多自由度球軸承與軸的剛度耦合分析與計(jì)算*

張耀虎,馬臨超,齊山成

(1.北京新聯(lián)鐵集團(tuán)股份有限公司,北京 100044;2.河南工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,河南 鄭州 450000;3.鄭州機(jī)械研究所有限公司,河南 鄭州 450000)

0 引 言

目前,球軸承已經(jīng)在鐵路機(jī)車、船舶、汽車、拖拉機(jī)、重型機(jī)械等動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。

作為傳動(dòng)系統(tǒng)中的重要零部件,球軸承的性能是否優(yōu)良對系統(tǒng)的傳動(dòng)精度有著重要的影響。

球軸承剛度是球軸承重要的使用性能指標(biāo)之一,因此,對其剛度進(jìn)行計(jì)算與分析很有必要,尤其是對球軸承的徑向剛度和軸向剛度進(jìn)行計(jì)算與分析更有必要。

對球軸承剛度的計(jì)算屬于典型的非線性方程求解問題。JONES A B在Hertz球軸承的靜力學(xué)分析模型基礎(chǔ)上,建立了球軸承的靜力學(xué)平衡方程,即靜力學(xué)模型。

雖然在高速重載工況下,采用靜力學(xué)模型對球軸承剛度進(jìn)行計(jì)算與分析,所得到的結(jié)果會與實(shí)際結(jié)果有較大的偏差;但是,無論如何,靜力學(xué)模型為軸承的分析計(jì)算提供了一種新的思路。

在靜力學(xué)平衡方程的基礎(chǔ)上,鄧四二[1]根據(jù)鋼球與滾道的變形協(xié)調(diào)幾何關(guān)系,推導(dǎo)出了軸承在負(fù)載條件下的軸向剛度和徑向剛度;在非線性范圍內(nèi),這些公式給出了負(fù)載與變形關(guān)系的表達(dá)式,同時(shí)也更好地對真實(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的軸承進(jìn)行了描述。JONES A B[2]提出了一種球軸承的滾道控制理論,并將其作為運(yùn)動(dòng)邊界條件;同時(shí),在對其進(jìn)行計(jì)算的過程中充分考慮了摩擦的因素,豐富了軸承計(jì)算分析的方法。在此基礎(chǔ)上,HARRIS T A[3]提出了一種五自由度球軸承剛度矩陣的計(jì)算方法,進(jìn)一步奠定了軸承動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)。

但是上述研究并未對球軸承的軸向自由度進(jìn)行分析。同時(shí),之前的文獻(xiàn)[4-12]也只是對軸承剛度做了大量研究,而在研究過程中,對軸承剛度的外部影響因素考慮較少。

因此,筆者擬從球軸承的6個(gè)自由度方向?qū)Υ诉M(jìn)行分析計(jì)算,將球軸承與軸的變形分析相結(jié)合,在考慮軸受載變形的軸承-軸剛度模型的基礎(chǔ)上,提出一種球軸承-軸的剛度進(jìn)行計(jì)算方法;最后,將軟件計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)對照數(shù)據(jù)進(jìn)行對比,以驗(yàn)證所提出的計(jì)算方法能夠?qū)η蜉S承-軸的剛度進(jìn)行計(jì)算。

1 軸承剛度計(jì)算與受載平衡

在球軸承中,滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道的接觸變形是影響滾動(dòng)軸承運(yùn)轉(zhuǎn)精度和旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性的重要因素。通常情況下,需根據(jù)赫茲理論(Hertz-Theory)[13]對軸承接觸應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算。雖然Hertz的假設(shè)是點(diǎn)接觸,但是赫茲彈性接觸理論可以在一定程度上解決軸承接觸應(yīng)力與變形的問題。

Hertz點(diǎn)接觸問題考慮的是兩個(gè)任意彈性曲面在初始狀態(tài)下僅一點(diǎn)發(fā)生接觸的情況,所以,在分析軸承接觸變形問題時(shí)要進(jìn)行如下假設(shè):

