基于體驗(yàn)與感悟的“四基”教學(xué)認(rèn)識(shí)與實(shí)踐

李平香 黃勇 劉盈煌

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)簡稱“四基”;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1].“四基”是“基礎(chǔ)”，“基”是“開始”，事物發(fā)展的起點(diǎn)叫“基”，沒有它就是“無源之水”;“基”是“根腳”，事物的本源叫“基”，沒有它就是“無根之木”;“基”是“基調(diào)”，主要觀點(diǎn)、基本思想就是“基調(diào)”，沒有它就是無舵之舟.“四基”是“基本”，“基本”蘊(yùn)含基本事實(shí)，凸顯簡潔之美，顯示基本條件，折射事物本源，貫穿事情始終，孕育復(fù)合.某個(gè)事物能被冠以“基本”就意味著地位很重要，是屬于樹根和樹干部分，具有生長與創(chuàng)新功能.所以，“四基”是“基礎(chǔ)”+“基調(diào)”+“基本”.“體驗(yàn)”主要是指“學(xué)習(xí)體驗(yàn)”，學(xué)習(xí)體驗(yàn)可以理解為學(xué)生通過有目的有引導(dǎo)的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)來感受、體會(huì)、領(lǐng)悟周圍的事物，以及由此獲得相關(guān)知識(shí)、技能、情感與觀念等內(nèi)容的過程.在數(shù)學(xué)課堂中通過教師有意識(shí)地引導(dǎo)教學(xué)生“體驗(yàn)”，能夠使得學(xué)生深化所掌握的有關(guān)表層知識(shí)，進(jìn)而對(duì)蘊(yùn)涵于其中的知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法、情感與觀念等內(nèi)容有所感悟和體會(huì)[2].在當(dāng)前素養(yǎng)導(dǎo)向的教育背景下，學(xué)界再次聚焦單元教學(xué)，通過單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在單元整體教學(xué)中，如何根據(jù)“四基”各自的特點(diǎn)，發(fā)揮“四基”各自的特長，引導(dǎo)學(xué)生自主體驗(yàn)與思想感悟，讓素養(yǎng)根植于肥沃的“四基”土壤，根深葉茂、花開芬芳呢？

1 在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的積累過程中，體驗(yàn)知識(shí)的生長，悟根源

中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等模塊中的概念、法則、性質(zhì)、公式、定理、公理，以及由其內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法[3].章建躍博士指出：基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，核心是使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是指人的頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，既包括學(xué)生頭腦中全部的數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理、公理等，又包括這些知識(shí)的組織方式[4].“數(shù)學(xué)從根本上是玩概念的”，概念是數(shù)學(xué)大廈的基石，是數(shù)學(xué)思維的核心，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題.概念教學(xué)要實(shí)現(xiàn)從表面到本質(zhì)，從抽象到具體，從孤立到系統(tǒng)的跨越;概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生順應(yīng)知識(shí)的內(nèi)在邏輯的發(fā)展、順應(yīng)思維的心理邏輯的發(fā)展，自然地、水到渠成地實(shí)現(xiàn)概念從產(chǎn)生到形成，再到發(fā)展的跨越;概念是思維的細(xì)胞，在概念學(xué)習(xí)中養(yǎng)成的思維方式、方法遷移能力最強(qiáng).因此，概念教學(xué)的意義不僅僅在于使學(xué)生掌握書本知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦，學(xué)會(huì)用概念思維，進(jìn)而發(fā)展智力和培養(yǎng)能力[5].數(shù)學(xué)法則、性質(zhì)、公式、定理、公理等教學(xué)統(tǒng)稱為中學(xué)數(shù)學(xué)命題教學(xué)，王光明教授對(duì)數(shù)學(xué)命題教學(xué)提出了一系列策略，其中特別強(qiáng)調(diào)整體性教學(xué)策略要貫穿命題教學(xué)過程的始終，教學(xué)中要注意揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，加強(qiáng)命題知識(shí)的縱向和橫向聯(lián)系，注重?cái)?shù)學(xué)命題知識(shí)結(jié)構(gòu)的完整性，構(gòu)建命題的知識(shí)體系，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)[6];在命題教學(xué)的獲得、證明、應(yīng)用階段，教師要通過適當(dāng)?shù)姆绞剑瑔l(fā)學(xué)生直接或間接地感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展、演變的動(dòng)態(tài)過程，注意引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行思考，在教學(xué)過程中充分暴露數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)教育家的思維活動(dòng)、暴露數(shù)學(xué)教師自己的思維活動(dòng)以及學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生看到思維的過程.因此，數(shù)學(xué)命題教學(xué)的意義不僅僅是數(shù)學(xué)概念的展開、聯(lián)結(jié)、深化，同時(shí)也是數(shù)學(xué)問題教學(xué)的基礎(chǔ)，是形成數(shù)學(xué)技能、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的重要途徑[7].魏書生先生指出：“知識(shí)是生長出來的，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是知識(shí)不斷積累和能力不斷提高的過程，新知識(shí)的學(xué)習(xí)是在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行的老枝發(fā)新芽”.一些數(shù)學(xué)概念是在已有概念的基礎(chǔ)上生長出來的，而數(shù)學(xué)命題是數(shù)學(xué)概念與概念的聯(lián)合.因此，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，教師要始終注意引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)新知與舊知的聯(lián)系與發(fā)展，體驗(yàn)新知在舊知上的延伸與拓展、聯(lián)合，在理解基礎(chǔ)知識(shí)的過程中，體驗(yàn)知識(shí)的生長，感悟知識(shí)的根源.

