基于Kanai-Tajimi譜卷積型非粘滯阻尼多自由度結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的簡明閉式解

李創(chuàng)第，賀王濤，葛新廣，2

（1.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州 545006；2.柳州工學(xué)院土木建筑工程學(xué)院，廣西柳州 545616）

引言

當(dāng)下地震災(zāi)害所帶來的人員傷亡和財產(chǎn)損失極大，防震減災(zāi)［1－2］研究成為當(dāng)下重要的研究課題。阻尼［3－4］常被用來描述結(jié)構(gòu)在振動過程中能量耗散的關(guān)鍵參數(shù)，其作用機(jī)理較為復(fù)雜，故仍沒有統(tǒng)一阻尼模型。工程上應(yīng)用較為廣泛的粘彈性阻尼模型，未考慮振動滯后現(xiàn)象，與實際不符。為此，Biot［5］首先提出考慮滯后效應(yīng)的非粘滯阻尼模型，阻尼力在數(shù)學(xué)形式上表現(xiàn)為質(zhì)點振動速度同某一核函數(shù)的卷積。關(guān)于非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的動力學(xué)分析，主要包含參數(shù)識別、模態(tài)分析和動力響應(yīng)分析，其均得到廣泛研究。但目前非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析基本局限于確定性時程激勵分析，關(guān)于非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)體系的隨機(jī)響應(yīng)分析研究報道較少。段忠東等［6］利用拉普拉斯變換對非粘滯阻尼模型阻尼參數(shù)識別進(jìn)行研究，表明非粘滯阻尼模型在描述結(jié)構(gòu)耗能更具有一般性。Liu［7－8］對指數(shù)型核函數(shù)型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析進(jìn)行研究，指出非粘滯阻尼特征是許多工程結(jié)構(gòu)地震中的耗能形式，并研究了時程激勵下的結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)。汪夢甫等［9］利用指數(shù)型非粘滯阻尼體系地震反應(yīng)的振型分解方法，對地震作用下的動力反應(yīng)進(jìn)行分析，并推導(dǎo)新的地震作用計算公式。呂蒙等［10］對卷積型非粘滯阻尼耗能系統(tǒng)風(fēng)振響應(yīng)特征進(jìn)行了分析，利用微分求積算法，給出一種新的求解方法。

大量研究表明地震動具有顯著的隨機(jī)性且較為復(fù)雜，其中Kanai-Tajimi 譜激勵模型［11－12］能考慮場地的動力特征對于地震動的影響，有著廣泛的理論研究應(yīng)用。研究結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動響應(yīng)方法主要有頻域法和時域法［13－14］2類。從頻域角度分析，虛擬激勵法［14－15］和傳遞函數(shù)法［16－17］需要獲得結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的方差等參數(shù)，上述方法分析0～2 階響應(yīng)譜矩時需要對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜在頻域內(nèi)進(jìn)行數(shù)值積分，但對于復(fù)雜的地震動激勵模型或者大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的響應(yīng)譜矩計算仍較為繁瑣［18－19］。從時域角度分析，復(fù)模態(tài)法為其典型方法［13，20－22］，其將線性振動體系進(jìn)行復(fù)模態(tài)解耦，將動力響應(yīng)協(xié)方差表示成脈沖函數(shù)與激勵協(xié)方差的二重積分，因而獲得響應(yīng)協(xié)方差的前提需要給出其激勵協(xié)方差。目前基于時域法的隨機(jī)地震動響應(yīng)表達(dá)式較為復(fù)雜［19－20］，不利于實際工程應(yīng)用。

針對以上非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析不足、頻域法積分計算相對繁瑣等問題。首先，利用Kanai-Tajimi譜的濾波振動方程將復(fù)雜的地面運動表示成基于白噪聲的隨機(jī)地震動；其次，將指數(shù)型非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)積分型的本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)換成等效的微分型本構(gòu)關(guān)系，聯(lián)立Kanai-Tajimi 譜的濾波振動方程及微分型的非粘滯阻尼本構(gòu)關(guān)系，給出了結(jié)構(gòu)地震動基于白噪聲激勵的新的一階狀態(tài)微分方程組，利用復(fù)模態(tài)法解耦，給出了結(jié)構(gòu)方差、功率譜和0～2階譜矩的簡明封閉解。

