基于CFD模型的和粗糙度和尺度效應對溢洪道水流結構的影響研究

陳 臣

（安徽省阜陽水文水資源局，安徽 阜陽 236000）

在適當設計和建造時，反弧形溢洪道能夠高效安全地通過水流，并具有相對良好的流量測量能力，在各種情況下可以將其用作排水結構［1］。在設計水頭下，反弧形會在壩頂部分產生接近大氣壓力。在低于設計水頭的水頭處，由于壩頂阻力，流量較小。在較高水頭下，流量大于充氣尖頂堰，因為負頂壓會吸入更多流量。與標準設計參數(shù)的偏差會改變流量特性。溢洪道對大壩安全起著重要作用［2］，因此在分析溢洪道的影響時，物理模型得到了廣泛的應用［3］。但物理模型所需成本高、時間長，原型與模型比例的增加可能會導致由尺度效應引起的誤差嚴重性增加。因此，數(shù)值建模雖不能用于設計的最終確定，但計算成本較低，具有一定的可取性。

目前，大量研究采用各種數(shù)學模型和計算方法來解決溢洪道上的水流問題。該問題的主要難點在于從亞臨界流向超臨界流的流動過渡。此外，流量排放是未知的，尤其當溢洪道上游的流速水頭是總上游水頭的重要組成部分時，這一點必須解決。劉夢超等［4］通過應用帶有變量代換的解析泛函邊值理論推導出非奇異邊界積分方程，擴展了勢流理論。該方法已成功應用于具有自由落差的溢洪道。艾叢芳等［5］將有限元法和有限體積法應用于溢洪道流量計算。結果表明，該模型可作為溢洪道水力設計的主要分析工具。最近，有研究者使用商用計算流體力學程序FLOW-3D對反弧形溢洪道上的流動進行了研究［6］，該程序可求解雷諾平均方程（RANS方程）。結果表明，壓力和流量的物理模型和數(shù)值模型之間存在相當好的一致性。

1 理論基礎

1.1 尺度和粗糙度

尺度效應的嚴重性會隨著原型與模型尺寸比例的增加或同時復制的物理過程數(shù)量增加而增加。通常，明渠水流與水工建筑物之間的穩(wěn)定非均勻流動特性可表示為式（1）：

式中 Sw為水面坡度，用百分比表示；So河道底坡度，用百分比表示；h為水深（m）；k為固體邊界粗糙度高度（mm）；V為流速（m/s）；g為重力加速度（m/s2）；υ，ρ，σ分別為水的動態(tài)黏度（N·s/m2）、密度（kg/m3）和表面張力（N/m）。式（1）指出水面線用底坡、相對粗糙度高度、弗勞德數(shù)、雷諾數(shù)和韋伯數(shù)表示。

在明渠水流和水工建筑物的水力模型中，通常使用弗勞德數(shù)相似性來實現(xiàn)幾何相似性（So）。水被用于分析比例模型的流動特性，由于水的特性未縮放，因此建模精度會受到影響。小比例模型可能會導致無法模擬流體特性附帶的力，從而表現(xiàn)出與原型不同的流動行為。此外，由于實驗材料的限制，無法準確再現(xiàn)比例模型的相對粗糙度高度。

對于溢洪道的設計運行范圍，溢洪道頂部的模型流動深度應至少為75 mm，長度比例Lr=30～100。表1給出了幾種用于建造水工結構和比例模型材料的粗糙度高度值。

表1 粗糙度高度的近似值

為定量確定尺度和粗糙度效應對模型結果的影響，本文使用不同表面粗糙度（包括原型）的比例模型，在合理的時間和成本內對反弧形溢洪道上的流動行為進行數(shù)值研究。

1.2 反弧形溢洪道

圖1所示為標準反弧形溢洪道（類型1）。流量的經驗公式如式（2）：

圖1 標準反弧形溢洪道形狀（類型1）

式中 C為流量系數(shù)；Le為橫向波峰長度（m）；He為總水頭。通常，式（2）需要一個附加的能量方程和迭代解來確定流量，因為在計算流量之前，流速水頭是未知的。由于流速水頭只占總水頭的小部分，因此經過多次迭代后，方程收斂到一個解。

2 數(shù)值模型

2.1 控制方程和計算方案

FLOW-3D使用有限體積法來求解RANS方程，通過實現(xiàn)分數(shù)面積或體積障礙表示法來定義障礙物，給出了不可壓縮流的一般控制RANS和連續(xù)性方程，包括有利變量，如式（3）：