2 在數(shù)學(xué)基本技能的演練過程中，體驗(yàn)技能的嫻熟，悟方法

中學(xué)數(shù)學(xué)基本技能包括運(yùn)算、推理、識(shí)圖與作圖、數(shù)據(jù)處理等.其中，“運(yùn)算”與“推理”是數(shù)學(xué)最基本的兩大技能，“運(yùn)算”被稱為數(shù)學(xué)的“童子功”，“推理”被稱為數(shù)學(xué)的“命根子”.數(shù)學(xué)技能是是特殊的心智技能，我國心理學(xué)家馮忠良教授提出了心智技能的形成一般要經(jīng)歷原型定向階段、操作階段、內(nèi)化階段.在定向階段，學(xué)生必須掌握與技能有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、原理等陳述性知識(shí)，了解技能操作的依據(jù)，明確技能操作的方向，還要掌握法則、方法、步驟等程序性知識(shí)，了解心智動(dòng)作的構(gòu)成要素及動(dòng)作次序，并在頭腦中形成有關(guān)活動(dòng)方式的定向表象.此時(shí)，學(xué)生如能在陳述性與程序性數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起聯(lián)系，就可以在理解的基礎(chǔ)上掌握此技能，相應(yīng)的程序性知識(shí)便成為擴(kuò)大了的知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，為后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極影響.技能是在練習(xí)的基礎(chǔ)上形成的，在原型操作階段，學(xué)生先通過模仿練習(xí)，在感性水平上獲得完備的動(dòng)作映像和動(dòng)覺體驗(yàn);然后，通過變式練習(xí)，擴(kuò)大活動(dòng)對(duì)象的范圍，使相應(yīng)的活動(dòng)方式具有概括性.在活動(dòng)模式內(nèi)化階段，學(xué)生的技能操作離開了老師的示范和語言的直接指導(dǎo)，達(dá)到了熟練的程度[8].我國歷來有“熟能生巧”“拳不離手”“曲不離口”的古訓(xùn)與習(xí)慣，但是數(shù)學(xué)技能不同于一般的工匠技能.所以，在進(jìn)行技能訓(xùn)練時(shí)要注意訓(xùn)練的“量”與“度”，除了要注意“精講精練”，還要注意技能訓(xùn)練的“質(zhì)”.“質(zhì)”應(yīng)從訓(xùn)練后的熟練程度與能否類化，并為能力發(fā)展打下基礎(chǔ)等兩個(gè)方面來衡量.技能訓(xùn)練的方式可以通過非本質(zhì)特征變化的“題組訓(xùn)練”，使學(xué)生熟悉、熟練新的心智操作方式，還可以通過“變式訓(xùn)練”在形式變異中把握不變的東西，將操作方式內(nèi)化，以促進(jìn)規(guī)則運(yùn)用的縱向遷移，讓學(xué)生在訓(xùn)練過程中掌握本質(zhì)性的內(nèi)容[8].技能的掌握雖然體現(xiàn)為順利完成一定的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，但技能訓(xùn)練又不能止步于此，而應(yīng)注重在技能形成發(fā)展的整個(gè)過程促進(jìn)技能的理解、內(nèi)化、遷移，明確用什么、怎么用、何時(shí)用、依何用，體會(huì)如何才能用對(duì)、用好、用活，更要以技能為載體訓(xùn)練思維，揭示規(guī)律，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.也就是說，技能的訓(xùn)練不能停留在有形的純技能的練習(xí)上，應(yīng)注意解決問題的根本大法，即強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的技能操作，并注意引導(dǎo)學(xué)生自己去體驗(yàn)、感悟、總結(jié)、概括技能運(yùn)用的步驟、方法，在數(shù)學(xué)基本技能演練的過程中，體驗(yàn)技能的嫻熟，悟方法.

