土體非線性對(duì)土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的影響
——以Millikan圖書(shū)館為例

梁建文，楊晶麗，韓 冰，朱 俊

（1.天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2.南京航空航天大學(xué)土木與機(jī)場(chǎng)工程系，江蘇南京 210016；3.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京 100124）

引言

地震激勵(lì)下，土體與結(jié)構(gòu)之間存在土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用（SSI）效應(yīng)。文獻(xiàn)［1］采用間接邊界元法（IBEM）研究了SV波入射下，層狀半空間中剛性基礎(chǔ)－剪力墻結(jié)構(gòu)體系的SSI，研究了場(chǎng)地動(dòng)力特性對(duì)SSI的影響。文中在文獻(xiàn)［1］基礎(chǔ)上，對(duì)近場(chǎng)土體進(jìn)行有限元法（FEM）模擬，遠(yuǎn)場(chǎng)土體仍然采用間接邊界元法模擬，采用等效線性化方法考慮土體非線性，進(jìn)一步研究土體非線性對(duì)SSI的影響。

等效線性化方法采用等效剪切模量和阻尼比隨土層動(dòng)剪應(yīng)變的變化近似考慮土體的非線性動(dòng)力特性，具有形式簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，是目前用來(lái)估計(jì)場(chǎng)地非線性的主要方法之一。Esteban 等［2］采用等效線性方法分析了土層的非線性動(dòng)力特性對(duì)理想SDOF 結(jié)構(gòu)模型的動(dòng)力響應(yīng)的影響，研究表明了當(dāng)輸入地震波的主頻率接近考慮土體非線性后衰減的場(chǎng)地基頻值時(shí)，土體非線性會(huì)增加上部的結(jié)構(gòu)損傷，而且相比于結(jié)構(gòu)高度、基礎(chǔ)尺寸等參數(shù)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量對(duì)SSI的影響更明顯。Massumi等［3］采用等效線性模型模擬有限元土域，分析了SSI對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響，結(jié)果表明土體剛度較小時(shí)，SSI會(huì)使結(jié)構(gòu)的撓度和層間位移角顯著增加；Quoc等［4］利用粘性土的等效線性骨架曲線考慮土體非線性，研究了非線性土－樁－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的重要影響因素。Liu等［5］通過(guò)ABAQUS有限元軟件研究土－結(jié)構(gòu)相互作用的重要影響，分別結(jié)合等效線性模型和彈塑性模型考慮土體非線性，結(jié)果表明2 類(lèi)非線性數(shù)值模型的模擬結(jié)果均與振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)結(jié)果吻合。韓冰等［6］采用有限元－間接邊界元耦合法，通過(guò)等效線性化法考慮土層的非線性，研究了場(chǎng)地中存在透鏡體時(shí)對(duì)土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的影響。

文中采用有限元－間接邊界元（FEM－IBEM）耦合法，以著名的Millikan圖書(shū)館結(jié)構(gòu)為例，計(jì)算El Centro波和Taft波從基巖面垂直入射時(shí)，不同地震波幅值，不同土體非線性參數(shù)下，結(jié)構(gòu)基底剪力響應(yīng)和頂部層間位移角響應(yīng)，研究土體非線性對(duì)SSI的影響，得出一些有參考價(jià)值的結(jié)論。

1 模型與方法

采用FEM－IBEM 耦合法建立模型。采用有限元模擬近場(chǎng)土體，采用間接邊界元法（IBEM）模擬遠(yuǎn)場(chǎng)土體，自動(dòng)滿足無(wú)窮遠(yuǎn)輻射條件。模擬近場(chǎng)土體的有限元（FEM）子域要足夠大從而保證IBEM 子域幾乎不受FEM子域散射的影響，使得遠(yuǎn)場(chǎng)土體非線性可視作與自由場(chǎng)土體非線性等效［7］，這樣，SSI體系的等效線性迭代計(jì)算只需在有限元子域內(nèi)進(jìn)行，而將自由場(chǎng)非線性迭代后得到的土層特性參數(shù)作為IBEM 子域的計(jì)算輸入?yún)?shù)，避免重復(fù)建立半無(wú)限空間的整體動(dòng)力剛度矩陣。在此前提下，確定較小的FEM 子域尺寸以提高計(jì)算效率。文中不考慮基礎(chǔ)與土體交界處可能發(fā)生的滑移等接觸問(wèn)題。