(1)接觸體是線性彈性體,且均勻各向同性,在外力作用下只發(fā)生微小變形;

(2)接觸體表面連續(xù)光滑,且接觸形式僅屬于局部接觸;

(3)接觸區(qū)長度遠(yuǎn)小于物體表面的曲率半徑,忽略接觸區(qū)附近物體的表面曲率;

(4)接觸表面不存在摩擦力。

基于以上假設(shè),筆者首先用二次函數(shù)來描述接觸點(diǎn)附近的一般曲線方程;然后假定接觸區(qū)是一個(gè)橢圓的形狀,即接觸應(yīng)力呈半橢圓球函數(shù)分布;最后將彈性半空間的解引入接觸區(qū)域內(nèi),以便對其進(jìn)行法向位移的計(jì)算。

1.1 球軸承-鋼球的幾何變形關(guān)系

在徑向載荷Fy、軸向載荷Fz和橫向徑向載荷Fx的共同作用下,球軸承分別產(chǎn)生豎直徑向變形δy、軸向變形δz、橫向徑向變形δx;

在徑向力矩載荷My、軸向力矩載荷Mz和橫向徑向載荷Mx的共同作用下,球軸承分別產(chǎn)生徑向旋轉(zhuǎn)位移βy、軸向旋轉(zhuǎn)位移βz、橫向徑向旋轉(zhuǎn)位移βx。其中,第i個(gè)滾動(dòng)體的位置,用位置角φi表示。

球軸承的受力示意圖如圖1所示。

圖1 軸承受力示意圖

設(shè)軸承外圈與箱體固定,外圈不因載荷而產(chǎn)生變形,即外圈曲率中心Oo不變;第i個(gè)鋼球受載前后,內(nèi)圈曲率中心Oi和外圈曲率中心Oo之間的距離分別為A0和A(φi),則其變形可以表示為:

(1)

其中,A(φi)可由變形條件表示為:

(2)

(3)

式中:δri—第i個(gè)鋼球受載后的徑向變形;δzi—第i個(gè)鋼球受載后的軸向變形;α0—鋼球與滾道的初始接觸角。

鋼球的受載變形示意圖如圖2所示。

圖2 鋼球受力變形示意圖

鋼球受載變形和軸承坐標(biāo)系下各自由度方向變形的協(xié)調(diào)關(guān)系,如圖3所示。

圖3 鋼球變形協(xié)調(diào)示意圖

由圖3可得:

(4)

式中:ri—內(nèi)圈滾道曲率半徑;rL—滾道與鋼球的間隙。

1.2 球軸承的受載變形與剛度計(jì)算

在確定了軸承與鋼球各方向上的變形位移關(guān)系后,還需要確定軸承與鋼球各方向上的力平衡關(guān)系。

根據(jù)赫茲(Hertz)彈性接觸理論,第i個(gè)鋼球受載與變形的關(guān)系表達(dá)如下:

(5)

式中:Qi—軸承中第i個(gè)鋼球與滾道局部接觸點(diǎn)處的法向載荷;Kn—與接觸材料、幾何參數(shù)相關(guān)的參數(shù)。

當(dāng)兩彈性體的接觸為線接觸[14-18]時(shí),n取10/9;當(dāng)兩彈性體的接觸為點(diǎn)接觸時(shí),n取1.5。

筆者將每個(gè)不同位置、不同接觸角、不同位置角的鋼球的載荷與變形統(tǒng)一到軸承整體的坐標(biāo)軸上,再通過對每個(gè)鋼球的不同方向載荷的疊加,得到球軸承整體徑向力載荷為Fym、軸向載荷Fzm、橫向徑向載荷Fxm、徑向力矩載荷為Mym、軸向力矩載荷Mzm、橫向徑向力矩載荷Mxm,最終可得軸承的力與變形平衡方程:

