石墨烯p-n 結(jié)在磁場中的電輸運(yùn)熱耗散*

方靜云 孫慶豐2)?

1) (北京大學(xué)物理學(xué)院,量子材料科學(xué)中心,北京 100871)

2) (北京量子信息科學(xué)研究院,北京 100193)

石墨烯是一種特殊的二維材料,其獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu)允許人們通過電場來調(diào)控其載流子的類型和濃度,因此,在構(gòu)建雙極型納米電子器件方面具有潛在應(yīng)用前景.本文基于緊束縛格點(diǎn)模型,利用非平衡格林函數(shù)方法及Landauer-Büttiker 公式,研究了石墨烯p-n 結(jié)在磁場中的電輸運(yùn)熱耗散問題.在強(qiáng)磁場作用下,結(jié)的兩邊均處于量子霍爾相,存在拓?fù)浔Ｗo(hù)的手性邊緣態(tài).直覺上,這種拓?fù)浔Ｗo(hù)的手性邊緣態(tài)應(yīng)當(dāng)是無熱耗散的.但本文研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)有耗散源時(shí),盡管手性邊緣態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù),熱耗散卻依然可以發(fā)生.對于完美的石墨烯,單極結(jié)輸運(yùn)時(shí)熱耗散發(fā)生在體系邊緣;偶極結(jié)輸運(yùn)時(shí)在體系邊緣和結(jié)的界面處均可以發(fā)生熱耗散.當(dāng)無序存在時(shí),無論單極結(jié)還是偶極結(jié),無序均能增強(qiáng)熱耗散.此外,本文還研究了不同位置處的電子能量分布,發(fā)現(xiàn)熱耗散是否發(fā)生只取決于電子是否處于非平衡分布.這些結(jié)果表明拓?fù)渲荒鼙Ｗo(hù)電子的傳播方向,卻不能禁止熱耗散的發(fā)生.

1 引言

量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)是20 世紀(jì)凝聚態(tài)物理學(xué)領(lǐng)域中的一項(xiàng)重大成就.1980 年,von Klitzing 等[1]在研究金屬-氧化物-半導(dǎo)體場效應(yīng)晶體管中的二維電子氣的輸運(yùn)性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn),在低溫和強(qiáng)磁場下,霍爾電阻偏離了與磁場的線性關(guān)系,呈現(xiàn)出一系列量子化的電阻平臺,并且與之對應(yīng)的縱向電阻是零.這一現(xiàn)象就是著名的量子霍爾效應(yīng).自從量子霍爾效應(yīng)發(fā)現(xiàn)以來,一直吸引著人們的廣泛關(guān)注[2?7].當(dāng)存在強(qiáng)磁場時(shí),電子在洛倫茲力的作用下做局域回旋運(yùn)動(dòng),能譜演變成一系列分立的朗道能級[5,8].當(dāng)費(fèi)米能級位于朗道能級之間時(shí),二維體系內(nèi)部絕緣而邊緣導(dǎo)電,因此對霍爾電阻有貢獻(xiàn)的是處于邊緣的ν個(gè)導(dǎo)電通道(邊緣態(tài)),從而會導(dǎo)致量子化的霍爾電阻.量子霍爾效應(yīng)的手性邊緣態(tài)是受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的,也就是說電子在磁場下只能沿著樣品的邊緣向一個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)傳播,因此背散射不會發(fā)生,使得量子霍爾效應(yīng)的縱向電阻為零[9?11].一般情況下,電子輸運(yùn)過程中產(chǎn)生的熱耗散與電阻成正比(QI2R),因此人們預(yù)期當(dāng)體系處于量子霍爾相時(shí),其熱耗散也應(yīng)為零.

