分支比較抽象，需要合理轉(zhuǎn)化，和2021年全國(guó)I卷第8題理念一致．選項(xiàng)A,B，讓學(xué)生直觀想象求解，縮短解題時(shí)間；選項(xiàng)C,D，需通過(guò)獨(dú)立事件的計(jì)算公式驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生做好對(duì)概念的提煉和梳理．

2.2 基于實(shí)際情境，彰顯應(yīng)用價(jià)值

新高考數(shù)學(xué)卷強(qiáng)調(diào)基于實(shí)際情境的考查，“生活實(shí)踐情境”和“探索創(chuàng)新情境”[1]的引入給高考試題帶來(lái)了全新的面貌．學(xué)生通過(guò)閱讀、理解、猜測(cè)、探求、歸納等手段解決問(wèn)題，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期積累整理出一般的解題模型，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，提升閱讀理解能力，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

情境一般取材于社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題、改革開(kāi)放偉大成果及數(shù)學(xué)史的經(jīng)典案例，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義精神和民族自豪感，其呈現(xiàn)方向一是基于我國(guó)科技領(lǐng)域的新成果，鼓勵(lì)人才創(chuàng)新；二是基于經(jīng)典文化領(lǐng)域，注重學(xué)科交叉；三是基于生活實(shí)踐和民生領(lǐng)域，體現(xiàn)學(xué)以致用．

(1)求兩超市的月需求總量為1 000件的概率．

(2)已知企業(yè)對(duì)此罐頭的供貨價(jià)格為30元/件，生產(chǎn)此罐頭的成本為：800件內(nèi)(含800)為20元/件，超過(guò)800件但不超過(guò)1 000件的部分為15元/件，超過(guò)1 000件的部分為10元/件．企業(yè)擬將月生產(chǎn)量X(單位：件)定為800或1 000或1 200．若兩超市的月需求總量超過(guò)企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月生產(chǎn)量供貨，若兩超市的月需求總量不超過(guò)企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月需求總量供貨．為保障食品安全，若有多余罐頭企業(yè)每月自行銷毀，損失自負(fù)．請(qǐng)你確定X的值，使該企業(yè)的生產(chǎn)方案最佳，即企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望最大，并說(shuō)明理由．

命題意圖 本題以商品買賣問(wèn)題為情境考查隨機(jī)事件的概率與數(shù)學(xué)期望，并通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算來(lái)制定決策，學(xué)生在處理問(wèn)題中應(yīng)理清成本、利潤(rùn)等關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)手段的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣．

說(shuō)明本題也可融入對(duì)統(tǒng)計(jì)相關(guān)量的考查，并可將進(jìn)貨量X規(guī)定在某個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)連續(xù)變動(dòng)，與實(shí)際聯(lián)系更緊密，讓學(xué)生感受方法的統(tǒng)一和思維品質(zhì)的提升．變式如下：

某連鎖超市欲從一家食品企業(yè)購(gòu)進(jìn)一種海鮮罐頭，每件罐頭食品的基本批發(fā)價(jià)為20元．如果進(jìn)貨數(shù)量在1 000件到1 200件之間(不含1 000件，含 1 200件)，超出的部分每件打9折；如果進(jìn)貨數(shù)量大于1 200件(不含1 200件)，超出的部分每件打8折．該超市準(zhǔn)備以每件30元的零售價(jià)格在市場(chǎng)上銷售這種海鮮罐頭，為保障食品安全，到期未能售出的罐頭就地銷毀．為了解需求量情況，該超市通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，繪制了如圖1所示的頻率分布直方圖．

圖1

(1)請(qǐng)利用頻率分布直方圖的組中值估算該食品的平均市場(chǎng)需求量n；

(2)以各組需求量的頻率作為各組需求量發(fā)生的概率，假設(shè)實(shí)際銷售量為市場(chǎng)最大需求量．考慮到實(shí)際情況，超市決定將進(jìn)貨量X(單位：件)定在800件到1 400件之間，則X為多少時(shí)，利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望最大？

2.3 基于數(shù)據(jù)特征，考查分析想象

命題者憑借自身較強(qiáng)的觀察能力和創(chuàng)造能力，對(duì)原問(wèn)題的本質(zhì)特征進(jìn)行深入分析與研究，找出“已知”與“所求”之間的聯(lián)系紐帶，編制合適的替代條件，將問(wèn)題“改頭換面”．這里的數(shù)據(jù)特征，不僅是問(wèn)題對(duì)象的代數(shù)式特征，還包括幾何、背景等屬性特征．