1.1 模型

土－結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用（SSI）體系的物理模型如圖1所示。

圖1 SSI模型Fig.1 SSI model

剪力墻高為H，寬為W，剛性基礎(chǔ)半徑為r，彈性基巖上覆蓋土層厚度為D。剪力墻與基礎(chǔ)之間以及基礎(chǔ)與土層之間都完全固接。地震波從基巖面垂直入射。

土層的特征參數(shù)包括土層質(zhì)量密度ρL，阻尼比ζL和泊松比νL，以及拉梅常數(shù)λL和μL，土層剪切波速和壓縮波速分別為βL和αL。彈性基巖的特征參數(shù)包括基巖質(zhì)量密度ρR，阻尼比ζR和泊松比νR，以及拉梅常數(shù)λR和μR，基巖的剪切波速和壓縮波速分別為βR和αR。

剪力墻的特征參數(shù)包括沿縱向單位長(zhǎng)度的質(zhì)量Μb，泊松比νb和阻尼比ζb，以及剪力墻基頻fb和等效剪切波速βb= 4fbH?；A(chǔ)沿縱向單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為M0。

地震作用下基礎(chǔ)的位移響應(yīng)包括水平平動(dòng)位移dx，豎向平動(dòng)位移dz和關(guān)于圓心O的轉(zhuǎn)角θ。剪力墻沿水平方向和豎向的絕對(duì)位移分別為dbx和dbz，結(jié)構(gòu)頂部相對(duì)于底部（或基礎(chǔ)）的相對(duì)位移，即剪力墻自身發(fā)生的彈性位移分別為drelx和drelz。

FEM－IBEM 耦合法模型如圖2 所示。其中，F(xiàn)EM 子域由近場(chǎng)土體組成，子域?qū)挾?*m1，深度m2；IBEM子域由遠(yuǎn)場(chǎng)土體和彈性基巖組成。將土層進(jìn)一步劃分為n個(gè)子層，子層厚度dj（j=1，2，…，n）。IBEM 子域與FEM子域的界面稱(chēng)為邊界S1，土－結(jié)構(gòu)界面稱(chēng)為邊界S2。FEM子域需要全部劃分有限單元，并將位于邊界S1和S2上的單元稱(chēng)為耦合單元，其余為內(nèi)部單元，而IBEM 子域和結(jié)構(gòu)只需在各自邊界S1和S2處離散邊界單元即可。沿共同邊界S1，需要使IBEM 子域的邊界單元數(shù)與FEM 子域的耦合單元數(shù)相同，并且單元節(jié)點(diǎn)重合。沿共同邊界S2，F(xiàn)EM子域的耦合單元數(shù)與結(jié)構(gòu)在S2上的邊界單元數(shù)相同，并且單元節(jié)點(diǎn)重疊。同時(shí)，邊界S1，S2上各對(duì)應(yīng)單元響應(yīng)之間應(yīng)滿足以下條件：

圖2 FEM－IBEM耦合法計(jì)算模型示意圖Fig.2 FEM－IBEM model

式中，上標(biāo)“－”和“+”分別代表邊界單元和耦合單元。單元位移u和應(yīng)力t分別在各自子域獨(dú)立求解得到。另外，在邊界S1和S2上引入虛擬均布荷載P1，P2和P3，可看作是分別施加在IBEM 子域，F(xiàn)EM 子域和結(jié)構(gòu)上的外荷載。而通過(guò)式（1）～式（3）建立的聯(lián)系最終可求解出荷載P1，P2和P3，這也是采用耦合法求解整個(gè)體系地震響應(yīng)的核心步驟。

1.2 IBEM子域的求解方法

通常，在間接邊界元法中，遠(yuǎn)場(chǎng)任意位置的響應(yīng)可認(rèn)為是該點(diǎn)自由場(chǎng)響應(yīng)與散射場(chǎng)響應(yīng)的疊加。首先，自由場(chǎng)響應(yīng)u′（x，z）和t′（x，z）可通過(guò)直接剛度法計(jì)算得到：