最近,Halbertal 等[12]利用放置在極細(xì)探針上的超導(dǎo)量子干涉儀(SQUID-on-tip,SOT),實(shí)現(xiàn)了一種具有微開爾文靈敏度的超靈敏納米掃描溫度計(jì),這為研究納米尺度的熱耗散提供了一種非常有效的技術(shù).采用這種SOT 技術(shù),他們探測了石墨烯中由單個(gè)原子缺陷引起的電輸運(yùn)熱耗散[13].石墨烯是一種由碳原子緊密排列成單層六角蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)的新型二維材料,它具有獨(dú)特的能帶結(jié)構(gòu),在狄拉克點(diǎn)附近具有線性色散關(guān)系.在強(qiáng)磁場下,石墨烯可以展現(xiàn)出獨(dú)特的量子霍爾效應(yīng)[14?21].2019 年,Marguerite 等[22]利用SOT 技術(shù)研究了石墨烯處于量子霍爾相時(shí)的電輸運(yùn)熱耗散,發(fā)現(xiàn)熱耗散沿著手性邊緣態(tài)的下游流動(dòng)方向發(fā)生(即熱耗散從源電極與中間石墨烯耦合的窄口處開始發(fā)生,然后發(fā)生在沿著手性邊緣態(tài)流動(dòng)方向的后端路徑上).該實(shí)驗(yàn)表明了受拓?fù)浔Ｗo(hù)的量子霍爾效應(yīng)中也會發(fā)生熱耗散.這一反常結(jié)果引起了人們的廣泛關(guān)注,陸續(xù)有研究工作圍繞此展開[23?26].例如,Zhang 等[23]研究了當(dāng)石墨烯處于量子霍爾相時(shí),由共振雜質(zhì)帶來的熱耗散;Fang 等[24]從理論上闡明了處于量子霍爾相的石墨烯的確可以發(fā)生熱耗散,且該過程伴隨著電子能量分布從非平衡到平衡的演變.

實(shí)驗(yàn)上,通過局域地改變柵電壓,可以調(diào)節(jié)石墨烯中載流子的類型和濃度,從而構(gòu)造石墨烯p-n結(jié)[27?29].前人在石墨烯p-n 結(jié)的研究中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多有趣的物理現(xiàn)象[30?34],如分?jǐn)?shù)化的量子電導(dǎo)[29,30]、Klein 隧穿[31,32]、Veselago 棱鏡[33]等.在石墨烯p-n 結(jié)中引入強(qiáng)磁場,結(jié)的兩邊將處于量子霍爾相,其中的載流子在拓?fù)浔Ｗo(hù)下也沿著手性邊緣態(tài)傳播[35?37].既然在處于量子霍爾相的石墨烯中,沿著手性邊緣態(tài)的下游流動(dòng)方向可以發(fā)生熱耗散,那么在強(qiáng)磁場下的石墨烯p-n 結(jié)中,沿著手性邊緣態(tài)是否也會發(fā)生熱耗散呢? 為了回答該問題,本文基于緊束縛格點(diǎn)模型,利用非平衡格林函數(shù)方法及Landauer-Büttiker 公式研究了磁場下完美和無序石墨烯p-n 結(jié)中電流誘導(dǎo)的局域熱產(chǎn)生和電子能量分布[38?40],即電輸運(yùn)的熱耗散問題.在耗散過程中,能量將從有序化電能轉(zhuǎn)化為熱能并轉(zhuǎn)移到環(huán)境中.為了模擬該過程,本文采用Büttiker 虛擬導(dǎo)線來模擬體系中的耗散源,通過電子在體系和虛擬導(dǎo)線之間的傳輸,可實(shí)現(xiàn)能量交換并發(fā)生耗散[24,40].研究表明,在強(qiáng)磁場下的石墨烯p-n 結(jié)中,沿著手性邊緣態(tài)可以發(fā)生熱耗散,且發(fā)生熱耗散的具體位置與結(jié)兩邊的填充因子有關(guān).對于完美的單極石墨烯結(jié),如果左右填充因子相等,體系中沒有熱耗散;如果左右填充因子不等,熱耗散主要發(fā)生在體系的邊緣.對于完美的偶極石墨烯結(jié),如果填充因子較小,熱耗散主要發(fā)生在結(jié)的界面上;如果填充因子較大,熱耗散在結(jié)的界面和體系邊緣均可以發(fā)生.當(dāng)存在無序時(shí),無論單極結(jié)還是偶極結(jié),無序均會明顯增強(qiáng)熱耗散.此外,本文還研究了局域電子能量分布.發(fā)現(xiàn)只要某一位置上的電子處于非平衡分布,在該位置就可以發(fā)生熱耗散,而處于平衡分布時(shí)則沒有熱耗散.這為人們設(shè)計(jì)低耗散電子器件提供了理論基礎(chǔ).