1 非粘滯阻尼結(jié)構(gòu)地震動方程重構(gòu)

結(jié)構(gòu)計算簡圖如圖1所示，該結(jié)構(gòu)為l層的線性結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)動力學(xué)的運動方程：

圖1 結(jié)構(gòu)計算簡圖Fig.1 Caculating diagram of structure

式中：、x分別為結(jié)構(gòu)相對地面的加速度、速度、位移；K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣；C為阻尼系數(shù)矩陣；結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M= diag[m1m2…ml]g為地面運動加速度；G(t)為非粘滯阻尼系統(tǒng)的阻尼核函數(shù)。

指數(shù)型非粘滯阻尼系統(tǒng)的阻尼核函數(shù)可表示為：

式中：G(t)為非粘滯阻尼核函數(shù)；n為非粘滯阻尼松弛因子的總分支數(shù)；αi為松弛因子。

式中：Pij其中第j樓層處非粘滯阻尼器第i個分支阻尼力。

Kanai-Tajimi譜地震動模型可將地面運動表示為基于白噪聲激勵隨機(jī)地震動：

地面激勵為均值為零的Kanai-Tajimi地震動激勵，將式（1）～式（5）擴(kuò)階，轉(zhuǎn)換成新的一階狀態(tài)方程組：

式中：o1為l行零向量；o2為l行l(wèi)列零矩陣；o3為l行nl列零矩陣；o4為nl列零向量；I1為l行l(wèi)列單位矩陣；I2為nl行nl列單位矩陣；L為n列單位行向量；“T”為向量轉(zhuǎn)置。

2 復(fù)模態(tài)解耦

根據(jù)復(fù)模態(tài)理論［13］，引入復(fù)模態(tài)變換：

式中：U為右特征向量矩陣；z為復(fù)模態(tài)變量。

將式（9）帶入式（6），并左乘VT得：

式中：V為左特征向量矩陣；“T”為向量轉(zhuǎn)置。

由式（10）可簡化為：

由杜哈梅積分可得，式（11）的分量可表示為：

式中，zi、ηi分別為z、η的分量。

由式（7）、式（9）及式（12）則結(jié)構(gòu)相對于地面的位移及速度可表示為：

式中：ui為右特征向量矩陣U的第i行向量；結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)λij：

式中：uij為右特征向量矩陣U第i行第j列的元素。

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差、方差及功率譜分析

為簡化行文，比較式（13）、式（14），結(jié)構(gòu)的相對位移、相對速度可統(tǒng)一表達(dá)示為：

式中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分量為：

式中，結(jié)構(gòu)的相對位移及相對速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)μi=λij。由式（7）、式（8）可知，i= 1～l代表結(jié)構(gòu)相對速度；i=l+ 1代表；i=l+ 2～2l+ 1代表結(jié)構(gòu)相對位移x；i= 2l+ 2代表ug；i=( 2l+ 3 )～( 2l+ 2 +nl)代表非粘滯阻尼Pij；τ為時間差。

其結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差可表示為：

由式（19）可知，則結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為：

將式（22）帶入式（21）得：

利用Dirac函數(shù)的性質(zhì)，式（23）化為一重積分：

對式（24）積分得：

由式（19）、式（25），單自由度非粘滯結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi隨機(jī)激勵下的響應(yīng)為：

令：

式（26）可表示為：

當(dāng)τ =0時，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的協(xié)方差為結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方差：

由式（29）可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的均方差可表示為結(jié)構(gòu)振動特征值指數(shù)函數(shù)的線性組合。

根據(jù)Wiener-Khinchin關(guān)系，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的單邊功率譜SY(ω)為：

式中，ω為頻域變量。

將式（28）代入式（30）得：

由式（27）、式（29）、式（31）得，文中所獲得的結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi 激勵下的相對位移及速度的方差和功率譜的表達(dá)式為封閉解，且簡潔明了。

4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0～2階譜矩分析

由隨機(jī)振動理論［13］得Y(t)的i階譜矩βY,i為：

把式（31）帶入式（32），并令i= 0，則結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0階譜矩βY,0為：