式中，S為場(chǎng)地整體剛度矩陣，由每一子層的動(dòng)力剛度矩陣Ej（j=1，2，…，n）和基巖剛度矩陣ER按一定順序集整而成；外荷載僅在基巖面由入射波引起，因此，荷載向量那么，通過(guò)方程（4）可解出各土層界面上的位移當(dāng)?shù)趈層土的上下界面位移已知后，即確定了（z=0，z=dl）處的邊界條件，就可以在該土層的局部坐標(biāo)系下求解土層中任意位置上的自由場(chǎng)位移響應(yīng)u′(x,z)和應(yīng)力響應(yīng)t′(x,z)了。

求解散射場(chǎng)響應(yīng)時(shí)，需要在邊界S1上離散N個(gè)邊界單元并引入格林影響函數(shù)為位移格林函數(shù)，其物理意義為在第j個(gè)邊界單元上依次施加單位水平均布荷載，單位豎向均布荷載時(shí)第i層土中任意點(diǎn)的位移響應(yīng)。其求解過(guò)程為：先固定荷載作用層上下界面，根據(jù)該土層波數(shù)域中的運(yùn)動(dòng)方程得到上下界面節(jié)點(diǎn)位移，應(yīng)力的特解和齊解；再取消固定，將節(jié)點(diǎn)反力作為外荷載施加于荷載作用層的上下界面，由式（4）求得場(chǎng)地中各土層的界面位移，那么任意i土層內(nèi)任意位置的位移響應(yīng)ui(k′,z)也相應(yīng)可解（k′為散射場(chǎng)波數(shù)），注意荷載作用層的響應(yīng)還應(yīng)增加上一步的方程齊解和特解部分；最后對(duì)ui(k′,z)進(jìn)行傅里葉變換得到第i層土在空間域中的位移響應(yīng)即為其位移格林函數(shù)。同樣，場(chǎng)地的應(yīng)力格林函數(shù)可由本構(gòu)關(guān)系得到。

將格林函數(shù)與邊界上虛擬均布荷載P1相乘即為散射場(chǎng)響應(yīng)，其中單元荷載向量可認(rèn)為是FEM子域施加在IBEM子域上的荷載(j= 1,2,…,N)，上標(biāo)“H”、“V”分別代表水平方向和豎向的荷載。

間接邊界元法的詳細(xì)計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn)［1］和［8］。

因此，根據(jù)間接邊界元法，IBEM子域在共同邊界S1上的邊界單元的平均位移響應(yīng)和平均應(yīng)力響應(yīng)如下所示：

1.3 FEM子域的求解方法

近場(chǎng)有限單元法子域內(nèi)的土體需要按四節(jié)點(diǎn)等參單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格。FEM 子域中沿S1邊界劃分的耦合單元數(shù)為N，沿S2邊界劃分的耦合單元數(shù)為M。根據(jù)有限單元法理論中平面應(yīng)變問(wèn)題的求解思路，集整所有土單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕EM子域的整體動(dòng)力剛度矩陣KF。KF可分區(qū)表示為：

因此地震作用下，由PF引起的FEM子域的動(dòng)力響應(yīng)為：

式中：A為將單元均布荷載轉(zhuǎn)化為單元等效節(jié)點(diǎn)荷載的轉(zhuǎn)換矩陣；uu為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移向量；us為耦合邊界節(jié)點(diǎn)的位移向量。

1.4 結(jié)構(gòu)響應(yīng)的求解方法

結(jié)構(gòu)頂部的位移響應(yīng)為［9］：

結(jié)構(gòu)的基底剪力Fbx為：

1.5 耦合方程

由式（5），式（8）和式（9）給出的沿S1、S2的單元位移和應(yīng)力響應(yīng)，式（1）～式（3）可具體化為：

由式（16），可將P3寫(xiě)作用P2替代的關(guān)系式如下：

然后將式（17）代入式（14）和式（15），有

聯(lián)立式（18）和式（19）并寫(xiě)成矩陣方程形式，即為FEM－IBEM耦合法的總耦合方程，如下：

由耦合方程式（20）最終可解得間接邊界元法子域的虛擬荷載向量P1和有限單元法子域的虛擬荷載向量P2，再由式（17）可得到虛擬荷載向量P3。最后，通過(guò)式（11）～式（13）可求解結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

