煤層底板富水承壓溶洞突水力學模型構(gòu)建及突水判據(jù)研究

李 博,劉子捷

(1.貴州大學 喀斯特地質(zhì)資源與環(huán)境教育部重點實驗室，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學 資源與環(huán)境工程學院，貴州 貴陽 550025)

0 引 言

我國西南地區(qū)是世界上最大的連片裸露碳酸鹽巖分布區(qū)，巖溶發(fā)育廣泛，西南地區(qū)也是南方重要的煤炭生產(chǎn)基地，主采的二疊系煤層底板茅口組灰?guī)r中常見充水性溶洞，各溶洞之間在橫向上水力聯(lián)系微弱，通常成串珠狀存在，具有相對的獨立性。煤礦開采過程中一旦遇到隱伏富水承壓溶洞，在采動和溶洞內(nèi)水壓的雙重作用下，極易導致煤層底板隔水巖體失穩(wěn)破壞，產(chǎn)生突水災害[1-2]，目前對煤層底板溶洞突水的相關(guān)研究較少，尤其是突水的力學行為研究尚待深入，現(xiàn)有的溶洞突水力學模型多見于隧道施工領(lǐng)域，各學者根據(jù)實際工況對溶洞突水系統(tǒng)進行了簡化，建立了一些重要的力學模型，如周棟梁等[3]、聶一聰[4]、師海等[5]等將溶洞與隧道間的巖層簡化為固支梁模型；臧守杰[6]將其簡化為懸臂梁模型；江學良[7]將其簡化為簡支梁模型；宋戰(zhàn)平[8]將其簡化為彈性板模型；褚漢東[9]、姜德義等[10]、周輝等[11]將其簡化為四周固支的圓形薄板模型；賴永標[12]則將其簡化為橢圓形薄板模型。以上研究普遍將隔水巖體與溶洞的組合簡化為彈性巖梁或彈性板來進行研究，未能充分考慮溶洞的特殊形態(tài)以及由此帶來的水壓擴散傳導導致的底板隔水巖體受力形變區(qū)域擴大的特征，在力學模型的概化及適用上有一定缺陷，研究結(jié)果不具有普遍性，如果將其簡化為厚圓板時，其撓度解析大多采用級數(shù)表達式，過于復雜，不方便使用。

因此，綜合考慮溶洞形態(tài)、巖體受力狀態(tài)、底板受力形變區(qū)域等條件，將溶洞與煤層之間的隔水巖體概化成由無數(shù)積分薄圓板構(gòu)成的圓錐臺體，建立了煤層底板溶洞突水的力學模型，在此基礎(chǔ)上，進一步借助突變理論，研究了系統(tǒng)發(fā)生突變時的地質(zhì)控制因素，推導了隔水巖層失穩(wěn)破壞的力學判據(jù)，提出了一種更符合實際的煤層底板溶洞突水的分析方法，相關(guān)研究成果可以為巖溶地區(qū)礦山突水災害的防治提供理論依據(jù)。

1 煤層底板富水承壓溶洞突水力學模型構(gòu)建

據(jù)資料統(tǒng)計[8,13-14]，西南巖溶地區(qū)95%以上溶洞發(fā)育的直徑在2.0～20.0 m，其中約90%的溶洞跨度小于15 m，此時溶洞的空間形態(tài)在斷面上表現(xiàn)為圓形或似圓形，而跨度大于15 m時，溶洞斷面一般發(fā)育為大廳狀。通常溶洞的跨度遠小于煤層底板的長度，因此，筆者在力學模型的建立中將溶洞頂板簡化為圓形斷面(圖1)，同時考慮到由于溶洞內(nèi)水壓力在隔水巖體中傳導時向周圍擴散，底板巖體受力變形破壞區(qū)域通常大于溶洞頂板斷面尺寸的現(xiàn)象，筆者將底板隔水巖層、溶洞頂板組成的系統(tǒng)簡化為由無數(shù)半徑遞增的薄圓板組合形成的圓錐臺體(圖2)，并在考慮溶洞內(nèi)水壓的傳導、隔水巖層受力狀態(tài)特性的基礎(chǔ)上，基于彈性力學理論，作出以下假設(shè)：

圖1 煤層底板溶洞突水模型概化示意Fig.1 Schematics of water inrush model of karst cave in coal seam floor

圖2 煤層底板溶洞突水力學模型Fig.2 Mechanical model of water inrush from karst cave in coal seam floor