式中 ui為x，y，z方向的對應速度（m/s）；t為時間（s）；Ai為在下標方向開放流動的分數(shù)面積；VF為每個單元中流體的體積分數(shù)；ρ為密度（kg/m3）；p為靜水壓力（N/m2）；gi為下標方向上的重力（N）；fi為雷諾應力，閉合時需要湍流模型。

2.2 數(shù)值模型實現(xiàn)

二維數(shù)值建模如圖2。為了建模方便，z方向代替圖1中向上的y方向。建模區(qū)域的尺寸為7Hd長和3Hd高。為了加速收斂到穩(wěn)態(tài)解，采用人工多重網格法。使用初始粗網格快速計算近似水面和流速。然后，通過將先前的計算值內插到網格上來初始化一個順序更精細的網格。最終使用正交網格，其中△x為0.01Hd～0.14Hd，△z為0.01Hd～0.04Hd。

圖2 建模區(qū)域的尺寸和邊界條件

為了研究尺度和粗糙度效應，在PR00、PR05、PR30上進行粗糙度效應研究的數(shù)值模擬，在PR05、M50、M100、M200上進行尺度效應研究。原型反弧形溢洪道一般是混凝土結構，因此其粗糙度高度選擇為0.5mm。為了分析與式（1）中相對粗糙度高度相關的粗糙度效應，對液壓光滑表面和3.0mm表面粗糙度高度進行數(shù)值模擬。為了分析與式（1）中與雷諾數(shù)和韋伯數(shù)相關的尺度效應，對1/50、1/100和1/200比例模型進行數(shù)值模擬。在比例模型的建模中，網格分辨率與原型建模一樣保持不變。本文未考慮表面張力效應，因此默認只有黏度效應影響尺度效應。

2.3 邊界條件

給定流量的邊界條件如圖2。采用以下邊界條件：上游靜水壓力；下游流出；底部上游被下方障礙物阻擋（無滑移）；底部下游流出；頂部對稱。在這種配置下，水流在無滑移底板和堰及頂部大氣壓力邊界之間從左向右移動。無滑移定義為零切向速度和法向速度。這些邊界條件使用“壁函數(shù)”設置，即假設壁附近存在對數(shù)速度剖面用于計算壁處的有效剪切應力。因此，使用局部雷諾數(shù)和考慮用分流面積算法將壁面剪應力施加到堰表面。

上游邊界條件可以用兩種壓力邊界條件之一（靜態(tài)和停滯）計算。對于靜水停滯狀態(tài)，pbcs=He且u=0；對于靜態(tài)狀態(tài)，pbcs=Ho且u≠0。本研究采用靜水停滯條件，原型設計水頭為10m。式（2）和能量方程用于確定上游高程水頭和進場速度水頭。表2總結了不考慮壁面摩擦引起能量損失的上游邊界條件。

表2 上游邊界條件和建模時間

3 結果

3.1 反弧形溢洪道泄流量

表3總結了幾種粗糙度高度下溢洪道的單位流量。由表1可知混凝土的粗糙度高度約0.1～3.0mm，因此對表面粗糙度高度為液壓光滑條件進行數(shù)值建模，并對k=0.5mm和k=3mm進行了試驗研究。式（2）比較了水位流量的結果。排放流量隨著表面粗糙度高度的增加而略有下降。由于粗糙度導致最大流量減少率僅0.4%，導致建模結果高估了式（2）的結果約2.0%。如果考慮式（2）的簡單性和適用性，則2.0%的差異是式（2）有用的證據(jù)。

表3 幾種表面粗糙度高度下反弧形溢洪道的單位流量

表4總結了幾種模型比例下單位排放流量。原型表面粗糙度高度取0.5mm作為混凝土表面粗糙度高度。將幾種模型的表面粗糙度高度調整為幾何相似性。原型和比例模型的計算網格也調整為幾何相似性，以排除不同比例網格中產生的不同數(shù)值誤差。由表4可知，隨著模型與原型的長度比例增加，排放流量略有下降。在1/200比例模型中，原型最大流量的最大減少率僅0.6%。表明從排放流量角度來看，因最小化原型導致的雷諾數(shù)失真并不重要。