(6)

式中:αi—第i個(gè)鋼球受載變形后的接觸角。

(7)

(8)

球軸承整體受到徑向力載荷為Fym、軸向載荷Fzm、橫向徑向載荷Fxm、徑向力矩載荷為Mym、軸向力矩載荷Mzm、橫向徑向力矩載荷Mxm,會分別產(chǎn)生δym、δzm、δxm、βym、βzm、βxm這6個(gè)方向的變形位移。

各個(gè)載荷分別對6個(gè)方向的位移求偏導(dǎo),便可以得到軸承剛度的表達(dá)式,其矩陣形式如下:

(9)

值得注意的是,軸承剛度不是一個(gè)常量,它會隨著位移(或載荷)的變化而變化,因此,在提到軸承剛度的時(shí)候,應(yīng)該指出它與對應(yīng)的位移或者載荷,否則就沒有意義。

方程組很顯然是一個(gè)非線性方程組。經(jīng)過實(shí)測,該方程組選擇使用牛頓-拉弗森(Newton-Raphson)[19,20]迭代效率最高。在編寫雅各比矩陣的時(shí)候,最好將矩陣每一項(xiàng)寫出,不建議使用編譯器自帶的函數(shù)求解雅各比矩陣。

假設(shè)在擺線齒錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中,軸承受到六自由度載荷Qb,此時(shí)的軸承剛度為Kb,那么可得此軸承受載變形平衡方程,以求解各自由度方向的變形δb,即:

(10)

至此,便得到了軸承剛度的表達(dá)與軸承受載變形平衡方程。以載荷作為輸入?yún)?shù)進(jìn)行方程求解,便可以得到六自由度變形和剛度矩陣。

1.3 滾動(dòng)體接觸相關(guān)參數(shù)的計(jì)算

當(dāng)鋼球載荷為Q時(shí),其法向接觸變形δr可以寫為:

(11)

式中:G—柔度系數(shù)。

對于內(nèi)、外滾道接觸,公式如下:

(12)

鋼球與兩個(gè)滾道之間的法向趨近量如下:

δn=δi+δo=(Gi+Go)Q2/3

(13)

聯(lián)立式(11～13),即有:

(14)

式中:E1，E2—接觸材料的彈性模量;∑ρ1，∑ρ2—接觸體的曲率和函數(shù);Dw—鋼球直徑;fi—溝曲率半徑系數(shù);fo—外圈滾道溝曲率半徑系數(shù);dm—軸承節(jié)圓直徑;α—初始接觸角。

2 軸剛度計(jì)算與受載平衡

軸采用梁模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,對不同梁模型,目前有歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁模型和鐵木辛柯(Timoshenko)梁模型。其中,鐵木辛柯梁考慮了常剪應(yīng)變,而歐拉梁則假定剪切剛度無限大,不發(fā)生剪應(yīng)變。

具體而言,二者雖然都采用平截面假定,但對于變形前,垂直于中軸線的截面,歐拉模型在變形后仍保持與中軸線垂直;鐵木辛柯梁模型則認(rèn)為二者不再垂直,出現(xiàn)一個(gè)剪應(yīng)變項(xiàng)。

從應(yīng)用上看,若梁的跨徑比大于5,梁通常是彎曲主控的,采用歐拉梁模型模擬;若跨徑比小于5的梁,剪切變形明顯,宜采用鐵木辛柯梁。此處,筆者將采用歐拉-伯努利梁進(jìn)行梁單元的建模。

筆者設(shè)軸為兩節(jié)點(diǎn)梁單元,z方向表示梁單元的軸向,x和y表示梁單元的橫向和縱向;A、B表示兩個(gè)梁單元的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位置,那么該梁單元的廣義的坐標(biāo)如下:

Us1={AB}T
A={xAyAzAθxAθyAθzA}
B={xByBzBθxBθyBθzB}

(15)

