非線性成本下混合三寡頭博弈的復(fù)雜動(dòng)態(tài)性研究

王 靜， 陳詩宇, 沈 佳, 劉星雨

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

寡頭壟斷是現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中常見的市場結(jié)構(gòu)，一些關(guān)系國計(jì)民生命脈的行業(yè)，大都是幾家企業(yè)提供了市場中的絕大多數(shù)產(chǎn)品.在寡頭壟斷市場模式里，每個(gè)寡頭的決策都不是孤立的，他們之間相互依存、相互影響，不但要考慮消費(fèi)者的各種行為，而且要顧及競爭者的反應(yīng)，并根據(jù)對手的策略不斷修正自身的決策.因此，對寡頭行為多樣性和市場復(fù)雜性的研究具有重要的實(shí)際指導(dǎo)意義，眾多研究者對寡頭壟斷市場這一領(lǐng)域展開了研究.

文獻(xiàn)中關(guān)于雙寡頭博弈的復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為的研究成果極為豐富，如Cournot競爭[1]、Bertrand競爭[2]、Stackelberg競爭[3]、Cournot-Bertrand競爭[4].與雙寡頭博弈模型相比，文獻(xiàn)對2個(gè)以上寡頭企業(yè)競爭的研究較少.在實(shí)踐中，這種博弈更接近經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)，在寡頭理論中應(yīng)用廣泛.然而，分析這種博弈的動(dòng)態(tài)行為是一項(xiàng)復(fù)雜的工作.因此，早期的研究多是考慮使用相同預(yù)期原則的三寡頭Cournot博弈.例如，Puu[5]在模型中考慮了3個(gè)使用靜態(tài)預(yù)期的競爭者；Tu和Wang[6]假設(shè)3個(gè)競爭者采用有界理性期望；Alnowibet等人[7]考慮了3個(gè)使用適應(yīng)性調(diào)節(jié)的競爭者，并且假設(shè)需求函數(shù)具有對數(shù)凹性.

近年來，研究者開始考慮采用不同預(yù)期的Cournot三寡頭博弈模型.Elabbasy等人[8]研究了具有線性需求函數(shù)的異質(zhì)競爭者的三寡頭模型的動(dòng)力學(xué)行為，3個(gè)競爭者分別采用有限理性預(yù)期、適應(yīng)性預(yù)期和靜態(tài)預(yù)期.隨后，Elabbasy等人[9]進(jìn)一步研究了具有非線性需求函數(shù)的異質(zhì)競爭者的三寡頭博弈模型.而Askar 和Alshamrani[10]討論了4種三寡頭模型：基于合作博弈的Cournot三寡頭、有限理性的Bertrand三寡頭、有限理性的Cournot三寡頭、Puu三寡頭模型.

然而，上述文獻(xiàn)中的結(jié)果依賴于所有企業(yè)都是私人的且以利潤最大化作為企業(yè)目標(biāo).這些研究不適用于日益流行的混合寡頭博弈，即國有企業(yè)與私人企業(yè)進(jìn)行競爭.關(guān)于混合寡頭博弈的分析可以追溯到Merrill和Schneider[11].在大多數(shù)國家，國有企業(yè)對其市場競爭對手具有重大影響，如航空、鋼鐵、保險(xiǎn)、醫(yī)院和銀行業(yè)等.

本文考慮國有企業(yè)與私人企業(yè)混合競爭的三寡頭模型，并且假設(shè)產(chǎn)品的成本函數(shù)是非線性的.結(jié)合混沌理論，通過對邊界均衡點(diǎn)和納什均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析和數(shù)值模擬，研究混合競爭行為的復(fù)雜動(dòng)態(tài)性，從而更好地解釋寡頭壟斷市場中廠商的決策行為.

1 模型構(gòu)建

假設(shè)市場上有3家企業(yè)生產(chǎn)類似的產(chǎn)品, 這3家企業(yè)分別為1家國有企業(yè)和2家私人企業(yè).國有企業(yè)的目標(biāo)為社會福利最大化(消費(fèi)者剩余加企業(yè)利潤)，而私人企業(yè)的目標(biāo)是利潤最大化.現(xiàn)以q0，p0表示國有企業(yè)產(chǎn)品的產(chǎn)量和價(jià)格,qi和pi(i=1,2)分別表示私人企業(yè)i的產(chǎn)量和價(jià)格.設(shè)市場的逆需求函數(shù)為

(1)

其中：a(a>0)為市場對該產(chǎn)品的最大需求量,d為產(chǎn)品的差異系數(shù).由(1)式可以得到市場的直接需求函數(shù):

(2)

(3)

為簡化分析，我們假設(shè)2家私人企業(yè)的單位生產(chǎn)成本相同，即c1=c2, 則參與競爭的兩家私企的凈利潤為

(4)

將(4)式代入(3)式并注意到(1)式, 最終得

(5)

2 均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 系統(tǒng)均衡點(diǎn)

對(5)中各式分別關(guān)于q0,q1,q2求偏導(dǎo), 可得3家企業(yè)的邊際利潤表達(dá)式：

根據(jù)利潤最大化條件, 令Φ0=0,Φ1=0,Φ2=0, 即可解得

(6)

在實(shí)際的市場競爭中, 不同企業(yè)間的博弈是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程, 企業(yè)通常會根據(jù)當(dāng)前市場上的產(chǎn)量反饋信息對下一階段的產(chǎn)量進(jìn)行修正.本文假設(shè)國有企業(yè)和私人企業(yè)采用不同的產(chǎn)量預(yù)期，其中國有企業(yè)采用有界理性預(yù)期調(diào)整產(chǎn)量, 而2家私人企業(yè)采用靜態(tài)預(yù)期原則調(diào)整產(chǎn)量.

