多狀態(tài)多階段任務系統(tǒng)的可靠度理論計算方法

孫 堯, 孫志禮, 周 杰, 王 健

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 遼寧 沈陽 110819; 2. 中山大學 生物醫(yī)學工程學院, 廣東 廣州 510275)

隨著科技發(fā)展及人們需求的提高,系統(tǒng)逐漸復雜化,表現(xiàn)為系統(tǒng)的多狀態(tài)特性及任務的多階段性,此類系統(tǒng)稱為多狀態(tài)多階段任務系統(tǒng)(multi-state phased-mission system, MS-PMS)[1-2].MS-PMS廣泛存在于航空航天、通信、電力等領域,且經(jīng)常被配置到關鍵應用中,一旦發(fā)生故障,會造成很大的經(jīng)濟損失甚至人員傷亡.因此,對該類系統(tǒng)的任務可靠度有很高的要求[3].然而,系統(tǒng)的多狀態(tài)特性與跨階段依賴性導致其可靠性計算及評估極其困難.目前,這方面的研究已成為該領域的熱點.

現(xiàn)階段關于多階段任務系統(tǒng)(phased-mission system, PMS)的可靠性研究大多針對二態(tài)PMS.Xing等[4]針對具有共因故障的PMS提出了一種基于二元決策圖的可靠性分析方法.Mo等[5]針對多模式失效的PMS提出一種基于多元決策圖的可靠性分析方法.Levitin等[6]提出一種精確評估由二態(tài)不可修部件組成的PMS可靠度的方法.

關于PMS可靠性研究的方法大致分為模擬方法與解析方法.與解析方法相比,模擬方法可用于更一般的系統(tǒng),但計算效率明顯較低[2].解析方法主要分為兩大類:第1類為組合模型方法[5,7-9].該類方法可有效處理大規(guī)模系統(tǒng),但只能用于部件相互獨立的情形.第2類為狀態(tài)空間方法[10-13].該類方法在建立系統(tǒng)動態(tài)行為方面具有優(yōu)勢,但一般只能處理中小規(guī)模系統(tǒng).

隨著系統(tǒng)復雜化,針對多狀態(tài)系統(tǒng)(multi-state system, MSS)可靠性的研究逐漸廣泛[14-16].然而,關于MS-PMS可靠性的研究還不多見.Shrestha等[17]應用多狀態(tài)多元決策圖評估了MS-PMS的可靠度.Yang等[18]應用加速模擬評估方法對MS-PMS進行了可靠度的估計.Cheng等[19]評估了公共總線性能共享的MS-PMS的可靠性.Yi等[20]通過對通用生成函數(shù)方法的擴展,提出一種多階段任務的線性滑動窗口系統(tǒng)的可靠性評估方法.可見,現(xiàn)階段對MS-PMS可靠度計算主要為基于決策圖的分析與蒙特卡羅方法的模擬估計,以及特殊情形下的MS-PMS可靠性評估.缺少相應的可靠度理論計算方法.

為了進一步研究MS-PMS可靠度的精準計算,本文推導了部件劣化符合馬爾科夫過程的MS-PMS可靠度的理論計算方法,并提出一種快速窮舉部件狀態(tài)組合的方法用于提高該計算方法的計算效率.通過蒙特卡羅模擬方法驗證了該理論計算方法的準確性與計算有效性.該計算方法為復雜MS-PMS的可靠度精準預測提供了理論基礎.

1 MS-PMS描述及其可靠的界定

1.1 系統(tǒng)描述

圖1為本文所研究的MS-PMS的連接結(jié)構.

圖1 系統(tǒng)串并聯(lián)結(jié)構

部件狀態(tài)組合可向量化表示為Y=(Y1,…,Yn).同時,根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構,系統(tǒng)工作效率G可表示為

(1)

1.2 系統(tǒng)可靠的界定

圖2 系統(tǒng)工作效率變化

2 MS-PMS可靠度理論計算方法

2.1 MS-PMS可靠度理論計算方法的推導

事件A發(fā)生的概率即MS-PMS的可靠度為

(2)

任務是按順序進行的,則基于條件概率理論,MS-PMS的可靠度為

P(A)=P(A1)P(A2|A1)…
P(A2|A1∩A2∩…∩AZ).