2 理論模型和方法

考慮一個(gè)如圖1(a)所示的兩端石墨烯p-n 結(jié)體系.采用緊束縛格點(diǎn)模型來描述該體系,它的哈密頓量如下[41?44]:

其中前兩項(xiàng)是石墨烯p-n 結(jié)在磁場下的哈密頓量.i(x,y)表示格點(diǎn)的離散位置坐標(biāo),如圖1(a)所示.和分別表示格點(diǎn)i上粒子的產(chǎn)生和湮滅算符,εi是格點(diǎn)i處的在位能,即狄拉克點(diǎn)的能量,實(shí)驗(yàn)上可以通過調(diào)節(jié)柵電壓來控制在位能[27?29].整個(gè)裝置可以分成左導(dǎo)線、中心區(qū) CI?III和右導(dǎo)線三個(gè)部分.在左(右)導(dǎo)線和中心區(qū) CI(中心區(qū) CIII),在位能εi等于EL(ER);而在中心區(qū) CII,考慮到電勢的變化和Anderson 無序的存在,在位能εik(ER?EL)/(2M+2)+EL+ωi,其 中k1,2,...,2M+1(圖1(a)).ωi是無序勢能,它在[?W/2,W/2]范圍內(nèi)隨機(jī)取值,W是無序強(qiáng)度.第二項(xiàng)中的t代表最近鄰格點(diǎn)之間的躍遷能.考慮該石墨烯p-n 結(jié)體系處于一個(gè)垂直外磁場下,這會在近鄰格點(diǎn)躍遷能上引起一個(gè)磁通相位?ij.選取洛倫茲規(guī)范,外磁場B的磁矢勢A(?By,0,0) ,引起的磁通相位?ij是磁通量子.因?yàn)樵谡鎸?shí)體系中,不可避免地存在各種耗散源,如電子-聲子相互作用等.因此在本文中,采用Büttiker 虛擬導(dǎo)線來模擬耗散源.為了研究電流沿著邊緣態(tài)的熱耗散情況,除了中心區(qū) CII的格點(diǎn)外,我們給靠近中心區(qū)CII的 CI區(qū)和 CIII區(qū)的一部分格點(diǎn)也加上耗散源,即圖1(a)中的每個(gè)紅色格點(diǎn)都耦合一根Büttiker 虛擬導(dǎo)線.(1)式中第三項(xiàng)描述這些Büttiker 虛擬導(dǎo)線以及它們與相應(yīng)格點(diǎn)之間的耦合哈密頓量,和aik分別表示格點(diǎn)i處的虛擬導(dǎo)線中粒子的產(chǎn)生和湮滅算符,tik代表虛擬導(dǎo)線和中心區(qū)格點(diǎn)之間的耦合強(qiáng)度.

圖1 (a) 鋸齒型石墨烯p-n 結(jié)示意圖,紅色格點(diǎn)表示在這些格點(diǎn)上耦合了虛擬導(dǎo)線,圖中 D4,N 12,L11,M 3;(b),(c) 不同無序強(qiáng)度W 下電導(dǎo)G 隨著 ER的變化曲線.當(dāng) W0時(shí),無序構(gòu)型平均取 2000次.圖(b)中 EL ?0.1 (νL 1),圖(c)中 EL ?0.2 (νL 3)Fig.1.(a) Schematic diagram for a zigzag graphene p-n junction.The red sites indicate that virtual leads are coupled to these sites,and D4,N 12,L11,M 3 in this diagram.(b),(c) The conductance G vs. ER for different disorder strengths W.Here the conductance is averaged up to 2000 configurations when W0. The parameters EL ?0.1 (νL 1) in panel (b),EL ?0.2(νL 3) in panel (c).