1)溶洞頂板斷面、煤層底板受力區(qū)域均視為均勻圓形，且隔水巖層受力區(qū)域半徑大于溶洞斷面半徑；將隔水巖體視為均勻、連續(xù)的各向同性體，且其內(nèi)部應力已處于平衡狀態(tài)；系統(tǒng)巖體為無數(shù)周圍固支、半徑遞增、厚度均等的彈性薄圓板構(gòu)成的圓錐臺體，不同半徑薄圓板的最大撓度相同。

2)溶洞水壓通過前一薄圓板傳導至下一薄圓板，在隔水巖體中不斷傳導、擴散；巖體各部分只在受力區(qū)域內(nèi)變形破壞，其余部分不變形。

3)只考慮隔水巖體在豎直方向受到均布溶洞承壓水壓力、上覆巖層作用力下產(chǎn)生的剪切破壞；不考慮巖溶水對圍巖的各類損傷以及在傳導過程中能量的損耗，且在計算合力做功時忽略巖體由于外力擠密產(chǎn)生的微小形變。

如圖2所示，溶洞頂板半徑為r0，圓錐臺體母線與豎直方向的夾角為θ，煤層底板實際受力變形破壞區(qū)域半徑為R，其中R=dtanθ+r0；上覆巖層作用力為q，包含上覆巖層自重及開采擾動的作用力，溶洞水壓力為pw，隔水巖層厚度為d，薄圓板的厚度為t，且t遠小于d。且根據(jù)彈性力學理論可得，薄圓板的撓曲線方程為：

(1)

模型的邊界條件為：

(2)

式中，r為距受力區(qū)域圓心的距離；ω為撓度；ur為徑向位移；D為圓板的抗彎剛度，D=Et3/12(1-μ2)；E和μ分別為薄圓板的彈性模量與泊松比。

由幾何條件可得，圓錐臺體內(nèi)任一位置薄圓板的半徑R(t)為：

(3)

溶洞內(nèi)水壓擴散傳導到不同位置薄圓板的壓力pw(t)滿足：

πR(t)2pw(t)=πr02pw

(4)

將式(3)代入式(4)可得：

(5)

由假設(shè)(1)可得薄圓板中心的最大撓度ωm為：

(6)

式中，pw(t) 為不同位置薄圓板的水壓力；R為底板變形破壞區(qū)域；D為圓板的抗彎剛度。

2 基于突變理論的煤層底板溶洞突水力學判據(jù)

2.1 突變理論概述

煤層底板溶洞突水本質(zhì)上是一種巖體內(nèi)部的彈性能量從量變積累到質(zhì)變的突破，是一種動態(tài)、非線性、不可逆的演化過程，符合突變理論的描述。突變理論是法國數(shù)學家THOM于1972年提出，可以用來描述非線性系統(tǒng)在某些作用力的影響下，從連續(xù)漸變轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)突變的現(xiàn)象[15]。尖點突變模型[16-19]能適用于巖體失穩(wěn)破壞的情形，其勢函數(shù)能用2個控制參數(shù)u、v來表示，標準表達式為：

(7)

式中，u，v為控制變量；x為狀態(tài)變量，對應的平衡位置滿足：

Π′(x)=x3+ux+v=0

(8)

式(8)在(x,u,v)空間中構(gòu)成了一個褶皺曲面，該曲面由上、下、中三葉組成，如圖3a所示。狀態(tài)變量x從小變大對應從下葉發(fā)展到中葉，系統(tǒng)從穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定臨界狀態(tài)。繼續(xù)發(fā)展則將發(fā)生突變現(xiàn)象，跳躍至上葉，系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)破壞，如圖3b所示。將平衡曲線投影在u-v平面，可得分叉集，如圖3c所示。

圖3 尖點突變模型Fig.3 Cusp catastrophe model

對勢函數(shù)進行二階偏導，可得系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定方程為：

Π″(x)=3x2+u=0

(9)

聯(lián)立式(8)消去x，可得分叉集方程為：

4u3+27v2=0

(10)

由以上分析及式(8)可知，當u≤0時系統(tǒng)即產(chǎn)生突變失穩(wěn)破壞。

2.2 煤層底板溶洞突水力學判據(jù)