3 在數(shù)學(xué)基本思想的形成過程中，體驗(yàn)思想的統(tǒng)領(lǐng)，悟本質(zhì)

“數(shù)學(xué)基本知識(shí)”被稱為數(shù)學(xué)的“骨骼”，“基本技能”被稱為數(shù)學(xué)的“血肉”，而“數(shù)學(xué)思想”被稱為數(shù)學(xué)的“靈魂”.“境由心造，相由心生”，“思”上“田”下“心”，“心之田”也;“想”上“相”下“心”，“心之相”也，所以思想如何，對(duì)事物的判斷就如何.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是認(rèn)識(shí)具體數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)律、方法等的過程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想;數(shù)學(xué)方法是指數(shù)學(xué)活動(dòng)中所采用的途徑、方式、手段、策略等，是思想轉(zhuǎn)化而來的具體操作方法，可以提高效果和效率.數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是緊密聯(lián)系的.通常在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的指導(dǎo)思想時(shí)稱數(shù)學(xué)思想，在強(qiáng)調(diào)具體操作過程時(shí)則稱數(shù)學(xué)方法[9].數(shù)學(xué)思想方法是具有普適性、遷移能力強(qiáng)的“根本大法”，所以，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)無法立竿見影，需要持之以恒、潛移默化、潤物細(xì)無聲的慢慢滲透、提煉、概括.數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué)可分為：宏觀層面的一般性數(shù)學(xué)思想教學(xué)、中觀層面的稍顯具體的數(shù)學(xué)思想提煉、微觀層面的具體解題方法等[10].數(shù)學(xué)思想方法隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程中，而知識(shí)的發(fā)展是按邏輯順序展開的.所以，數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展也有一定的順序.因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要注意“有序性”;數(shù)學(xué)思想方法的形成，需要經(jīng)歷較長的過程，尤其是那些高度概括性的、統(tǒng)攝性強(qiáng)的并不能與知識(shí)、技能同步掌握，這時(shí)既要講究概括水平由低到高的有序性，更要注意適當(dāng)拉長“悟”的過程，“悟”需要一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步逼近精神實(shí)質(zhì)的過程，要在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法上下功夫.因此，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要善用變式策略，通過適當(dāng)變化問題情境，把在解題思想方法上相似或相關(guān)的內(nèi)容，用變式的形式串聯(lián)起來，在條件變化、結(jié)論發(fā)散、適當(dāng)引申、背景復(fù)雜化等變化中求不變，從變式中領(lǐng)悟真諦，從經(jīng)驗(yàn)中掌握規(guī)律.“經(jīng)驗(yàn)”是具體的，“具體”中蘊(yùn)含著豐富的、多樣的信息，要培養(yǎng)“從一般規(guī)律的高度考察具體事例的意識(shí)”，養(yǎng)成“透過現(xiàn)象看本質(zhì)的習(xí)慣”，善于把隱藏在“表面現(xiàn)象”背后的更有“含金量”的數(shù)學(xué)思想方法知識(shí)挖掘出來，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于解題活動(dòng)的指導(dǎo)引領(lǐng)意義.沒有數(shù)學(xué)思想方法的滲透，就如同一棵枯萎的樹，不能發(fā)芽、展葉、開花、更不能結(jié)果;沒有數(shù)學(xué)思想方法的指引，就缺乏觀察問題的角度和技能操作的手段，“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”就成“撞大運(yùn)”，可遇而不可求.巴爾扎克曾說過：“一個(gè)真正能思想的人才是一個(gè)力量無窮的人”.同樣，有“數(shù)學(xué)思想”引領(lǐng)地?cái)?shù)學(xué)才是有“靈魂的數(shù)學(xué)”“力量無窮的數(shù)學(xué)”.