由零溫下的多端口Landauer-Büttiker 公式,從端口p流入體系的電流和熱流為[24]

在下面的數(shù)值計(jì)算中,以躍遷能t ≈2.75 eV作為能量單位,費(fèi)米能EF0.外磁場B用?表示,其中是一個(gè)六角蜂窩狀晶格中的磁通,a ≈0.142 nm 是兩個(gè)最近鄰碳原子之間的距離.計(jì)算時(shí),取?0.007,對應(yīng)磁長度體系寬度N200,對應(yīng)體系的真實(shí)寬度為 (3N?1)a21.2 nm.由此可見,磁長度lB遠(yuǎn)小于體系的寬度,因此上下邊緣態(tài)在傳播過程中不會直接發(fā)生混合.體系的其他尺寸參數(shù)為L79,M10,D20.此外,為了保證加入耗散源后不影響體系的輸運(yùn),取耗散源強(qiáng)度Γd0.0001.

3 結(jié)果與討論

首先研究該石墨烯p-n 結(jié)體系的電導(dǎo).圖1(b)和圖1(c)給出了電導(dǎo)G隨著右導(dǎo)線狄拉克點(diǎn)能量ER的變化.從圖1(b)和圖1(c)可以看出,Γd0.0001(紅色曲線)時(shí)電導(dǎo)G隨ER變化的曲線和Γd0(黑色曲線)時(shí)幾乎重合,說明弱耗散源的存在并不影響體系的輸運(yùn).為簡化計(jì)算,之后取Γd0計(jì)算電導(dǎo).先考慮完美的石墨烯(無序強(qiáng)度W0)的情況,ER<0時(shí)(n-n 結(jié),即左右填充因子νL,νR大于0),電導(dǎo)G展現(xiàn)出一系列量子化的平臺,平臺值由min(|νL|,|νR|)2e2/h決定[29,35].ER>0 時(shí)(n-p 結(jié),即νL>0,νR<0),電導(dǎo)G非常小.因?yàn)樵谕昝赖氖﹏-p 結(jié)中,左右兩個(gè)區(qū)域上電子和空穴的邊緣態(tài)具有不同的手性且彼此在空間上分離,因此邊緣態(tài)的混合幾乎沒有發(fā)生,從而導(dǎo)致電導(dǎo)非常小.當(dāng)體系中存在無序時(shí)(W0),在n-n 結(jié)中,如果無序強(qiáng)度較小,電導(dǎo)G的量子化平臺依舊保持且數(shù)值幾乎不變(圖1(b));如果無序強(qiáng)度較大,手性邊緣態(tài)會被強(qiáng)無序破壞,電導(dǎo)G的量子化平臺消失且數(shù)值減小(圖1(c)).在n-p 結(jié)中,引入無序后電子型和空穴型的邊緣態(tài)在結(jié)的界面附近發(fā)生混合,使得電導(dǎo)G明顯增大.此外,在合適的無序強(qiáng)度下,電子型和空穴型的邊緣態(tài)在結(jié)的界面附近完全混合,會導(dǎo)致一些分?jǐn)?shù)化的量子電導(dǎo)平臺出現(xiàn)[46],平臺值為 [|νL||νR|/(|νL|+|νR|)]2e2/h.例如,當(dāng)(νL,νR)(1,?1)時(shí),出現(xiàn)了 (1/2)2e2/h的電導(dǎo)平臺;當(dāng)(νL,νR)(3,?1)時(shí),出現(xiàn)了 (3/4)2e2/h的電導(dǎo)平臺.上述結(jié)果均與已有文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果一致[43,47].下面研究耗散源存在時(shí),完美的石墨烯單極結(jié)和雙極結(jié)體系中的熱耗散情況.先考慮單極結(jié)輸運(yùn),即結(jié)的兩邊參與輸運(yùn)的載流子同為電子(n-n結(jié))或同為空穴(p-p 結(jié)).圖2(a)和圖2(b)給出了石墨烯n-n 結(jié)中的局域熱產(chǎn)生QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化,對于p-p 結(jié),其結(jié)果和n-n 結(jié)類似.在圖2(a)中,左右填充因子 (νL,νR)(1,1),可以看到此時(shí)體系中沒有熱耗散.因?yàn)楫?dāng)νLνR時(shí),電子在磁場作用下沿著手性邊緣態(tài)逆時(shí)針傳播;特別地,在傳播過程中,電子始終處于平衡分布,因此沒有熱耗散發(fā)生.在圖2(b)中,左右填充因子(νL,νR)(3,1),可以看到此時(shí)熱耗散主要發(fā)生在體系的左上邊緣.因?yàn)楫?dāng)νLR時(shí),盡管電子依舊沿著手性邊緣態(tài)逆時(shí)針傳播,但由于νL>νR,從左端νL個(gè)模式流出的電子在到達(dá)n-n 結(jié)界面時(shí),有νR個(gè)模式會進(jìn)入右端,而剩余的νL?νR個(gè)模式則會沿著n-n 結(jié)的界面?zhèn)鞑36].在到達(dá)上邊緣時(shí),它們會和從右端流入的νR個(gè)模式一起沿著上邊緣繼續(xù)逆時(shí)針傳播,如圖2(b)中帶箭頭的黑色實(shí)線所示.因此,在沿著左上邊緣傳播的電子中,既有來自于左端電子庫的電子,又有來自于右端電子庫的電子,所以電子在左上邊緣處于非平衡分布,從而導(dǎo)致熱耗散在左上邊緣發(fā)生.此外,在n-n 結(jié)的界面上,靠近上邊緣的位置也會發(fā)生熱耗散,這是因?yàn)檠刂鴑-n 結(jié)界面?zhèn)鞑サ碾娮釉诘竭_(dá)上邊緣時(shí)有一部分會被反彈回來,使得n-n 結(jié)界面上靠近上邊緣處的電子也處于非平衡分布,從而導(dǎo)致在n-n 結(jié)界面上靠近上邊緣的位置發(fā)生了熱耗散.