梁單元示意圖如圖4所示。

圖4 梁單元示意圖

根據(jù)材料力學(xué)理論,經(jīng)典的Euler-Bernoulli梁單元的剛度矩陣如下:

(16)

式中:E—彈性模量;G—剪切模量;A—梁的橫截面積,mm2;Ix，Iy，Iz—軸x,y,z方向的慣性矩;Ipz—軸的極慣性矩。

變量具體表達(dá)如下:

(17)

式中:ν—材料的泊松比。

用此剛度矩陣便可以描述功率輸入軸AB兩節(jié)點(diǎn)梁單元的剛度。主對角線的12個(gè)元素分別由A節(jié)點(diǎn)6個(gè)主方向的剛度和B節(jié)點(diǎn)6個(gè)主方向的剛度組成。

設(shè)節(jié)點(diǎn)A處載荷QA和節(jié)點(diǎn)B處的載荷QB為:

(18)

將QA、QB作為主對角線元素,便可以得到載荷矩陣QAB:

QAB=

(19)

根據(jù)剛度的定義,即力與變形的關(guān)系,便可以得到在載荷QAB作用下,梁AB節(jié)點(diǎn)處廣義坐標(biāo)Us1下的變形為:

(20)

梁的受力平衡方程為:

FAB=KAB·δAB

(21)

通過求解該方程,便可以得到變形δAB。

3 軸承-軸系統(tǒng)受載變形

3.1 計(jì)算原理

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)的知識,可采用結(jié)構(gòu)矩陣分析法對軸承-軸系統(tǒng)受載變形進(jìn)行分析。結(jié)構(gòu)矩陣分析的兩種基本方法是矩陣位移法(剛度法)和矩陣力法(柔度法)。

矩陣位移法在計(jì)算中采用節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量,矩陣力法則采用多余力作為基本未知量。在結(jié)構(gòu)矩陣分析法中,運(yùn)用矩陣進(jìn)行計(jì)算,不僅能使公式緊湊,形式上規(guī)格統(tǒng)一,而且便于計(jì)算過程程序化。因此,筆者在此處采用矩陣位移法進(jìn)行分析。

在桿件結(jié)構(gòu)的矩陣位移法中,把復(fù)雜的構(gòu)件當(dāng)作有限多個(gè)單元的集合,各單元彼此在節(jié)點(diǎn)處連接,從而形成整體。因此,筆者先把結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆解形成有限多個(gè)單元節(jié)點(diǎn),繼而對各單元進(jìn)行分析,建立單元的剛度方程用來描述力與變形的關(guān)系;再根據(jù)變形的協(xié)調(diào)條件,將離散的單元恢復(fù)為原構(gòu)件系統(tǒng),進(jìn)而得到整體結(jié)構(gòu)的剛度方程。通過這樣一分一合的過程,就把復(fù)雜的結(jié)構(gòu)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為簡單的單元分析與綜合問題了。

因此,解決問題的方法分為兩個(gè)大步驟:

(1)單元分析。研究單元的剛度矩陣;

(2)整體分析?？紤]單元的集合,研究整體方程的組成原理和求解方法。

在梁單元材料[21,22]的力學(xué)性能和材料性能確定的前提下,當(dāng)梁單元受到多個(gè)方向的力的作用時(shí),由于梁單元受載變形具有獨(dú)立性,便可以獨(dú)立地計(jì)算梁單元多個(gè)方向上的受載變形。

一般情況下,梁單元的材料剛度為靜剛度,即不會隨著載荷的變化而變化。例如,對圖5桿結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析時(shí),首先需要先將桿結(jié)構(gòu)拆分成兩個(gè)梁單元進(jìn)行分析,得到梁單元①和梁單元②的剛度矩陣后,通過矩陣的定位疊加,最后得到梁整體的剛度矩陣,進(jìn)而得到該結(jié)構(gòu)的載荷與力。

3.2 分析與計(jì)算

根據(jù)前文可知,設(shè)軸拆分后的每個(gè)軸段的幾何參數(shù)和材料參數(shù)相同,則每個(gè)軸段的剛度表達(dá)相同,且都能用歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁模型的剛度矩陣表達(dá)。

各單元耦合示意圖如圖5所示。

圖5 單元耦合示意圖

節(jié)點(diǎn)AB梁單元?jiǎng)偠染仃嚳梢院喕癁?