基于數(shù)據(jù)特征的試題呈現(xiàn)方向一是基于代數(shù)特征，強(qiáng)調(diào)變形能力與換元能力，要求學(xué)生通過(guò)觀察代數(shù)式特征，嘗試變形或換元，探尋問(wèn)題本源；二是基于幾何特征，注重圖形溯源與運(yùn)算優(yōu)化，要求學(xué)生通過(guò)圖形感知挖掘幾何背景，優(yōu)化解題的途徑；三是基于高等背景，注重形式和問(wèn)題類比遷移，要求學(xué)生提升知識(shí)寬度和探究能力，努力尋找問(wèn)題關(guān)聯(lián)，從而加深認(rèn)識(shí)、突破難點(diǎn)．

命題意圖 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要通過(guò)觀察函數(shù)表達(dá)式特征發(fā)現(xiàn)其為偶函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究在(0,+∞)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的，要求學(xué)生有較強(qiáng)的洞察力和知識(shí)遷移的能力．

說(shuō)明將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)一步抽象化，有如下變式：

分析令t=x-1，則g(t)=f(t)+f(-t)為偶函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，下略．

例5(2022蘇州大學(xué)考前指導(dǎo)卷)已知x1,x2,x3(x1

命題意圖 本題考查多元最值問(wèn)題，應(yīng)在充分理解零點(diǎn)定義的基礎(chǔ)上尋找合適的轉(zhuǎn)化路徑，由函數(shù)表達(dá)式的特征發(fā)現(xiàn)其對(duì)稱性是解題關(guān)鍵．

命題意圖 本題考查點(diǎn)到直線的距離，滲透數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想．常規(guī)處理是平移已知直線與函數(shù)圖象相切，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求已知直線與切線的距離．事實(shí)上，此題源于高等的切線不等式背景：

2.4 嘗試開(kāi)放探究，有效區(qū)分差異

數(shù)學(xué)探究是一個(gè)活動(dòng)或者一個(gè)過(guò)程，它包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)探究猜測(cè)、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明．?dāng)?shù)學(xué)探究有助于學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、完善的過(guò)程，樹(shù)立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和不畏困難的精神，在質(zhì)疑和反思中提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．

開(kāi)放探究問(wèn)題的呈現(xiàn)方向一是重視對(duì)研究對(duì)象通性的考查，結(jié)論不單一，思維多樣化，要求學(xué)生全方位理解對(duì)象屬性；二是對(duì)動(dòng)態(tài)圖形中的結(jié)論探究，考查定理、思想的靈活運(yùn)用，要求學(xué)生能夠分析出動(dòng)態(tài)過(guò)程中對(duì)象變化的規(guī)律；三是調(diào)整邏輯關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)變邏輯方向，直接指向?qū)Ω拍畹纳疃瓤疾?，?qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性．[1]

例7(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐同時(shí)滿足條件：①側(cè)面展開(kāi)圖為半圓；②底面半徑為正整數(shù)．請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的圓錐的體積V=．

命題意圖 本題考查簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積和體積、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖．引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)公式的回憶及表達(dá)，全方位完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而提升關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)．

(1)證明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整數(shù)k,m的值，使得c=mb和 tanA=ktanC同時(shí)成立．

命題意圖 本題考查解三角形，第(2)題以探究性問(wèn)題形式呈現(xiàn)，體現(xiàn)數(shù)論方法與三角知識(shí)的融合，激發(fā)學(xué)生的探索欲，有效區(qū)分了學(xué)生間的差異．

2.5 注重知識(shí)交叉，彰顯能力立意

新高考全國(guó)卷正在努力打破數(shù)學(xué)知識(shí)間的壁壘，尋找試題的新的呈現(xiàn)方式．在考查方式上更加突出綜合性[1]，強(qiáng)調(diào)能力立意，要求學(xué)生能夠揭開(kāi)問(wèn)題表面的面紗，深入到問(wèn)題的本質(zhì)中去．