接下來考慮偶極結(jié)輸運(yùn),即結(jié)的兩邊參與輸運(yùn)的載流子分別是電子和空穴(n-p 或p-n 結(jié)).圖2(c)和圖2(d)給出了n-p 結(jié)中的局域熱產(chǎn)生QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化;對于p-n 結(jié),結(jié)果是類似的.在圖2(c)中,左右填充因子 (νL,νR)(1,?1),可以看到,此時(shí)熱耗散主要發(fā)生在n-p 結(jié)的界面上.在圖2(d)中,左右填充因子 (νL,νR)(3,?3),可以看到,此時(shí)熱耗散在n-p 結(jié)的界面和上邊緣均會發(fā)生而且明顯增強(qiáng).這是因?yàn)?偶極輸運(yùn)時(shí)結(jié)兩邊的載流子沿著相反的方向朝結(jié)界面匯聚,在結(jié)的界面上形成了多模式的邊緣態(tài)[35],因此n-p 結(jié)界面上的電子處于非平衡分布,從而導(dǎo)致熱耗散在n-p結(jié)界面上發(fā)生.當(dāng)填充因子比較小時(shí),邊緣態(tài)數(shù)目少且彼此在空間上分離,因此上邊界的電子能量分布近似為平衡分布,沒有熱耗散(圖2(c)).而對于較大的填充因子,n-p 結(jié)的界面上會有更多的邊緣態(tài)出現(xiàn),且它們彼此之間在空間上有一定的混合,使得沿著結(jié)界面?zhèn)鞑サ缴线吘壍碾娮右蔡幱诜瞧胶夥植?從而導(dǎo)致在上邊緣也有熱耗散發(fā)生(圖2(d)).此外,在靠近n-p 結(jié)界面的上下邊緣上,也會發(fā)生熱耗散.因?yàn)榻Y(jié)兩邊的載流子傳播到結(jié)的界面時(shí),會有一定的可能性被結(jié)界面反彈.因此上下邊緣上靠近n-p 結(jié)界面處的電子也處于非平衡分布,從而導(dǎo)致在這些位置上發(fā)生了熱耗散.

