基于政府補貼的養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)博弈模型

裴詩宇，陸媛媛

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

近年來，老年人所占人口比例日益增加，傳統(tǒng)的家庭養(yǎng)老模式已經(jīng)不能滿足社會進步的需要，重視養(yǎng)老機構(gòu)的開展情況成為處理社會化養(yǎng)老問題的努力方向.為此政府出臺了多項面向養(yǎng)老機構(gòu)的補貼政策，包括運營補貼、建設(shè)補貼、承接補貼等，但這類以機構(gòu)供方為補貼對象的補貼機制逐漸出現(xiàn)資源配置效率差、床位空置嚴重等弊端，因此，對入住養(yǎng)老機構(gòu)的老年人實施補貼成為政府的重點舉措.這種“補人頭”的補貼方式相較于以往，能夠更直接地提高老年人入住養(yǎng)老機構(gòu)的意愿，從而影響機構(gòu)入住量.跟據(jù)老年人困難程度進行差別補貼，可合理分配財政投入、全面照顧各類情況的補貼對象.“費隨人走”的補貼形式在一定程度上能減輕困難程度大老年人群體入住時的經(jīng)濟壓力，也能使更多老年人擁有入住的機會.因此，研究“需方”補貼情形下政府與養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤模型，對于解決社會養(yǎng)老問題意義重大.

目前，就各方面政府補貼問題引起了廣泛關(guān)注[1-2]，其中借助博弈論的相關(guān)理論進行研究的文章有很多.[3-4]郭倩[5]等研究了政府分別補貼高低服務(wù)質(zhì)量養(yǎng)老機構(gòu)問題.高曉波[6]等構(gòu)建了在政府確定差別服務(wù)補貼和質(zhì)量標準、養(yǎng)老機構(gòu)在合作與非合作情形下，分別決策出最優(yōu)變量的博弈模型.夏濤[7]研究了政府與養(yǎng)老機構(gòu)在不對稱信息條件下的博弈行為.Novy-Marx[8]引入風(fēng)險分擔因素，研究在不同條件下政府對養(yǎng)老服務(wù)項目補貼的影響.研究對養(yǎng)老服務(wù)需方補貼的文章也不少.馬驍[9]綜合分析了國內(nèi)研究成果，提出機構(gòu)養(yǎng)老服務(wù)補貼模式應(yīng)轉(zhuǎn)向“需方”補貼的建議.張翔[10]等通過實地調(diào)研，構(gòu)想了對于養(yǎng)老服務(wù)“需方”補貼的具體政策.董紅亞[11]通過對浙江省養(yǎng)老服務(wù)補貼政策的分析，強調(diào)“補人頭”方式的現(xiàn)實重要性，并為進一步完善補貼制度提出了一些建議.趙鵬程[12]等分析了非中心城市的養(yǎng)老困境.張榮燕[13]等分析了傳統(tǒng)機構(gòu)養(yǎng)老補貼的不足，提出包括機構(gòu)養(yǎng)老需方補貼覆蓋對象、補貼方式、補貼標準等在內(nèi)的具體補貼內(nèi)容.以上有關(guān)政府與養(yǎng)老機構(gòu)博弈行為的文章都是以補貼養(yǎng)老機構(gòu)“供方”為背景，而對于養(yǎng)老機構(gòu)“需方”補貼只存在建議和重要性分析，未涉及政府在補貼養(yǎng)老機構(gòu)“需方”情形下與養(yǎng)老機構(gòu)的博弈問題.本文在政府對入住養(yǎng)老機構(gòu)的老年人實施補貼的背景下，建立政府與養(yǎng)老機構(gòu)的二階段博弈模型，采用逆向歸納法求解養(yǎng)老機構(gòu)和政府的最優(yōu)決策問題，并計算雙方最優(yōu)利潤函數(shù)，為政府解決養(yǎng)老問題提供借鑒.

1 模型的建立

1.1 符號說明

本文涉及到的變量符號有：t0表示政府對入住養(yǎng)老機構(gòu)老年人的基準補貼，p表示養(yǎng)老機構(gòu)的收費價格，x表示養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平，a表示市場需求對機構(gòu)收費價格的彈性因子，b表示市場需求對機構(gòu)服務(wù)水平的彈性因子，g表示老年人的困難程度，γ表示基準補貼對困難程度的彈性因子0≤γ≤1，β表示養(yǎng)老機構(gòu)投入成本對困難程度的彈性因子0≤β≤1，D0表示市場基本需求量，c0表示養(yǎng)老機構(gòu)單位服務(wù)的邊際成本，k表示養(yǎng)老機構(gòu)提高服務(wù)水平的成本系數(shù)，D表示養(yǎng)老機構(gòu)的市場需求量，π(p,x)，W(t)分別表示養(yǎng)老機構(gòu)利潤函數(shù)和政府福利函數(shù).

1.2 模型假設(shè)

(1)困難程度是指包括失能水平、失智水平、家庭情況(低保家庭、低收入家庭、計劃生育特殊家庭)、殘疾程度等在內(nèi)的能夠評定補貼標準的各種因素.

(2)老年人的入住補貼是指在老年人入住養(yǎng)老機構(gòu)后，跟據(jù)其困難程度申請對應(yīng)的補貼金，補貼直接下發(fā)給老人，即可理解為免除了老年人入住機構(gòu)的部分費用.由文獻[4]假設(shè)養(yǎng)老機構(gòu)市場需求函數(shù)為:

D=D0-a(p-t0gγ)+bx.