4 在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的粘合過程中，體驗(yàn)思維的展開，悟規(guī)律

張奠宙先生提出的數(shù)學(xué)“四基”關(guān)系是如圖1的立方體，其中第一維度，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的積累過程;第二維度是數(shù)學(xué)基本技能的演練過程;第三維度是數(shù)學(xué)基本思想的形成過程;數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是充填在三維模塊中間的粘合劑[11].中學(xué)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要是從特例入手.嘗試歸納探索一般規(guī)律或結(jié)論[12]，通過經(jīng)歷觀察聯(lián)想、合情猜想、數(shù)學(xué)表達(dá)、驗(yàn)證證明等活動(dòng)過程，體驗(yàn)和感悟歸納推理和演繹推理的完整思考過程，主要獲得“思維經(jīng)驗(yàn)”.其中，“觀察聯(lián)想”是積累獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的第一階段，數(shù)學(xué)中的觀察包括觀察“現(xiàn)象”和觀察“關(guān)系”.即從不同現(xiàn)象事物中察出“共性”“本質(zhì)”，從相似現(xiàn)象中察出“區(qū)別”“聯(lián)系”，在“異中察同”，在“同中察異”，既觀察到“共性”“特性”“異性”，又觀察到事物之間的“區(qū)別”“聯(lián)系”，進(jìn)而展開聯(lián)想，對(duì)已有的事物認(rèn)識(shí)進(jìn)行重新組合、再加工.所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、發(fā)現(xiàn)問題;“合情猜想”是積累獲得數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的第二階段，“合情猜想”包含由特殊到一般的“歸納猜想”，以及由此及彼、觸類旁通的“類比猜想”.波利亞將“聯(lián)想”分成“啟發(fā)性聯(lián)想”和“支持性聯(lián)想”，“啟發(fā)性聯(lián)想”由觀察得到啟發(fā)，通過特例揭示，利用歸納推理得到猜想，得到猜想后用支持性聯(lián)想去證明或推翻，即用其他特例驗(yàn)證啟發(fā)性聯(lián)想得到的猜想.所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考、分析問題;“合情猜想”得到的結(jié)論還需要借助“數(shù)學(xué)表達(dá)”完成問題的提出，“數(shù)學(xué)表達(dá)”就是將“合情猜想”得到的結(jié)論用文字語言、符號(hào)語言、圖形語言進(jìn)行敘述.所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)、提出問題;通過“觀察聯(lián)想”“合情猜想”“數(shù)學(xué)表達(dá)”等歸納、類比推理發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律或結(jié)論，還需要驗(yàn)證證明，對(duì)結(jié)論進(jìn)行簡單說理或反例驗(yàn)證或演繹推理證明.所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的方式、方法、解決問題.數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是綜合性的，是“過程”和“結(jié)果”的統(tǒng)一，強(qiáng)調(diào)個(gè)人的親身經(jīng)歷，是彌補(bǔ)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能不能涵蓋之不足[12].因此，教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生在基本活動(dòng)的粘合過程中體驗(yàn)思維展開的次序、動(dòng)作，在思維的展開過程中，領(lǐng)悟思維的規(guī)律，積淀有意義的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

5 結(jié)語：“四基”沃土肥，“素養(yǎng)”花開旺

新版《課標(biāo)》指出：核心素養(yǎng)是“四基”的繼承和發(fā)展;“四基”是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的沃土[1].數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能主要體現(xiàn)為結(jié)果性的知識(shí)、客觀性的事實(shí)，而數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)則是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生主體獲得的主觀性體驗(yàn)和感悟，它們的結(jié)合，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的結(jié)果與過程、客觀與主觀、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)、外在與內(nèi)化有機(jī)地結(jié)合起來，相輔相成，相互為補(bǔ)[13].教學(xué)中，教師要善于根據(jù)“四基”特點(diǎn)，發(fā)揮“四基”特長，引導(dǎo)學(xué)生自主體驗(yàn)與思想感悟，讓素養(yǎng)根植于肥沃的“四基”土壤.

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[13]黃翔等，從“四基”“四能”到“三會(huì)”——一條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019，28 （5）：37-40（本文系2020年度福建省中青年教師教育教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究專項(xiàng)）“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的‘單元一課時(shí)’教學(xué)研究”（項(xiàng)目編號(hào)：JSZJ20130）;福建省“十三五”規(guī)劃2020年度課題“大概念統(tǒng)領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實(shí)踐策略研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：FJJKXB20-786）研究成果）