對式（33）積分，則：

由文獻(xiàn)［13］可知，平穩(wěn)激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)Yn的0階譜矩βY,0，比較式（34）及式（29）兩式完全相同，說明了文中方法計算0階譜矩的正確性。由隨機(jī)振動理論［13］可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的速度的0階譜矩等于其位移的2階譜矩，即：

由譜矩的定義，1階譜矩βY,1可表示為：

對式（36）進(jìn)行積分得：

則1階譜矩βY,1可表示為：

由式（34）、式（35）、式（39）可知，給出了結(jié)構(gòu)相對于地面位移的0～2 階譜矩簡明封閉解，與文獻(xiàn)［14，16－17］所提的方法相比，文中方法無需積分，故不受積分區(qū)間取值的影響。

5 算例

一棟4 層框架結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)第1～2 層質(zhì)量m1～2= 5× 105kg，結(jié)構(gòu)第3～4 層質(zhì)量m3～4= 4.2 × 105kg；結(jié)構(gòu)第1～2 層抗側(cè)剛度k1～2= 2 × 109N/m，結(jié)構(gòu)第3、4 層抗側(cè)剛度k3～4= 1.8 × 109N/m；各層阻尼參數(shù)均為c= 2.5×106N ?s/m。非粘滯阻尼采用兩分支指數(shù)型核函數(shù)［7－8］，G(t)=( α1e-α1t+ α2e-α2t)，α1= 25s-1，α1= 75s-1。隨機(jī)地震動激勵采為Kanai-Tajimi 譜，其相關(guān)參數(shù)［11］：特征頻率為ωg= 15.71rad/s，場地阻尼比ξg= 0.72；白噪聲強(qiáng)度因子S0= 31.76 × 10-4m2/s3。

5.1 地面加速度的功率譜對比分析

地面加速度可由式（4）、式（5）、式（7）、式（18）聯(lián)立得：

式中，κi為地面加速度的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)且κi= -2ξgωgλ5,i-10,i，λ5,i、λ10,i含義見式（18）。

按文中方法，地面加速度模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)κi如表1所示。

表1 地面加速度模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)κi表Table 1 Modal intensity coefficients κi of ground acceleration

表1 地面加速度模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)κi表Table 1 Modal intensity coefficients κi of ground acceleration

注：ξi = real(pi)/ ||pi 。

模態(tài)數(shù)1234567891 0 11 12 13特征值pi－11.311 2±10.902 3－0.504 4±23.432 5－1.904 1±65.139 6－2.605 6±103.357 9－2.935 2±125.235 0－24.159 8－24.225 1－24.273 7－24.622 4－69.894 7－70.615 5－71.937 7－74.371 6等效頻率|pi|15.71 23.44 65.16 103.39 125.69 24.15 24.22 24.27 24.62 69.89 70.61 71.93 74.37等效阻尼比ξg 0.72 0.02 0.02 0.02 0.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00xg模態(tài)系數(shù)κi－11.311 2±0.416 5 000000000000

從表1 中可知，模態(tài)1 的特征值為復(fù)共軛項，其對應(yīng)的等效頻率與場地的ωg相等，等效阻尼比與場地的ξg相等的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)不為零，而其余模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)均為0，這與場地的地震動僅與場地有關(guān)而與結(jié)構(gòu)無關(guān)的特點所決定，從側(cè)面說明文中方法的正確性。

5.2 功率譜對比

文中方法，基于Kanai-Tajimi譜的地面絕對加速度激勵功率譜，由式（31）、式（40）得：

式中：該算例中，2l+ 2 +nl= 18，l為自由度數(shù)，n為每個自由度中不同作用阻尼數(shù)量。

傳統(tǒng)方法中，基于Kanai-Tajimi譜的地面絕對加速度激勵功率譜其表達(dá)式為：

圖2 給出了文中方法與傳統(tǒng)方法的加速度功率譜對比圖，對比區(qū)間[ 0 50 ]，對比間距為2 rad/s，兩者完全吻合，表明文中分析加速度功率譜的正確性。

