關(guān)于上海高考數(shù)學(xué)卷中圓錐曲線試題的研究
——以2017年至今上海高考數(shù)學(xué)卷中圓錐曲線試題的分析為例

孫建良 華東師范大學(xué)張江實(shí)驗(yàn)中學(xué)

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的曲線叫做二次曲線，或圓錐曲線，它的圖形可能是常態(tài)圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線），也可能是退縮圓錐曲線（兩條相交直線、兩條平行直線、一條直線、一點(diǎn)、沒(méi)有圖形）。本文主要研究常態(tài)的圓錐曲線。

筆者將通過(guò)對(duì)上海自2017 年高考新綜合改革以來(lái)，數(shù)學(xué)試卷（春季與秋季高考）中圓錐曲線試題的題量與題型、知識(shí)點(diǎn)分布和試題分值統(tǒng)計(jì)與分析研究，明確考查的內(nèi)容，了解試題的特點(diǎn)，提出高三圓錐曲線復(fù)習(xí)與練習(xí)教學(xué)的建議，試圖為“雙減”政策和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)背景下的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的學(xué)和教提供有益的幫助與啟示。

一、高考圓錐曲線試題的統(tǒng)計(jì)分析

（一）高考圓錐曲線試題題量與題型

1.從試題的題量來(lái)看

整套試卷考查二次曲線的題量，除2020 年春考、2020 年秋考、2021 年春考出現(xiàn)兩次，其余年份均出現(xiàn)三次，占整套試卷題量的七分之一。這與二次曲線的知識(shí)內(nèi)容在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的比例是相吻合的。

2.從試題的題型來(lái)看

試題以填空題形式進(jìn)行考查的占比最多，選擇題形式考查的占比最少，這與試卷中填空題和選擇題的多少有關(guān)。解答題在三類(lèi)題型中考查的次數(shù)處于中間，但解答題一般是綜合題，題目涉及多個(gè)知識(shí)的綜合應(yīng)用，運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜，難度較大，對(duì)應(yīng)的分值較高，所以，理應(yīng)要引起師生的重視。

3.從試題出現(xiàn)的曲線頻次來(lái)看

考查次數(shù)最多的是橢圓，最少的是圓，雙曲線與拋物線出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)。在填空題中，橢圓出現(xiàn)的次數(shù)最多。而在解答題中，橢圓、雙曲線與拋物線考查次數(shù)相同。比較特別的是，除2018 年外，同一年的春考與秋考，解答題很少出現(xiàn)同一種二次曲線的。或許，這對(duì)師生的復(fù)習(xí)會(huì)有所啟發(fā)。

（二）高考圓錐曲線試題知識(shí)點(diǎn)分布

1.從考查的知識(shí)點(diǎn)來(lái)看

對(duì)圓錐曲線定義和基本性質(zhì)的考查，依次為橢圓、雙曲線、拋物線、圓；試題的形式，以填空題與選擇題為主。有的題較易，如根據(jù)給出的雙曲線方程直接寫(xiě)出漸近線方程；而有的題較難，如，2018 年秋考第12 題是求圓上兩點(diǎn)到直線距離之和的最大值，難度不亞于一個(gè)綜合題。

2.從考查的綜合應(yīng)用情況來(lái)看

圓錐曲線一般與直線的結(jié)合最多，相關(guān)延伸的有直線與圓錐曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)、線段的長(zhǎng)度、兩條直線的夾角；圓錐曲線與三角形，圓錐曲線與平行四邊形等；2021年春考，涉及兩條雙曲線的綜合問(wèn)題，這是比較少見(jiàn)的現(xiàn)象。

（三）高考圓錐曲線試題分值

1.從試題的分值來(lái)看

每年涉及圓錐曲線的試題分值在26 分左右，約占總分的六分之一。2018 年春考，圓錐曲線試題分值最高，為32 分——主要是出現(xiàn)了兩道解答題。其中的一道題，是二次曲線在廣告燈設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，屬于應(yīng)用題類(lèi)型。2021 年春考，相關(guān)試題的分值最低，僅有19 分；不過(guò)，還考查了一題關(guān)于兩條直線的夾角，屬于解析幾何的范疇，所以，這一考查的安排，也算是合理的。

2.從考查的重點(diǎn)來(lái)看

除考查基本定義和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)題外，每年均有一道解答題，屬于綜合應(yīng)用問(wèn)題，難度系數(shù)高，學(xué)生要完整正確解答還是不容易的。這是廣大師生需要正確面對(duì)的事實(shí)。