(3)

對于式(3)的具體計算,分析如下:

假設部件的劣化過程符合齊次馬爾科夫過程.記部件i(i∈{1,…,n})的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣如下:

(4)

(5)

(6)

部件狀態(tài)組合的樣本空間YH(t)及樣本數(shù)目H(t)如下:

YH(t)=

(7)

(8)

部件的劣化具有馬爾科夫性,而且部件間的相關性及其他外界因素等不考慮.因此,基于式(6),系統(tǒng)由Y(hh)(hh∈{1,…,H})運行taz(z=1,…,Z)時長后轉(zhuǎn)為Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(9)

下面推導任務1的可靠度.

對于任務1,初始的部件狀態(tài)組合為YA1,則任務1結(jié)束時刻部件狀態(tài)組合為Y(h)(h∈{1,…,H})的概率為

(10)

記示性函數(shù)I(G,W)如下:

(11)

根據(jù)全概率公式,任務1的可靠度為

(12)

下面推導在任務1可靠的條件下任務2的可靠度.

即便確定任務1可靠,也不能確定在任務2開始時刻的部件狀態(tài)組合,而只能確定每種組合的概率.應基于任務1可靠這個先驗信息對YA2=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率重新分配如下:

(13)

式(13)即為任務1可靠這個條件的含義.將依據(jù)式(13)計算的發(fā)生概率大于0的所有部件狀態(tài)組合依次記為Y1(1),…,Y1(H1).則在任務1可靠的條件下,根據(jù)全概率公式,YA3=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(14)

同樣根據(jù)全概率公式,在任務1可靠的條件下任務2的可靠度為

(15)

接著推導在任務1與2均可靠的條件下任務3的可靠度.

同理,仍要先確定在任務1與2均可靠的條件下,任務3開始時刻的每種部件狀態(tài)組合的概率.基于任務1與2可靠這個先驗信息對YA3=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率重新分配如下:

(16)

式(16)即為任務1與2均可靠這個條件的含義.將依據(jù)式(16)計算的發(fā)生概率大于0的所有部件狀態(tài)組合依次記為Y2(1),…,Y2(H2).則在任務1與2可靠的條件下,根據(jù)全概率公式,YA4=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率如下:

(17)

同樣根據(jù)全概率公式,在任務1與2均可靠的條件下任務3的可靠度為

(18)

到此可總結(jié)出MS-PMS的可靠度的計算方法,思路如下:

第1步,直接按式(10)求得任務1結(jié)束時刻的部件狀態(tài)組合的概率,進而按式(12)求得任務1可靠度P(A1).

第2步,對于任務z(z∈{2,…,Z}),在任務1～z-1均可靠的條件下,任務z結(jié)束時刻部件狀態(tài)組合為Y(h)(h∈{1,…,H})的概率為

(19)

根據(jù)全概率公式求得在任務1～z-1均可靠的條件下任務z的可靠度,計算如下:

(20)

最后,為了下一階段任務即任務z+1的條件可靠度求解,除最后一個任務即任務Z外,需要對YAz+1=Y(h)(h∈{1,…,H})的概率基于任務1～z均可靠這個先驗信息重新分配如下:

(21)

第3步,將所得的條件概率相乘獲得MS-PMS的可靠度.

因為每一個條件概率的求解都是在前一個條件概率基礎上的,必須按P(A1),P(A2|A1),…,P(AZ|A1…AZ-1)順序依次求解.

2.2 MS-PMS可靠度理論計算的實現(xiàn)

推導的MS-PMS可靠度理論計算方法的偽代碼如圖3所示.

圖3 MS-PMS可靠度理論計算方法偽代碼

圖中,R[v]表示向量R的第v個元素;R[v,d]表示矩陣R的v行d列元素;le(R)表示向量R的維數(shù);GR(v)表示矩陣R的第v行對應的部件等效狀態(tài)組合對應的系統(tǒng)工作效率值.矩陣YH表示樣本空間YH.YH有n列,每行按部件順序排列一種組合,而行數(shù)即為樣本空間數(shù)目H.