1.6 等效線性化迭代計(jì)算

等效線性化的計(jì)算流程如下。根據(jù)土層的初始剪切模量G0和阻尼比ζ進(jìn)行首次運(yùn)算，將土單元經(jīng)過(guò)前一次完整動(dòng)力計(jì)算后的整個(gè)地震持時(shí)內(nèi)的最大剪應(yīng)變?chǔ)胢ax，乘以等效系數(shù)0.65得到單元等效剪應(yīng)變?chǔ)胑ff；再分別根據(jù)等效剪切模量比、阻尼比與等效應(yīng)變的關(guān)系曲線G/G0－γ，ζ－γ得到土單元的新剪切模量值Gi和新阻尼比值ζi，并將Gi和ζi作為開(kāi)始本次動(dòng)力迭代計(jì)算的輸入?yún)?shù)。若本次迭代計(jì)算后得到的單元等效剪應(yīng)變與前一次的相差|γi-γi-1|/γi-1在某允許值σ范圍內(nèi)，即認(rèn)為該單元收斂［10］，否則，繼續(xù)求取新的Gi+1和ζi+1進(jìn)入下一次動(dòng)力計(jì)算。文中取σ=0.05，并以某次迭代有95%以上的單元收斂作為收斂條件。將最后一次動(dòng)力迭代計(jì)算后得到的系統(tǒng)響應(yīng)作為完成非線性計(jì)算的最終輸出結(jié)果。

2 方法驗(yàn)證

圖3為文中耦合方法和文獻(xiàn)［1］的間接邊界元法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比?；A(chǔ)寬度r=10 m，土層厚度D=30 m，40 m，土層和基巖參數(shù)為ρR=ρL=1 900 kg/m3，ζL=0.05，ζR=0.02，νL=νR= 1 3，βL=200 m/s，βR=400 m/s，1 000 m/s。上部結(jié)構(gòu)H=20 m，W=20 m，βb=200 m/s，ε=βLH βbr=2，ζb=0，νb= 1 3，MbM0=2，M0MS=1。以基巖面垂直入射SV 波時(shí)的基礎(chǔ)位移和結(jié)構(gòu)頂部的相對(duì)位移為例進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。可以看出，文中計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［1］的結(jié)果相吻合，證明了文中方法的有效性。

圖3 垂直入射SV波時(shí)基礎(chǔ)位移響應(yīng)和頂部相對(duì)位移響應(yīng)與文獻(xiàn)［1］的結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of the foundation displacement and the relative displacement at the top of the structure for vertical incidence of SV-wave with the results in the paper［1］

圖3 （續(xù)）Fig.3 （Continued）

3 算例分析

本節(jié)以著名的Millikan圖書(shū)館為例進(jìn)行算例分析，具體參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)［11－12］。

圖書(shū)館結(jié)構(gòu)參數(shù)H=44 m，W=25 m，r=12.5 m，fb=2.33 Hz，νb= 1 3，ζb=0.01，MbM0=7.5，M0MS=0.2。圖書(shū)館場(chǎng)地參數(shù)如表1 所示。沿彈性基巖面垂直入射的地震波分別選用幅值為0.1 g，0.2 g的El Centro 波和Taft 波，波型為SV 波。地震波的加速度時(shí)程曲線如圖4（a）和（b）所示。對(duì)上述4 個(gè)工況分別進(jìn)行線性和非線性分析。其中，非線性分析時(shí)各工況下又分開(kāi)采用了2類(lèi)非線性參數(shù)，一次計(jì)算過(guò)程中所有土層均使用同一組土動(dòng)力參數(shù)。2組土層動(dòng)剪切模量、阻尼比與剪應(yīng)變的關(guān)系曲線如圖5所示，取自文獻(xiàn)［13］。

圖4 基巖輸入地震波的加速度時(shí)程曲線Fig.4 Acceleration time-history curves of the seismic waves

圖5 兩組等效線性G/G0－γ和ζ－γ關(guān)系曲線Fig.5 Two types of the relation curves of G/G0－γ and ζ－γ

表1 Millikan圖書(shū)館場(chǎng)地參數(shù)［11］Table 1 Parameters of the Millikan library building site［11］

為了方便描述考慮土體非線性后非線性SSI響應(yīng)與線性SSI響應(yīng)之間的差異，定義2個(gè)參數(shù)如下：

式中：χF表示考慮土體非線性后的結(jié)構(gòu)基底剪力響應(yīng)較線性響應(yīng)的變化幅度；χD表示考慮土體非線性后的結(jié)構(gòu)頂部層間位移角響應(yīng)較線性響應(yīng)的變化幅度（Db=drelx/H）。