二、高考圓錐曲線試題的來(lái)源探尋

高考作為國(guó)家的重要考試，應(yīng)該始終貫徹黨的教育方針。中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系，明確了高考“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能。因此，高考對(duì)命制試題的要求極高。縱觀命題者命題的依據(jù)，不外乎以下幾種：國(guó)家頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱或說(shuō)明、現(xiàn)行教材、歷年的教學(xué)參考資料和當(dāng)年學(xué)生的知識(shí)能力整體水平等。

教材既作為落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要載體，又作為教師教學(xué)與學(xué)生學(xué)習(xí)的最主要范本，自然有其重要的作用。除了教材，歷年的高考試題，都是經(jīng)過(guò)精心研制而得，所以也會(huì)成為高考命題的重要參考。下面，我來(lái)具體分析一下高考試題的幾個(gè)來(lái)源。

（一）對(duì)教材中的例題進(jìn)行改編

2018 年上海春考數(shù)學(xué)試題，第19 題是關(guān)于圓錐曲線應(yīng)用的問(wèn)題。試題如下：

利用“平行與圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個(gè)射燈（射出的光錐視為圓錐）在廣告牌上投影出其標(biāo)識(shí)，如圖1 所示，圖2 是投影出的拋物線的平面圖，圖3 是一個(gè)射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點(diǎn)O、A、B在拋物線上，OC是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米.

圖1

圖2

（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

（2）在圖3 中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB、DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大?。ň_到0.01°）.

圖3

本題與上海教材（高二第二學(xué)期第67 頁(yè)的例3）高度相似。教材原題如下：

如圖12-48，汽車(chē)前反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知，燈口直徑是24 厘米，燈深10厘米，求燈泡與反射鏡的頂點(diǎn)的距離.（圖略）

這兩道題，都是關(guān)于拋物線應(yīng)用的問(wèn)題，均提供了燈口大小與燈深。不同之處，僅是實(shí)際應(yīng)用的背景略有差異?？梢哉f(shuō)，2019年上海春考數(shù)學(xué)試題第19題，是教材例題的翻版。這種高考試題與教材例題高度類(lèi)同或相似的情況，值得我們好好研究。

（二）對(duì)教材中的習(xí)題進(jìn)行拓展

2017 年上海高考數(shù)學(xué)試題，第20 題是一個(gè)關(guān)于橢圓上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，試題如下：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓Г：+y2=1，A為Г的上頂點(diǎn)，P是Г上異于上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，M為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).

①P在第一象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③∣MA∣=∣MP∣，直線AQ與Г交于另一點(diǎn)C，且求直線AQ的方程.

這道試題，是總題干下3 個(gè)小問(wèn)題，難度則由簡(jiǎn)單到復(fù)雜逐步提升，是一個(gè)考查橢圓知識(shí)的綜合題，對(duì)學(xué)生的能力要求較高。面對(duì)這樣比較新穎的綜合問(wèn)題，學(xué)生初看會(huì)茫然無(wú)措。但是，如果我們對(duì)教材的內(nèi)容理解深刻，就不難發(fā)現(xiàn)，本題與上海教材（高二第二冊(cè)第51頁(yè)）的習(xí)題，有頗多相似之處。原習(xí)題如下：

已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F1、F2的橢圓=1上，若∠F1PF2=90°，求：|PF1|?|PF2|的值.

如果我們對(duì)本題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，在條件不變，只改變求解結(jié)論，則得到：

變形題1：已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F1、F2的橢圓1上，若∠F1PF2=90°，求：P點(diǎn)的坐標(biāo).（或求：△F1PF2的面積.）

像這樣變形，在題設(shè)條件相同時(shí)，可以得出不同的結(jié)論；有些結(jié)論幾乎類(lèi)同，只是從不同的角度去設(shè)問(wèn)，實(shí)際求解過(guò)程基本相同。

變形題2：已知點(diǎn)P在焦點(diǎn)為F1、F2的橢圓+=1 上，若以F1、P、F2為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求：P點(diǎn)的坐標(biāo).