圖2 局域熱產(chǎn)生 QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化,帶箭頭的黑色實(shí)線代表手性邊緣態(tài)的數(shù)目和傳播方向.符號■,▲,◆,●,★標(biāo)記的位置分別是 (10, 10) ,(46,10) ,(46,100) ,(46,190) ,(10,190),在 圖4 中將給出這些位置上的電子能量分布.(EL,ER)=(?0.1,?0.1)(a) ,(?0.2,?0.1)(b),(?0.1,0.1)(c),(?0.2,0.2)(d),分別對應(yīng)左右填充因子 (νL,νR)(1,1)(a),(3,1)(b),(1,?1)(c),(3,?3) (d)Fig.2.Local heat generation QLvs.lattice position (x,y),the black solid lines with arrows represent the number and propagation direction of the chiral edge states.Positions marked by symbols ■,▲,◆,●,★ are,respectively,(10,10) ,(46,10) ,(46,100),(46,190),(10,190) ,and energy distribution of electrons at these positions will be shown in Fig.4. (EL,ER)(?0.1,?0.1) (a),(?0.2,?0.1)(b),(?0.1,0.1)(c),(?0.2,0.2)(d),which correspond to the left and right filling factors (νL,νR)(1,1)(a),(3,1)(b),(1,?1)(c),and (3,?3) (d),respectively.

上面已經(jīng)分析了完美的石墨烯體系中的熱耗散情況.接下來,研究無序?qū)岷纳⒌挠绊?圖3(a)和圖3(b)給出了無序存在時(shí)石墨烯n-n 結(jié)中的局域熱產(chǎn)生QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化.與完美的石墨烯n-n 結(jié)相比(圖2(b)),熱耗散不僅會發(fā)生在體系的左上邊緣,還會發(fā)生在結(jié)的界面上.因?yàn)楫?dāng)結(jié)界面上存在無序時(shí),電子在結(jié)界面上傳播會發(fā)生散射.因此在結(jié)的界面上,電子也處于非平衡分布,從而導(dǎo)致熱耗散在結(jié)的界面上發(fā)生.隨著無序強(qiáng)度的增加,電子在結(jié)界面上的散射增強(qiáng),因此結(jié)界面上的熱耗散也明顯增強(qiáng).圖3(c)和圖3(d)給出了無序存在時(shí)石墨烯n-p 結(jié)中的局域熱產(chǎn)生QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化.從圖3(c)和圖3(d)可以看到,無序越強(qiáng),結(jié)界面上熱耗散也越強(qiáng).此外,相比于完美的石墨烯n-p 結(jié)(圖2(c)),此時(shí)熱耗散不僅會發(fā)生在結(jié)的界面上,還會發(fā)生在體系的上邊緣.這是因?yàn)闊o序?qū)е码娮有秃涂昭ㄐ偷倪吘墤B(tài)在結(jié)的界面混合[29,35],從而使得沿著結(jié)界面?zhèn)鞑サ碾娮釉诘竭_(dá)上邊緣時(shí),有一定的概率進(jìn)入左端口或右端口.因此上邊緣的電子也處于非平衡分布,導(dǎo)致熱耗散在上邊緣發(fā)生.

圖3 局域熱產(chǎn)生 QL隨著格點(diǎn)位置坐標(biāo) (x,y) 的變化,帶箭頭的黑色實(shí)線代表手性邊緣態(tài)的數(shù)目和傳播方向.符號■,▲,◆,●,★標(biāo)記的位置分別是 (10,10) ,(46,10) ,(46,100) ,(46,190) ,(10,190),在圖4 中將給出這些位置上的電子能量分布.(a),(b)(EL,ER)(?0.2,?0.1); (c),(d) (EL,ER) (?0.1,0.1).(a),(c) 無序強(qiáng)度 W1;(b),(d) 無序強(qiáng)度 W 2.無序構(gòu)型平均取400次Fig.3.Local heat generation QLvs.lattice position (x,y),the black solid lines with arrows represent the number and propagation direction of the chiral edge states.Positions marked by symbols ■,▲,◆,●,★ are (10,10) ,(46,10) ,(46,100) ,(46,190),(10,190),respectively,and energy distribution of electrons at these positions will be shown in Fig.4.(a),(b)(EL,ER)(?0.2,?0.1);(c),(d) (EL,ER)(?0.1,0.1).(a),(c) Disorder strength W1;(b) (d) W 2.Here the local heat generation is averaged up to 400 configurations.