獲得樣本空間YH的常規(guī)方法是多層循環(huán)逐個獲得部件狀態(tài)組合(方法二),該方法運行相對較慢.本文基于每個部件狀態(tài)重復規(guī)律提出一種快速方法(方法一),可提高MS-PMS可靠度的計算效率.

3 MS-PMS可靠度理論計算方法驗證

以圖4所示系統(tǒng)為例,通過與蒙特卡羅模擬方法對比,驗證推導的MS-PMS可靠度理論計算方法的準確性與計算的有效性.

部件相關參數(shù)如表1所示.

圖4 用于理論計算方法驗證的系統(tǒng)

假設系統(tǒng)要完成Z=3個任務.任務運行時長依次為分別為4,3,4,任務需求依次為80,60,45.MS-PMS可靠度理論計算方法與蒙特卡羅方法的對比結(jié)果如圖5和6所示,其中N為蒙特卡羅方法的模擬次數(shù).

分別分析N為100,1 000,5 000及10 000的情形,且每種情形進行10次模擬.如圖5所示,隨著N逐漸增大,模擬結(jié)果逐漸穩(wěn)定于理論計算結(jié)果.這說明推導的MS-PMS可靠度理論計算方法是準確的.

表1 用于計算方法驗證的系統(tǒng)部件參數(shù)

圖5 理論計算方法與蒙特卡羅方法的結(jié)果

同時,由圖5和6可看出,N為100時,雖然模擬運算時長小于理論計算的運算時長,但模擬結(jié)果波動性很大;N達到5 000時模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果還沒達到可接受的吻合,這時模擬運算時長已大于理論計算的運算時長;N=10 000時,模擬結(jié)果與理論計算結(jié)果幾乎一致且模擬結(jié)果也相對穩(wěn)定,但是模擬時長顯著大于計算時長.這表明推導的MS-PMS可靠度理論計算方法顯著快于蒙特卡羅模擬方法.

此外,圖6還顯示,相比于方法二,應用方法一窮舉部件狀態(tài)組合可使理論計算的運算時長縮短約0.04 s,即方法一可提高該可靠度理論計算方法的計算速度.特別是對于維修策略優(yōu)化問題,

圖6 理論計算方法與蒙特卡羅方法的運算時長

一般采用智能優(yōu)化算法(遺傳算法、差分進化算法等),該可靠度要進行多次計算.例如,種群規(guī)模與進化代數(shù)均為50,則要進行50×50=2 500次可靠度計算,應用方法一比方法二節(jié)省約2 500×0.04 s=100 s.因此,對于維修決策,快速窮舉部件狀態(tài)組合方法的作用更顯著.

基于以上分析,推導的MS-PMS可靠度理論計算方法不僅是準確的,而且在計算上也是有效的,同時提出的快速窮舉部件狀態(tài)組合方法可進一步提高該理論計算方法的運算效率.

4 結(jié) 論

1) 對于蒙特卡羅模擬估計MS-PMS可靠度的方法,隨著模擬次數(shù)的增加,得到的MS-PMS可靠度的模擬值逐漸趨于穩(wěn)定,且穩(wěn)定于用推導的理論計算方法得到的MS-PMS計算結(jié)果,這說明推導的MS-PMS可靠度理論計算方法是準確的.

2) 對于蒙特卡羅方法,當模擬次數(shù)足夠使MS-PMS可靠度的模擬值穩(wěn)定于其理論計算結(jié)果時,其運算時長明顯大于理論計算方法的運算時長.這說明推導的MS-PMS可靠度理論計算方法比蒙特卡羅模擬方法運算更快,在計算上是有效的.

3) 對于推導的MS-PMS可靠度理論計算方法,分別應用提出的快速方法與常規(guī)循環(huán)方法來窮舉部件狀態(tài)組合.對比結(jié)果表明,利用提出的快速方法窮舉部件狀態(tài)組合比利用常規(guī)循環(huán)方法還可進一步加快該方法的運算速度,使該理論方法在計算上更有效.