(22)

節(jié)點(diǎn)BC梁單元?jiǎng)偠染仃嚳梢院喕癁?

(23)

將節(jié)點(diǎn)AB梁單元?jiǎng)偠群凸?jié)點(diǎn)BC梁單元?jiǎng)偠冗M(jìn)行疊加耦合,軸的剛度矩陣可以重新表達(dá)為:

(24)

筆者把軸承1、軸承2安裝在軸節(jié)點(diǎn)A、C位置,只要在軸上對應(yīng)節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行剛度矩陣疊加即可。設(shè)軸承1與軸承2的剛度矩陣分別為Kb1、Kb2,矩陣大小均為6×6,表示每個(gè)自由度方向的位移。

由于軸承中心線與軸的中線重合,筆者通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)將軸承坐標(biāo)繞著z軸旋轉(zhuǎn)η,使軸承的剛度表達(dá)坐標(biāo)與軸坐標(biāo)Us1一致;將軸承1的剛度和軸承2的剛度通過坐標(biāo)變換矩陣轉(zhuǎn)換到軸坐標(biāo)系下,即:

(25)

M(ab)=|M11M12M13|

(26)

式中:M—坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣,表示某矩陣?yán)@著向量a旋轉(zhuǎn)角度b。

(27)

(28)

(29)

(30)

設(shè)在坐標(biāo)系Us1內(nèi),施加到軸上的載荷為Q,則軸承-軸模型受載變形可表達(dá)為:

(31)

(32)

式中:Q1，Q2，Q3—3個(gè)節(jié)點(diǎn)處的六自由度載荷。

軸承-軸受載變形的平衡方程為:

(33)

式中:δ1,δ2,δ3—軸上3個(gè)節(jié)點(diǎn)處的六自由度變形。

需要注意的是,如若涉及復(fù)雜空間幾何,需將各個(gè)部件統(tǒng)一到同一坐標(biāo)系下,再進(jìn)行疊加耦合。

4 軸承實(shí)例驗(yàn)證

4.1 軸承剛度驗(yàn)證

筆者以代號6210的深溝球軸承為例,即接觸角等于零的角接觸球軸承,滾子直徑為12.7 mm;軸承節(jié)圓直徑為70 mm;滾子數(shù)量為10;內(nèi)圈溝渠率系數(shù)為0.515;外圈溝渠率系數(shù)為0.515,選取其徑向剛度進(jìn)行對照驗(yàn)證;

再以代號7210B的角接觸球軸承為例,即滾子直徑為12.7 mm;軸承節(jié)圓直徑為70 mm;滾子數(shù)量為15;內(nèi)圈溝渠率系數(shù)為0.515;外圈溝渠率系數(shù)為0.525,選其軸向剛度進(jìn)行對照驗(yàn)證。

軸承徑向剛度對比結(jié)果如圖6所示。

圖6 軸承徑向剛度對比結(jié)果

軸承軸向剛度對比結(jié)果如圖7所示。

圖7 軸承軸向剛度對比結(jié)果

圖(6,7)中,筆者將上述計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)數(shù)據(jù)結(jié)果[23]進(jìn)行了對比,結(jié)果表明,軸承徑向剛度和軸向剛度的誤差范圍在7%～10%之間,均在可接受的范圍之內(nèi)。

4.2 軸剛度驗(yàn)證

筆者首先設(shè)置軸的參數(shù),然后對其進(jìn)行計(jì)算,再利用有限元軟件對各個(gè)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對,結(jié)果顯示,各結(jié)果之間完全一致。