圖6 和圖7 分別給出了Taft 波和El Centro 波入射下，結(jié)構(gòu)基底剪力Fbx非線性響應(yīng)與線性響應(yīng)的比較。由圖可見(jiàn)，在考慮土體非線性后，F(xiàn)bx時(shí)程響應(yīng)峰值均有不同程度的減少。當(dāng)基巖輸入幅值為0.1 g 的Taft 波時(shí)，采用兩類(lèi)非線性參數(shù)（Ⅰ和Ⅱ）進(jìn)行等效線性計(jì)算后的基底剪力分別比線性情況時(shí)降低了|χF|Ⅰ=8.4%，|χF|Ⅱ=20.54%；當(dāng)基巖輸入幅值為0.2 g 的Taft 波 時(shí)，|χF|Ⅰ=24.18%，|χF|Ⅱ=43.08%。當(dāng)基巖輸入0.1 g 幅值的El Centro 波時(shí)，F(xiàn)bx非線性響應(yīng)的降低幅度分別為|χF|Ⅰ=22.13%，|χF|Ⅱ=31.75%；當(dāng)基巖輸入0.2 g 幅值的El Centro 波時(shí)，|χF|Ⅰ=44.53%，|χF|Ⅱ=54.28%。顯然，采用非線性更強(qiáng)的Ⅱ類(lèi)參數(shù)計(jì)算后的基底剪力下降幅度|χF|Ⅱ均大于Ⅰ類(lèi)情況時(shí)的下降幅度|χF|Ⅰ；而且地震波幅值為0.2 g時(shí)的基底剪力下降幅度均比0.1 g時(shí)更明顯。

圖6 基巖輸入Taft波情況結(jié)構(gòu)基底剪力Fbx時(shí)程曲線Fig.6 Time-history curves of the base shear for Taft wave input from bedrock

圖7 基巖輸入El Centro波情況結(jié)構(gòu)基底剪力Fbx時(shí)程曲線Fig.7 Time-history curves of the base shear for El Centro wave input from bedrock

同樣，圖8 和圖9 分別給出了Taft波和El Centro 波入射下，結(jié)構(gòu)頂部層間位移角Db的非線性響應(yīng)與線性響應(yīng)的比較。由圖可見(jiàn)，在考慮土體非線性后，層間位移角Db的時(shí)程響應(yīng)峰值均有不同程度的減少。當(dāng)基巖輸入幅值為0.1 g 的Taft 波時(shí)，層間位移角Db的非線性響應(yīng)降低幅度分別為|χD|Ⅰ=6.65%，|χD|Ⅱ=15.71%；當(dāng)基巖輸入幅值為0.2 g 的Taft 波時(shí)，|χD|Ⅰ=17.22%，|χD|Ⅱ=34.89%。當(dāng)基巖輸入0.1 g 幅值的El Centro 波時(shí)，Db非線性響應(yīng)的降低幅度分別為|χD|Ⅰ=14.32%，|χD|Ⅱ=24.95%；當(dāng)基巖輸入0.2 g 幅值的El Centro 波時(shí)，|χD|Ⅰ=40.93%，|χD|Ⅱ=53.31%。顯然，對(duì)于結(jié)構(gòu)的層間位移角響應(yīng)，非線性響應(yīng)規(guī)律與基底剪力類(lèi)似，土層的非線性越強(qiáng)，地震波幅值越大，非線性響應(yīng)越明顯。

圖8 基巖輸入Taft波情況層間位移角時(shí)程曲線Fig.8 Time-history curves of the structure drift for Taft wave input from bedrock

圖9 基巖輸入El Centro波情況層間位移角時(shí)程曲線Fig.9 Time-history curves of the structure drift for El Centro wave input from bedrock