表4 幾種模型比例下反弧形溢洪道的單位流量

3.2 反弧形溢洪道水面

圖3描繪了3個不同上游水頭下的反弧形溢洪道水面，以及水道實驗站（WES）的試驗結果。圖3（a）是原型建模結果，其為液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）。圖3（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道水面的建模結果。從圖3可看出，隨著表面粗糙度和模型尺度的變化，水面波動幅度很小。因此，可以推斷若僅使用混凝土的一般粗糙度高度，由表面粗糙度引起的數(shù)值誤差很小。從溢洪道水面的角度來看，模型比例小于100或200，則模型的尺度效應出現(xiàn)在可接受的誤差范圍內。

圖3 反弧形溢洪道上方水面

3.3 反弧溢洪道頂部的壓力分布

3種不同上游水頭下的反弧形溢洪道壩頂壓力分布如圖4，無量綱圖中Hp為壓力水頭。圖4（a）是原型的建模結果，對比描述了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）時溢洪道上的頂部壓力。圖4（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道頂部壓力分布的建模結果。若溢洪道剖面設計為自由溢流下推覆體形狀，則設計水頭下溢洪道頂部壓力理論上應為零。由于溢洪道必須在設計水頭以外的水頭下運行，因此較低水頭下的壓力會增加，較高水頭下的壓力會降低。數(shù)值計算結果與理論壓力分布和試驗結果基本一致。即隨著表面粗糙度和模型比例的變化，頂部壓力發(fā)生了微小變化。

圖4 反弧形溢洪道壩頂壓力

3.4 壓力水頭的垂直分布

He/Hd=1.33時，反弧形溢洪道頂部壓力水頭的垂直分布如圖5。圖5（a）是原型建模結果，對比描繪了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3.0mm（PR30）時溢洪道上壓力水頭的垂直分布。在波峰軸上游，隨著水流深度的增加，壓力分布一定程度上類似于靜水壓力分布，隨著水流深度接近ho，壓力迅速降低至負壓。在壩頂軸線下游，當溢洪道頂部壓力接近大氣壓時，壓力分布幾乎與所有深度的大氣壓力一致。隨著溢洪道表面粗糙度變光滑，負壓會有所增加，但無論表面粗糙度如何，壓力分布幾乎相同。圖5（b）為原型（PR05）和1/200比例模型（M200）溢洪道上壓力分布的建模結果，結果與圖5（a）相同。He/Hd=1.0和0.5的壓力分布如圖6和圖7，壓力分布的總體趨勢與圖5一致。

圖6 壓力水頭的垂直分布（He/Hd=1.0）

圖7 壓力水頭的垂直分布（He/Hd=0.5）

3.5 最大速度及其垂直位置

利用速度的垂直分布圖分析研究了任何截面的最大速度及垂直位置。沿x軸任何截面的最大速度如圖8。圖8（a）是原型建模結果，圖中對比描繪了液壓光滑表面（PR00）和表面粗糙度k=3mm（PR30）的最大速度。隨著表面粗糙度的增加，最大速度略有下降。隨著上游水頭的增加，最大流速的降低率也增加，即表面粗糙度的影響增加。圖8（b）顯示了原型（PR05）和1/200比例模型（M200）沿軸的最大速度分布。比例模型上的最大速度小于原型上的最大速度，因為比例效應會因粗糙度效應引起類似現(xiàn)象。He/Hd=0.5，1.0，1.33時，出現(xiàn)最大速度的垂直位置如圖9?？梢钥闯觯斏嫌嗡^增加時，出現(xiàn)最大流速的垂直位置位于較低位置，且該位置隨距溢洪道前端距離呈線性增加。

圖9 最大速度發(fā)生的垂直位置

4 結語

本文采用CFD模型，在6種試驗情況下詳細研究了反弧形溢洪道流量、水面、頂部壓力等流動特性以及考慮模型尺度和表面粗糙度影響下速度和壓力垂直分布。得出結論：

（1）若僅使用建筑材料的一般粗糙度高度，則由于表面粗糙度引起的數(shù)值誤差不顯著，如果模型比例小于100或200，模型的尺度效應出現(xiàn)在可接受的誤差范圍內。

（2）以hm作為參考點，參考點以下為原型速度大于比例模型速度，參考點以上相反。粗糙度和尺度效應在參考點以下更為嚴重。

（3）隨著表面粗糙度和模型比例的變化，溢洪道頂部壓力有所不同，但垂直壓力分布幾乎相同。

（4）隨著表面粗糙度和模型比例的增加，任一截面上的最大速度都有所減小。出現(xiàn)最大速度的垂直位置隨著上游水頭的增加而位于較低位置，且與距溢洪道前端距離呈線性增加。