在變形題2 中，題設(shè)條件略作改變，相應(yīng)改變得出的結(jié)論。要注意原題中∠F1PF2=90°是確定直角，而變形后有可能∠F1PF2=90°或∠PF2F1=90°或∠PF1F2=90°，與原題相比，多了兩種可能性。在解題時(shí)，要增加分類(lèi)討論；但解題過(guò)程和方法，則基本不變。

對(duì)比2017 年上海高考數(shù)學(xué)試題第20 題，其中第二小問(wèn)，就是以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，那就要討論∠APM=90°、∠AMP=90°和∠PAM=90°。這與變型題2 幾乎類(lèi)同。如果教師在平時(shí)的教學(xué)中，對(duì)課本中的例題或習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏屯卣?，那么，學(xué)生在碰到新問(wèn)題時(shí)，會(huì)利用化歸的思想，把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的老問(wèn)題予以解決。

（三）對(duì)練習(xí)冊(cè)中的習(xí)題進(jìn)行延伸

2018 年上海春考數(shù)學(xué)試題，第18 題考查的是直線與雙曲線相交問(wèn)題，試題如下：

已知a∈R，雙曲線Г：-y2=1

（1）若點(diǎn)（2，1）在Г上，求Г的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若a=1，直線y=kx+1 與Г相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求k的值.

本題與上海教材習(xí)題（高二第二學(xué)期第38 頁(yè)）極為相似。原習(xí)題如下：

已知直線l：y=ax+1 與雙曲線C：3x2-y2=1 相交于A、B兩點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）求當(dāng)a為何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

這兩道題目，均是關(guān)于直線與雙曲線相交的問(wèn)題。前者考查了相交所得線段的中點(diǎn)；后者則考查以相交所得線段為直徑的圓，實(shí)質(zhì)是圓心平分該圓的直徑，也是關(guān)于線段中點(diǎn)的問(wèn)題。只是從不同的角度去設(shè)問(wèn)，學(xué)生要懂得這種圍繞一個(gè)核心內(nèi)容從不同的方面來(lái)提出的問(wèn)題，以不變應(yīng)萬(wàn)變。

類(lèi)似的改變，還發(fā)生在2020 年春考數(shù)學(xué)試題中，其第20 題，是關(guān)于拋物線與直線相交問(wèn)題，屬于拋物線的典型性問(wèn)題。試題如下：

已知拋物線y2=x上的動(dòng)點(diǎn)M（x0，y0），過(guò)M分別作兩條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，交直線x=t于A、B兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，求M與焦點(diǎn)的距離；

（2）若t=1，P（1，1），Q（1，-1），求證：yA·yB為常數(shù)；

（3）是否存在t，使得yA·yB=1 且yP·yQ為常數(shù)？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這道試題，與上海數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)習(xí)題（高二第二學(xué)期練習(xí)冊(cè)第36頁(yè)）相似。原題如下：

過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)的一條直線，與拋物線相較于兩個(gè)不同的點(diǎn)，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y1、y2.求證：y1y2=-p2.

像這種根據(jù)教材的配套練習(xí)冊(cè)習(xí)題，經(jīng)過(guò)一定延伸改變而成的試題，也是經(jīng)常采用的命題方式。

（四）對(duì)歷年的高考試題進(jìn)行借鑒

2017年上海高考數(shù)學(xué)試題，第6題是考查雙曲線上點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離問(wèn)題。試題如下：

這道題，與2003 年上海高考數(shù)學(xué)試題第12 題極為相似，都是給定雙曲線上一點(diǎn)到其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，求這點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；由于|PF1|的長(zhǎng)度小于焦點(diǎn)F1到雙曲線較遠(yuǎn)端點(diǎn)的距離，所以，|PF2|的長(zhǎng)度只有一個(gè)值，這是本題的考核要點(diǎn)。2008 年上海春考數(shù)學(xué)試題第7 題，與2017 年上海高考數(shù)學(xué)試題第6 題，僅把數(shù)字進(jìn)行了適當(dāng)變換，實(shí)質(zhì)內(nèi)容完全一樣。2003 年上海秋考第12題如下：

F1、F2是雙曲線=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上.若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離.某學(xué)生的解答如下：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

該學(xué)生的解答是否正確？若正確，請(qǐng)將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結(jié)果填在下面空格內(nèi)__________.

2008 年上海春考第7 題：已知P是雙曲線1 右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0.設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).若|PF2|=3，則|PF1|=__________.

通過(guò)探尋，我們還看到，頗為相似的情況也多次出現(xiàn)。2018 年上海高考數(shù)學(xué)試題第13 題，考查的是橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，以填空題形式出現(xiàn)。試題如下：

設(shè)P是橢圓=1 上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（ ）.