通過對上述力學模型的解析，可以構(gòu)建模型的勢函數(shù)表達式，將其轉(zhuǎn)化為尖點突變模型中的標準勢函數(shù)表達式后便可推導突水的力學判據(jù)。整個模型系統(tǒng)的勢能Π由圓錐臺體的變形勢能U、外力對其做功W二部分構(gòu)成，其中系統(tǒng)變形勢能包括隔水巖層的彎曲變形勢能U1以及中面應變勢能U2，外力做功為合力在軸向上做功W1、徑向上做功W2之和，即：

Π=U-W

(11)

其中，U=U1+U2，W=W1+W2

(12)

隔水巖層彎曲變形勢能U1為：

(13)

中面應變勢能U2為無數(shù)個厚度為dt的薄圓板單元的應變勢能Udt在軸向積分而得，即：

(14)

(15)

其中由邊界條件式可將ur用級數(shù)形式表示為：

(16)

忽略高階無窮量取級數(shù)表達式前兩項得到：

(17)

根據(jù)彈性力學中的變分法[20]可得：

(18)

式中，a1，a2為變分常數(shù)。

將式(18)代入式(17)可得：

(19)

將ur代入式(15)可得：

(20)

圓錐臺體的變形勢能U為：

(21)

外力做功為W為：

W=W1+W2=?[pw(t)-q]ωrdθdr+
?[pw(t)-q]urrdθdω

(22)

其中，為避免積分過程中出現(xiàn)高階小量，將pw(t)做近似處理，當t=d時，有

(23)

代入式(22)積分可得：

(24)

將式(21)，式(24)代入式(11)可得模型的系統(tǒng)勢能Π表達式為：

(25)

式中，a3，a4為變分常數(shù)。

依據(jù)文獻[21]對模型的系統(tǒng)勢能Π表達式進行變量代換如下：

令，

(26)

則，

Π=b4ωm4+b3ωm3+b2ωm2+b1ωm+b0

(27)

令，

(28)

式(27)按以下矩陣進行變換

(29)

式中，B、b0、b1、b2、b3、b4、c0、c1、c2、c4為參數(shù)，用于變量代換。

可得：

Π=c0+c1x+c2x2+c4x4

(30)

令

(31)

則有

(32)

Π′(x)=x3+ux+v=0

(33)

且分叉集方程為：

4u3+27v2=0

(34)

根據(jù)突變理論，當u≤0時，隔水巖體發(fā)生失穩(wěn)破壞，底板突水，即：

(35)

解不等式(35)可得煤層底板富水溶洞突水的力學判據(jù)為：

(36)

其中，d為隔水巖體厚度；r0為溶洞頂板半徑；R為底板變形破壞區(qū)域半徑；pw為溶洞內(nèi)水壓力；q為上覆巖層作用力；E為隔水巖體的彈性模量；μ為隔水巖體的泊松比；a3、a4為變分常數(shù)。

由式(36)可知，影響突水的因素包括巖體的彈性模量、泊松比、厚度和底板變形破壞區(qū)域、上覆巖層的作用力、溶洞的尺寸和水壓，且當巖體厚度、彈模、泊松比越小，溶洞尺寸和水壓越大時，隔水巖體越容易產(chǎn)生失穩(wěn)破壞誘發(fā)突水。

3 結(jié) 論

1)煤層底板溶洞突水發(fā)生的關(guān)鍵取決于隔水巖體的穩(wěn)定性，隔水巖體的穩(wěn)定性與其力學作用機制密切相關(guān)，將溶洞與煤層底板間的隔水巖體概化成由無數(shù)積分薄圓板構(gòu)成的圓錐臺體模型，建立了溶洞突水的力學模型，有效的刻畫了煤層底板富水承壓溶洞突水的力學行為。

2)煤層底板溶洞突水本質(zhì)上是隔水巖體內(nèi)部彈性勢能累積到一定程度進而突變失穩(wěn)的過程，基于尖點突變理論，推導了隔水巖體失穩(wěn)破壞的力學判據(jù)，相關(guān)成果可以煤層底板富水承壓溶洞突水的基礎(chǔ)理論研究提供依據(jù)。

3)煤層底板溶洞突水發(fā)生過程中隔水巖體失穩(wěn)破壞主要取決于巖體的彈性模量、泊松比、厚度、溶洞的尺寸、溶洞內(nèi)水壓力等因素。隔水巖體厚度、彈性模量、泊松比越小，溶洞尺寸和溶洞內(nèi)水壓力越大，隔水巖體越容易發(fā)生破壞，誘發(fā)突水的可能性越大。