(7)

其中k>0為企業(yè)產(chǎn)量的調(diào)整參數(shù).

假設(shè)2家私企采用靜態(tài)預(yù)期調(diào)整產(chǎn)量, 令Φ1=Φ2=0,解得其動(dòng)態(tài)調(diào)整模型為

聯(lián)立(7)～(8)式，建立三寡頭產(chǎn)量博弈的離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：

(9)

(10)

由(10)式知?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)有2個(gè)均衡點(diǎn)：

其中：E0為邊界均衡點(diǎn)，E1為納什均衡點(diǎn).

2.2 系統(tǒng)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(9)的均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性依賴于雅克比矩陣的特征值.經(jīng)過計(jì)算，雅克比矩陣的具體形式如(11)式所示(見附錄).我們首先研究E0的穩(wěn)定性.

定理1邊界均衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

證明將E0代入(11)式可得在均衡點(diǎn)E0處的雅克比矩陣為

J(E0)=

易得矩陣J(E0)的特征值為

因?yàn)棣?>1而|λ2|<1,|λ3|<1, 由系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論可知該均衡點(diǎn)不穩(wěn)定.

現(xiàn)在考慮E1的穩(wěn)定性.因?yàn)閐∈(0,1),c0,c1>0,所以2c0+2-d>0, 2c1+2-d>0,從而(2c0+1)(2c1+2+d)>2d2.為簡化符號，令A(yù)=2c1+2+d,B=2c1+2-d,C=2c0+1.將E1代入(11)式并注意到A-2d-2B=-B，可得

其特征多項(xiàng)式為λ3+A1λ2+A2λ+A3，其中

由Schur-Cohn穩(wěn)定性條件可知，E1穩(wěn)定的充分條件為特征多項(xiàng)式J(E1)的系數(shù)滿足

(12)

定理2納什均衡點(diǎn)E1穩(wěn)定的充分條件為

3-A2=3+η2+2ξkη>0.

1-A1+A2-A3=

所以1-A1+A2-A3>0等價(jià)于k

f(k)=B1k2+B2k+B3,

其中

B3=2+η2-η4.

由于f(k)是一個(gè)關(guān)于k的二元一次方程且B1<0，B3>0，故f(k)=0有2個(gè)實(shí)數(shù)根k2和k3，其中k2<0,k3>k1.所以當(dāng)00恒成立.

綜上所述, 當(dāng)0

3 數(shù)值模擬

本節(jié)對非線性動(dòng)力系統(tǒng)(9)的動(dòng)力學(xué)演化過程進(jìn)行數(shù)值模擬, 包括分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、奇異吸引子以及對初始條件的敏感性.

圖1給出了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(9)的倍周期分岔過程.從圖1可以看出，當(dāng)國有企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)節(jié)速度0

圖2顯示了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(9)相應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù).與圖1類似，圖2也展示了系統(tǒng)的分岔和混沌行為. 可以觀察到, 當(dāng)k值達(dá)到1.25時(shí), 系統(tǒng)出現(xiàn)倍周期分岔, 然后隨著k值的增加系統(tǒng)變?yōu)榛煦?

圖1 關(guān)于參數(shù)k的分岔圖

圖2 最大李雅普諾夫指數(shù)

圖3為系統(tǒng)關(guān)于不同調(diào)節(jié)系數(shù)k的三維位相圖.圖3詳細(xì)地描述了系統(tǒng)(9)的運(yùn)行軌道，它顯示了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分岔過程，奇異吸引子如圖3a所示.

圖3 系統(tǒng)關(guān)于不同調(diào)節(jié)系數(shù)k的三維位相圖

圖4展示了當(dāng)產(chǎn)量調(diào)節(jié)參數(shù)k=2時(shí)，系統(tǒng)(9)在時(shí)間區(qū)間[400, 500]內(nèi)對初始條件的敏感依賴性， 這是混沌行為的主要特征之一. 圖4繪制了2個(gè)軌道, 其中國有企業(yè)的初值有所變化，私人企業(yè)的初值不變，具體賦值為

圖4 系統(tǒng)(9)對初始條件的敏感依賴性

圖中虛線代表國有企業(yè)的產(chǎn)量,實(shí)線代表私人企業(yè)的產(chǎn)量. 可以清楚地看到, 即使國有企業(yè)的初始產(chǎn)量產(chǎn)生微弱的變化, 經(jīng)過一系列迭代后, 該變化也會對所有企業(yè)產(chǎn)生巨大的影響.