注重知識(shí)交叉的試題呈現(xiàn)方向一是知識(shí)載體的融合貫通，彰顯呈現(xiàn)方式的靈活性；二是研究目標(biāo)的適度變化，彰顯知識(shí)板塊的發(fā)展性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)；三是思想方法的多元考查，彰顯能力考查的多樣性．

C．對(duì)任意n∈N*均有an+bn≤cn

D．存在n∈N*使得an+bn>cn

命題意圖 本題以二項(xiàng)式為載體，考查不等式與數(shù)列問(wèn)題．試題呈現(xiàn)方式靈活，研究目標(biāo)多變．學(xué)生若對(duì)概念和基本思想有深刻理解，則不難解決該問(wèn)題．

例10(2022蘇州零模)已知函數(shù)f(x)=ln(ex-1)-lnx．

(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

命題意圖 本題聚焦函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式的有機(jī)融合，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，通過(guò)載體融通實(shí)現(xiàn)目標(biāo)變化，融合“聯(lián)想”“構(gòu)造”“迭代”“放縮”等多種思想方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)邏輯推理核心素養(yǎng)的考查．

說(shuō)明此題源于2020年教育部考試中心為山東省命制的新高考模擬卷，原題如下：

(1)求a；(2)討論g(x)=x(f(x))2的單調(diào)性；(3)設(shè)a1=1，an+1=f(an)，證明：2n-2|2lnan-ln 7|<1．

2.6 注重邏輯推理，發(fā)展理性思維

邏輯思維能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本能力，它是借助問(wèn)題條件，通過(guò)尋找依據(jù)、層層遞進(jìn)等思維形式進(jìn)行思考與活動(dòng)的能力．提升學(xué)生的思維品質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)科的根本任務(wù)．新高考全國(guó)卷題型最顯著的變化是增加了邏輯證明題的數(shù)量，力求全方位考查學(xué)生的思維習(xí)慣和思維品質(zhì)，要求學(xué)生能準(zhǔn)確而有條理地表達(dá)自己的思維過(guò)程，包括分析、推演、說(shuō)理、論證等環(huán)節(jié)．教師應(yīng)及時(shí)貫徹國(guó)家方針，努力幫助學(xué)生提升邏輯推理能力，強(qiáng)化理性思維，培養(yǎng)創(chuàng)新能力．

注重邏輯推理的試題呈現(xiàn)方向一是重視充要關(guān)系的辨析，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，以此來(lái)改變教學(xué)中忽視概念細(xì)節(jié)的情況；二是重視基于概念的探究，揭示命題背景，體驗(yàn)試題價(jià)值；三是重視高等背景的延伸，體現(xiàn)考點(diǎn)融合，體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性[1]原則．

例11(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，過(guò)線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA,OB,l于點(diǎn)P,Q,N．

(1)判斷線段PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍．

命題意圖 本題聚焦對(duì)直線與拋物線位置關(guān)系的考查，檢測(cè)學(xué)生的字母運(yùn)算能力．試題追求理性思維和數(shù)學(xué)探索，要求學(xué)生在經(jīng)歷邏輯推理的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)的重要性．

圖2

3 結(jié)語(yǔ)

新高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷注重基礎(chǔ)、體現(xiàn)方法、突出思想、考查能力，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和探究意識(shí)．在《體系》的引領(lǐng)下，教師應(yīng)努力轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，構(gòu)建有價(jià)值的教學(xué)模式，對(duì)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)及合作意識(shí)開(kāi)展高質(zhì)量培養(yǎng)．在新課教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的開(kāi)放探究意識(shí)，通過(guò)開(kāi)放性設(shè)問(wèn)、連續(xù)型套問(wèn)、拓展性追問(wèn)、糾錯(cuò)式反問(wèn)等方式幫助學(xué)生領(lǐng)悟問(wèn)題、發(fā)展思維．在解題教學(xué)中，教師應(yīng)關(guān)注課標(biāo)理念、重視四基落實(shí)、立足數(shù)學(xué)本質(zhì)、優(yōu)化示范引領(lǐng)，通過(guò)一題多解、多角度探源、變式拓展、總結(jié)提煉等方法引導(dǎo)學(xué)生探尋本質(zhì)、理解背景．作為教育主管部門，應(yīng)當(dāng)呼吁和鼓勵(lì)更多的教師參與命題研究，在實(shí)踐中體會(huì)《體系》的理念，從而更為精準(zhǔn)地了解學(xué)情，把握教學(xué)方向．