軸的初始計(jì)算參數(shù)如表1所示。

表1 軸參數(shù)表

由于軸的剛度只與軸的幾何參數(shù)和材料參數(shù)相關(guān),筆者設(shè)節(jié)點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為dz,得到有限元輸出的軸剛度,如表2所示。

表2 有限元軸剛度輸出表

以下矩陣為該節(jié)輸出數(shù)據(jù)的1～6列:

以下矩陣為該節(jié)輸出數(shù)據(jù)的7～12列:

該節(jié)中使用的坐標(biāo)系與有限元中的坐標(biāo)系一致,矩陣中主對角線元素即軸上主方向上的剛度值,誤差可忽略不計(jì)。

4.3 軸承-軸模型剛度驗(yàn)證

在上述各步驟分析的基礎(chǔ)上,筆者進(jìn)行軸承-軸模型系統(tǒng)的剛度耦合驗(yàn)證。

筆者在X方向輸入載荷1 000 N,在Y方向輸入載荷1 000 N,輸入位置在軸的中點(diǎn)處;在同等條件下,輸入載荷在X方向輸入載荷1 500 N,在Y方向輸入載荷1 500 N,載荷施加位置在軸中點(diǎn)處。

軸承-軸系統(tǒng)的分析模型如圖8所示。

圖8 軸承-軸分析模型

當(dāng)X=1 000 N,Y=1 000 N時(shí),模型各節(jié)點(diǎn)變形的計(jì)算結(jié)果與對照數(shù)據(jù)(文獻(xiàn)數(shù)據(jù))對比情況,如表3所示。

表3 模型各節(jié)點(diǎn)變形結(jié)果對照表

當(dāng)X=1 500 N,Y=1 500 N時(shí),模型各節(jié)點(diǎn)變形的計(jì)算結(jié)果與對照數(shù)據(jù)(文獻(xiàn)數(shù)據(jù))對比情況,如表4所示。

表4 模型各節(jié)點(diǎn)變形結(jié)果對照表

5 結(jié)束語

因?yàn)閱我粭l件下球軸承的載荷-變形分析結(jié)果在理論和實(shí)際上存在偏差,并且以往研究者在分析球軸承時(shí)未考慮軸的受載變形影響,所以,筆者結(jié)合材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、復(fù)雜桿件耦合以及變形協(xié)調(diào)與力平衡原則,構(gòu)建了一種考慮軸受載變形的軸承-軸剛度模型,具體為:

基于赫茲接觸理論以及變形協(xié)調(diào)與力平衡原則,構(gòu)建了軸承剛度計(jì)算模型;基于歐拉梁模型,構(gòu)建了軸剛度計(jì)算模型;基于材料力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)理論,構(gòu)建了軸承-軸剛度耦合模型;

在此基礎(chǔ)上,筆者實(shí)現(xiàn)了對軸與軸承的耦合分析,并將軟件計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)對照數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比,驗(yàn)證了所提出的計(jì)算方法能夠?qū)η蜉S承-軸的剛度進(jìn)行計(jì)算。

研究結(jié)論如下:

(1)在非重載條件下,軸承-軸剛度模型以及其計(jì)算方法是可行的,計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的;

(2)在重載條件下,由于軸承剛度的計(jì)算數(shù)值存在一定誤差,因此會影響模型計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性;

(3)考慮了軸上點(diǎn)載荷對傳動(dòng)系統(tǒng)中軸-軸承的影響,為受載情況下軸承剛度的計(jì)算提供了一種方法。

在后續(xù)的研究過程中,為獲得更加貼合實(shí)際的計(jì)算數(shù)據(jù),筆者將在齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)等非線性系統(tǒng)基礎(chǔ)上,進(jìn)一步考慮溫度、變形、摩擦等因素對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響,以期為傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析提供理論基礎(chǔ)。