上述試題，與2008 年上海高考數(shù)學(xué)（文科）試題第12 題，均是橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和，同樣以選擇題形式考核，不同之處僅為數(shù)字差異。2010 年上海春考數(shù)學(xué)試題第5 題，雖然以填空題形式出現(xiàn)，但考察的內(nèi)容幾乎不變。這種高考出題的方式，值得我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)借鑒和運(yùn)用。我們還可以看出，2008 年上海高考數(shù)學(xué)（文科）試題第12題與2010年上海春考數(shù)學(xué)試題第5 題，僅僅是試題形式的改變。這樣的改變是否合適？想來(lái)讀者自會(huì)判斷。以下分別是相關(guān)年份的試題：

A.4 B.5 C.8 D.10

三、高考圓錐曲線的復(fù)習(xí)建議

（一）重視基礎(chǔ)

圓錐曲線的復(fù)習(xí)，其一，要詳細(xì)復(fù)習(xí)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，把圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像特征和基本性質(zhì)熟記會(huì)用。其二，要學(xué)會(huì)對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，把分散的知識(shí)合成為一個(gè)整體，使之形成一個(gè)較完整的知識(shí)體系。如看到圖形，能想到對(duì)應(yīng)的方程與一些基本性質(zhì)；反之，知道方程，就會(huì)畫(huà)出圖形和研究其特性。其三，要掌握知識(shí)類(lèi)比，如復(fù)習(xí)雙曲線時(shí)，對(duì)比橢圓與拋物線相似的基本性質(zhì)和各自的特點(diǎn)，使基礎(chǔ)知識(shí)縱向連成線，橫向結(jié)成網(wǎng)，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（二）善于變換

“變”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活的靈魂，在復(fù)習(xí)時(shí)，不能僅停留在知識(shí)點(diǎn)的記憶程度，還要設(shè)計(jì)一定的練習(xí)題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的訓(xùn)練。

練習(xí)題的選擇和設(shè)計(jì)，一是在于精。對(duì)一些典型的圓錐曲線問(wèn)題，要分析透徹，訓(xùn)練到位。二是注意融入一題多解的實(shí)訓(xùn)。即對(duì)同一個(gè)問(wèn)題，能從不同的角度進(jìn)行分析，建立不同式子，尋找相異的路徑，得到相同的結(jié)果，達(dá)到殊途同歸的效果。三是注意加強(qiáng)一題多變的實(shí)訓(xùn)。即在相同條件下，把結(jié)論改成等價(jià)結(jié)果或相近的結(jié)果；在結(jié)論不變時(shí)，適當(dāng)改變問(wèn)題的條件，而解題的方法基本不變。四是注意進(jìn)行多題一解的實(shí)訓(xùn)。即要善于對(duì)解題方法歸類(lèi)總結(jié)，把問(wèn)題不同而解題方法相同或相近的歸成一類(lèi)，著重對(duì)通性通法的總結(jié)，達(dá)到解一道題破一類(lèi)題的效果。

（三）適當(dāng)綜合

綜合應(yīng)用，包括綜合與應(yīng)用兩個(gè)方面。

所謂“綜合”，其一，是知識(shí)的綜合。既有圓錐曲線各個(gè)知識(shí)相互關(guān)聯(lián)疊加，也有其他知識(shí)如向量、直線、三角形等與圓錐曲線結(jié)合。其二，是數(shù)學(xué)思想方法的綜合。如函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)思想和數(shù)形結(jié)合思想等相互融合。

所謂“應(yīng)用”，一是運(yùn)用簡(jiǎn)單的知識(shí)解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，二是運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。如2021 年春考數(shù)學(xué)試題第19 題，就是運(yùn)用二次曲線解決測(cè)量問(wèn)題。三是解題方法的綜合。如根據(jù)題目給出的條件，列出方程或方程組，直接求出結(jié)果。四是設(shè)置參變量，通過(guò)設(shè)而不解的方法得出結(jié)論。

可見(jiàn)，我們只要對(duì)近五六年的高考圓錐曲線試題的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、來(lái)源等進(jìn)行精準(zhǔn)分析，就可以高屋建瓴、把握趨勢(shì)，從而由精準(zhǔn)復(fù)習(xí)入手，為落實(shí)“雙減”背景下培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”作出貢獻(xiàn)。