即養(yǎng)老機構(gòu)市場需求量與機構(gòu)定價成反比，與機構(gòu)服務(wù)水平及政府補貼成正比，要求滿足D0-ac0gβ>0.其中，t0gγ表示在政府基準補貼金額t0下，入住機構(gòu)的老年人根據(jù)其困難程度g最終所申獲的實際補貼金額.在實際生活中，補貼存在上限，從而規(guī)定0

1.3 建立模型

根據(jù)假設(shè)得到政府福利函數(shù)和養(yǎng)老機構(gòu)利潤函數(shù).

政府福利函數(shù)：

養(yǎng)老機構(gòu)利潤函數(shù)：

2 模型的求解

2.1 養(yǎng)老機構(gòu)最大利潤模型

跟據(jù)Stackelberg博弈模型的逆向求解原理，先分析養(yǎng)老機構(gòu)最大利潤的優(yōu)化模型

定理1當系統(tǒng)參數(shù)滿足b2-ak<0，可得到最優(yōu)服務(wù)價格及最優(yōu)服務(wù)質(zhì)量分別為：

證明將π(p,x)分別對p,x求偏導(dǎo)，有

解得駐點為

因π(p,x)的Hessian矩陣為

所以，π(p,x)是關(guān)于p和x的凹函數(shù)，即養(yǎng)老機構(gòu)收費價格及服務(wù)水平在駐點處取最大值.同時，容易驗證x>0,p>0.

證畢.

性質(zhì)1養(yǎng)老機構(gòu)的影響因素分析.

由上述分析可知，政府增加基準補貼金額，會提高老年人入住養(yǎng)老機構(gòu)的意愿，使養(yǎng)老機構(gòu)市場需求量變大，而機構(gòu)為了自身利益最大化會努力提升服務(wù)水平，從而使機構(gòu)收費價格變高.

2.2 政府最大福利模型

定理2政府以社會福利最大化為目標，在參數(shù)滿足定理1的條件時，確定出對老人的最優(yōu)基準補貼價格為：

即

又有

證畢.

2.3 系統(tǒng)最優(yōu)決策

故在此模型下，養(yǎng)老機構(gòu)的最大利潤為：

政府的最大福利為：

性質(zhì)2參數(shù)對最優(yōu)決策的影響分析.

可知養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)定價與養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平對市場需求影響程度b呈正相關(guān)，與養(yǎng)老機構(gòu)收費價格對市場需求影響程度a呈負相關(guān).

<0.

可知政府對入住機構(gòu)老年人的基準補貼與機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子b呈正相關(guān)，與機構(gòu)收費價格的彈性因子a呈負相關(guān).

<0.

可知養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤與機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子b呈正相關(guān)，與機構(gòu)服務(wù)價格的彈性因子a呈負相關(guān).

<0.

可知政府最大福利與機構(gòu) 服務(wù)水平彈性因子b呈正相關(guān)，與機構(gòu)價格的彈性因子a呈負相關(guān).

<0.

可知養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)服務(wù)水平、機構(gòu)最優(yōu)定價、政府最優(yōu)基準補貼、政府及養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤均與老年人困難程度g呈負相關(guān).

3 算例分析

3.1 算例結(jié)果

目前，機構(gòu)養(yǎng)老是國家大力支持的養(yǎng)老模式之一.以北京市東城區(qū)康馨園養(yǎng)老院為例，該機構(gòu)收住的老年人可依據(jù)北京市委頒布的有關(guān)困境老年人入住養(yǎng)老機構(gòu)的補貼政策，按照符合自身條件的補貼標準申請對應(yīng)金額的入住補貼，用于免除部分機構(gòu)入住費用.假設(shè)市場基本需求量為D0=10(萬人)，養(yǎng)老機構(gòu)年投入成本為c0=10(萬元)，滿足條件的參數(shù)為：k=0.4，a=0.6，b=0.4，g=0.64，γ=0.5，β=0.25，計算結(jié)果見表1.

表1 算例最優(yōu)結(jié)果

3.2 養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子分析

當系統(tǒng)參數(shù)滿足所設(shè)范圍時，得出以下結(jié)論：

(1)隨著養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子b的增大，養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)定價p*呈上升趨勢，即最優(yōu)定價逐漸增高，反之最優(yōu)定價逐漸降低(圖1).

圖1 養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子對養(yǎng)老機構(gòu)收費價格的影響

圖2 養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子對政府對入住機構(gòu)老年人價格補貼的影響

(3)隨著養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子b的增大，機構(gòu)服務(wù)水平x*呈上升趨勢，即養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平逐漸提高，反之服務(wù)水平逐漸降低(圖3).

圖3 養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子對養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平的影響

(4)隨著養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子b的增大，養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤和政府最大福利均呈增加趨勢，但養(yǎng)老機構(gòu)最優(yōu)利潤始終大于政府最大福利(圖4).

圖4 養(yǎng)老機構(gòu)服務(wù)水平彈性因子對最優(yōu)利潤的影響

4 結(jié)語

本文在政府對養(yǎng)老機構(gòu)“需方”補貼的情形下，建立了政府和養(yǎng)老機構(gòu)的Stackelberg主從博弈模型，以雙方利潤最大化為目標進行了最優(yōu)化求解.政府受老年人困難程度等因素影響，以社會福利最大化為目標制定補貼政策，通過決策老年人入住養(yǎng)老機構(gòu)的基準補貼金額起到調(diào)控養(yǎng)老機構(gòu)市場的作用，機構(gòu)跟據(jù)補貼內(nèi)容，在一定情況下選擇提高服務(wù)水平和價格，能夠增加社會效益和養(yǎng)老機構(gòu)收益.政府針對“需方”補貼將擴大老年人接受入住養(yǎng)老機構(gòu)理念的影響力，減輕一部分困境老人的家庭負擔，符合解決養(yǎng)老問題和推動我國養(yǎng)老服務(wù)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的需求，為政府對養(yǎng)老機構(gòu)“需方”補貼政策提供研究思路和理論支持.