圖2 加速度功率譜對比Fig.2 Comparison of acceleration power spectrum

文中方法，基于Kanai-Tajimi譜的多自由度結(jié)構(gòu)的相對于地面的位移功率譜，由式（31）可得：

傳統(tǒng)方法中，系統(tǒng)的幅頻特性及其基于Kanai-Tajimi 譜的多自由度結(jié)構(gòu)的相對于地面的位移功率譜其表達(dá)式為：

圖3給出文中方法與傳統(tǒng)方法中結(jié)構(gòu)第1層位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)對比圖，對比區(qū)間[ 10 50 ]，間距為2 rad/s，兩者完全吻合，說明了文中方法分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的正確性。式（43）、式（44）相比，文中方法表達(dá)形式更為簡潔。

圖3 第1層結(jié)構(gòu)位移功率譜對比Fig.3 Power spectrum comparison of structural displacement on the first floor

5.3 結(jié)構(gòu)位移0～2階譜矩精度及效率對比

在傳統(tǒng)方法中，林家浩教授提出的虛擬激勵法［14］在工程中應(yīng)用較為廣泛，文中與虛擬激勵法進(jìn)行對比：根據(jù)虛擬激勵法［14］，將式（44）帶入式（32）可得，結(jié)構(gòu)位移0～2階譜矩計算如下：

基于同一CPU，用Matlab進(jìn)行精度、效率對比：上述響應(yīng)值，采用數(shù)值方法在[ 0∞]區(qū)間進(jìn)行求解是無法實現(xiàn)的，故虛擬激勵法：頻率積分區(qū)間取[ 0 300（]rad/s），其積分步長分別取3種不同工況（1、0.5、0.05 rad/s）所得結(jié)果的精度與本文所得結(jié)果精度進(jìn)行對比，如圖4～圖6 所示：積分區(qū)間一定，0～2 階響應(yīng)譜矩精度與積分步長有關(guān)，其積分步長越小，結(jié)果越精確。從圖像可得，積分步長為0.05 rad/s，其精度最好，文中方法與其完全重合，驗證了文中方法所得結(jié)果精度較好。

圖4 結(jié)構(gòu)位移0階譜矩對比Fig.4 Comparison of the 0-order spectral moments of structural displacement

圖5 結(jié)構(gòu)位移1階譜矩對比Fig.5 Comparison of the first-order spectral moments of structural displacement

圖6 結(jié)構(gòu)位移2階譜矩對比Fig.6 Comparison of the second-order spectral moments of structural displacement

2種方法效率分析對比，由表2可得，文中方法計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)0～2階譜矩的結(jié)果為封閉解，其不受積分區(qū)間的影響，其效率為積分步長1 rad/s 的1.2 倍；為積分步長0.5 rad/s 的1.9 倍；為積分步長0.05 rad/s的11.6倍，減小積分步長確實可提高精度，但效率也會隨之降低，證明了文中方法效率較好。

表2 0～2階響應(yīng)譜矩效率對比Table 2 Efficiency comparison of 0～2 order response spectral moment

6 結(jié)論

文中對指數(shù)型核函數(shù)非粘滯阻尼多自由度耗能結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi 譜隨機(jī)地震動響應(yīng)進(jìn)行分析，結(jié)論如下：

（1）非粘滯阻尼模型常采用指數(shù)型核函數(shù)時，利用核函數(shù)的卷積形式表示結(jié)構(gòu)的耗能部分，其具有精確等效的一階微分型本構(gòu)關(guān)系，便于與結(jié)構(gòu)體系的動力方程聯(lián)合求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

（2）利用Kanai-Tajimi 譜的濾波振動方程可將復(fù)雜的地面運動精確地表示成基于白噪聲的隨機(jī)地震動激勵，與原結(jié)構(gòu)的運動方程聯(lián)合建模，利用復(fù)模態(tài)法解耦，從時域角度便于獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差和從頻域角度獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0～2階譜矩的簡明閉式解。

（3）通過與虛擬激勵法對比，文中方法獲得耗能結(jié)構(gòu)的0～2 階響應(yīng)譜矩的簡明封閉解，具有效率高和精度好的優(yōu)點，且同時適用于多自由度，可用來驗證虛擬激勵法譜矩分析時的精度問題，并為結(jié)構(gòu)動力可靠度分析［22－24］增加了新的路徑。