圖10和圖11分別給出了Taft波和El Centro波入射下，土體非線性（I和II）和線性情況下結(jié)構(gòu)頂部絕對(duì)加速度Ab的傅里葉譜比較。由圖可見(jiàn)，考慮土體非線性后，系統(tǒng)頻率明顯降低。當(dāng)基巖輸入幅值為0.1 g的Taft波時(shí)，SSI系統(tǒng)頻率由2.03 Hz降到了1.54 Hz；基巖輸入幅值為0.2 g的Taft波時(shí)，SSI系統(tǒng)頻率由2.03 Hz降到了1.17 Hz。當(dāng)基巖輸入0.1 g幅值的El Centro波時(shí)，考慮土體非線性后，SSI系統(tǒng)頻率由1.95 Hz降到了1.46 Hz；輸入0.2 g幅值的El Centro波時(shí)，SSI系統(tǒng)頻率由1.95 Hz降到了1.17 Hz。顯然，地震波幅值越大，系統(tǒng)頻率降低幅度越大。

圖10 基巖輸入Taft波時(shí)結(jié)構(gòu)頂部絕對(duì)加速度時(shí)程曲線及其傅里葉譜Fig.10 Time-history curves of the absolute acceleration at the top of the structure and their Fourier spectra for Taft wave

圖10 （續(xù)）Fig.10 （Continued）

圖11 基巖輸入El Centro波時(shí)結(jié)構(gòu)頂部絕對(duì)加速度時(shí)程曲線及其傅里葉譜Fig.11 Time-history curves of the absolute acceleration at the top of the structure and their Fourier spectra for El Centro wave

4 結(jié)論

文中建立了層狀半空間中SSI體系的二維FEM－IBEM 耦合法模型，采用等效線性化方法同時(shí)考慮近場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)土體的非線性，以著名的Millikan圖書(shū)館為例，計(jì)算了Taft波和El Centro波垂直入射情況下，分別采用2 類(lèi)非線性參數(shù)時(shí)的結(jié)構(gòu)基底剪力和層間位移角。最后通過(guò)與線性SSI 響應(yīng)比較，研究了土體非線性對(duì)SSI的影響。主要結(jié)論如下：

（1）土體非線性對(duì)SSI 有明顯影響：考慮土體非線性后，結(jié)構(gòu)基底剪力響應(yīng)和層間位移角均比線性情況時(shí)有明顯降低；結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率均明顯低于線性情況。文中算例中，基巖輸入Taft波時(shí)基底剪力最小和最大降幅分別為8.4%和43%；層間位移角最小和最大降幅分別為6.7%和35%?；鶐r輸入El Centro 波時(shí)基底剪力的最小和最大降幅分別為22%和54%；層間位移角最小和最大降幅分別為14.3%和53.3%。

（2）土體的非線性越強(qiáng)，對(duì)非線性SSI 的影響越明顯。文中算例中，采用非線性更強(qiáng)的Ⅱ類(lèi)土體參數(shù)時(shí)的非線性SSI 響應(yīng)衰減幅度均比采用Ⅰ類(lèi)參數(shù)時(shí)更明顯?；鶐r輸入幅值為0.1 g 的Taft 波時(shí)，采用兩類(lèi)非線性參數(shù)（Ⅰ和Ⅱ）的基底剪力的降幅分別為8.4%和20.5%，層間位移角的降幅分別為6.7%和15.7%；基巖輸入幅值為0.2 g的Taft波時(shí)，基底剪力的降幅分別為24%和43%，層間位移角的降幅分別為17%和35%；基巖輸入幅值為0.1g 的El Centro 波時(shí)，采用兩類(lèi)非線性參數(shù)（Ⅰ和Ⅱ）的基底剪力的降幅分別為22%和32%，層間位移角的降幅分別為14.3%和25%；基巖輸入幅值為0.2 g的El Centro波時(shí)，基底剪力的降幅分別為44.5%和54%，層間位移角的降幅分別為41%和53.3%。

（3）地震波入射幅值對(duì)非線性SSI 有明顯影響，且地震波幅值越大，非線性SSI 越明顯。文中算例中，基巖輸入幅值為0.2 g 的Taft 波或El Centro 波時(shí)，結(jié)構(gòu)基底剪力，層間位移角以及系統(tǒng)頻率的非線性衰減幅度均比幅值為0.1 g時(shí)更明顯?；鶐r輸入Taft波（0.1 g和0.2 g）時(shí)系統(tǒng)頻率的降幅分別為24%和42%；基巖輸入El Centro波（0.1 g和0.2 g）時(shí)系統(tǒng)頻率的降幅分別為25%和40%。