從以上結(jié)果可以看出,當(dāng)電子在某一位置處于非平衡分布時(shí),在該位置上就會發(fā)生熱耗散,而處于平衡分布時(shí)則不會發(fā)生熱耗散.為了更直觀地表明這一結(jié)果,下面研究電子在不同位置上的能量分布函數(shù).利用非平衡格林函數(shù)方法,某一個(gè)格點(diǎn)i上電子的能量分布函數(shù)可以表示為

圖4(a)和圖4(b)分別給出了圖2(b)和圖3(a)中標(biāo)記位置處的電子分布函數(shù)F隨能量E的變化.從圖4(a)和圖4(b)可以看出,在■,▲,◆三個(gè)位置上,電子幾乎處于平衡分布;相對應(yīng)地,在圖2(b)和圖3(a)中這三個(gè)位置上幾乎沒有熱耗散.而在●,★ 兩個(gè)位置上,電子處于非平衡分布;相對應(yīng)地,在圖2(b)和圖3(a)中這兩個(gè)位置上有熱耗散發(fā)生.同樣地,圖4(c)和圖4(d)分別給出了圖2(c)和圖3(c)中標(biāo)記位置處的電子分布函數(shù)F隨能量E的變化.圖4(c)中,在■和★兩個(gè)位置上,電子幾乎處于平衡分布;對應(yīng)地,在圖2(c)中這兩個(gè)位置上幾乎沒有熱耗散.而在▲,◆,●三個(gè)位置上,電子處于非平衡分布;對應(yīng)地,在圖2(c)中這三個(gè)位置上有熱耗散發(fā)生.圖4(d)中,在■標(biāo)記的位置上,電子幾乎處于平衡分布;對應(yīng)地,在圖3(c)中該位置處幾乎沒有熱耗散.而在▲,◆,●,★四個(gè)位置上,電子處于非平衡分布;對應(yīng)地,在圖3(c)中這些位置上有熱耗散發(fā)生.由此可見,只要電子在某一位置上處于非平衡分布,在該位置上就會發(fā)生熱耗散,而處于平衡分布時(shí)則沒有熱耗散.也就是說,熱耗散是否發(fā)生只取決于電子是否處于非平衡分布.這說明拓?fù)渲荒鼙Ｗo(hù)電子的傳播方向,卻不能禁止熱耗散的發(fā)生.

圖4 不同位置處的分布函數(shù)F 隨著能量E的變化,符號■,▲,◆,●,★對應(yīng)圖2 和圖3 中標(biāo)記的位置.(a),(b)(EL,ER)(?0.2,?0.1);(c),(d) (?0.1,0.1).(a),(c) 無序強(qiáng)度 W0;(b),(d) W1.當(dāng) W0 時(shí),無序構(gòu)型平均取 400 次Fig.4.Distribution function F vs.energy E for different positions,the symbols ■,▲,◆,●,★ correspond to positions marked in Fig. 2 and Fig. 3. (a),(b) (EL,ER)(?0.2,?0.1); (c),(d) (EL,ER)(?0.1,0.1). (a),(c) Disorder strength W0;(b),(d) W 1.Here distribution function F is averaged up to 400 configurations when W0.

4 結(jié)論

本文研究了石墨烯p-n 結(jié)在磁場中的電輸運(yùn)熱耗散情況,以及無序?qū)岷纳⒌挠绊?研究發(fā)現(xiàn),拓?fù)渲荒鼙Ｗo(hù)電子的傳播方向,卻不能禁止熱耗散的發(fā)生.熱耗散是否發(fā)生只取決于電子是否處于非平衡分布.在完美的石墨烯中,單極結(jié)輸運(yùn)時(shí),如果左右兩邊填充因子相等,則電子沿著邊緣傳播時(shí)始終處于平衡分布,因此不會發(fā)生熱耗散;如果左右兩邊填充因子不等,則某一邊緣上會同時(shí)存在來自于左右端口的載流子,因此電子在該邊緣上處于非平衡分布,從而導(dǎo)致熱耗散在該邊緣上發(fā)生.偶極結(jié)輸運(yùn)時(shí),結(jié)的界面上會同時(shí)存在來自于左右端口的載流子,因此結(jié)界面上的電子處于非平衡分布,導(dǎo)致熱耗散在結(jié)的界面上發(fā)生;如果填充因子較大,熱耗散還可以在體系的邊緣上發(fā)生.此外,無序會使得載流子在結(jié)界面上發(fā)生散射從而增強(qiáng)熱耗散.