含多吸引子的憶阻混沌系統(tǒng)的分析與實現(xiàn)

曹可，賴強(qiáng)，賴聰

華東交通大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，江西南昌 330013

自1963年第1個蝴蝶型混沌吸引子Lorenz系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)以來，人們對混沌理論的研究與應(yīng)用的探索已經(jīng)超過50 a.目前，混沌理論在混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［1］、保密通信［2］、圖像加密［3-5］、多智能體控制［6］和混沌遺傳算法［7-8］等應(yīng)用方面都有較大發(fā)展.1971 年CHUA［9］預(yù)測了第4種基本電路器件憶阻器的存在.2008 年，HP 實驗室利用TiO2和金屬Pt 成功制備了具有憶阻器特性的納米級二端器件［10］，在實物層面上驗證了CHUA的猜測.在此以后，研究者對憶阻器的興趣更加濃厚.利用憶阻器來構(gòu)建混沌系統(tǒng)，可以有效增加系統(tǒng)的復(fù)雜度和動態(tài)特性［11］，因此憶阻器在混沌研究中的應(yīng)用已受到廣泛關(guān)注.

目前，憶阻混沌系統(tǒng)的構(gòu)建方式大致包括兩個方向：①憶阻器為主體構(gòu)建新的混沌系統(tǒng)，即利用不同的憶阻模型輔以較為簡單的外圍電路構(gòu)成新系統(tǒng).LAI等［12］將正弦憶阻器作為額外的反饋控制輸入構(gòu)成了一個憶阻混沌電路，該電路只由包括憶阻器在內(nèi)的3個器件組成，利用新引入的控制輸入讓系統(tǒng)產(chǎn)生了極端多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.XU 等［13］利用憶阻器，記憶電感和線性無源電容構(gòu)成了具有線平衡點的憶阻混沌系統(tǒng)，可產(chǎn)生共存吸引子等復(fù)雜的動力學(xué)行為.LI等［14］研究了基于憶阻器串并聯(lián)構(gòu)成的具有多穩(wěn)態(tài)的憶阻混沌系統(tǒng).②向系統(tǒng)直接添加憶阻器，引入憶阻器前原系統(tǒng)大多已存在混沌現(xiàn)象，但憶阻器的應(yīng)用使系統(tǒng)在混沌行為和動力學(xué)特性上產(chǎn)生了不同方向上的改進(jìn)，提供了具有更復(fù)雜動力學(xué)行為的高性能系統(tǒng).阮靜雅等［15］將二次型磁控憶阻器作為簡化Lorenz系統(tǒng)的正反饋項構(gòu)建了一個新的超混沌系統(tǒng)，并通過參數(shù)調(diào)整發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)的多吸引子共存和狀態(tài)轉(zhuǎn)移行為.MA 等［16］提出了一個具有多渦卷吸引子的憶阻混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)利用憶阻器和RCL并聯(lián)結(jié)之間的耦合強(qiáng)度控制混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，最終得出系統(tǒng)中利用憶阻器產(chǎn)生適當(dāng)程度的正反饋作用可以更有效地觸發(fā)混沌現(xiàn)象的結(jié)論.目前，向混沌系統(tǒng)中引入憶阻器作為系統(tǒng)負(fù)反饋項的研究相對較少，且構(gòu)建的系統(tǒng)大多只具有較簡單的動力學(xué)特性.但是在混沌保密通信，圖像處理等信息加密領(lǐng)域的研究迫切需要高性能的混沌系統(tǒng).因此，研究具有復(fù)雜動力學(xué)行為的憶阻負(fù)反饋混沌系統(tǒng)有著重要的應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義.目前對于憶阻混沌系統(tǒng)的性質(zhì)分析主要包括常規(guī)性質(zhì)分析和動力學(xué)行為分析，研究發(fā)現(xiàn)憶阻混沌電路的特殊動力學(xué)行為主要包括共存吸引子［17-19］與極端多穩(wěn)態(tài)［20-21］，隱藏吸引子［22-23］和瞬態(tài)轉(zhuǎn)移［24］等現(xiàn)象.這些特性對系統(tǒng)的性能與應(yīng)用產(chǎn)生了很大影響，所以對具有復(fù)雜動力學(xué)行為的憶阻混沌系統(tǒng)的分析成為研究熱點.

本研究采用磁控憶阻器作為Sprott-J 系統(tǒng)［25］的負(fù)反饋項，建立一個具有復(fù)雜動力學(xué)行為的新憶阻Sprott-J 混沌系統(tǒng)，分析其基本動力學(xué)特性和混沌分岔特性，并通過改變系統(tǒng)參數(shù)和初始條件，研究系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象.基于系統(tǒng)方程設(shè)計系統(tǒng)的模擬電路并完成電路仿真驗證，證明理論分析結(jié)果和電路實驗結(jié)果吻合，驗證了系統(tǒng)的物理可行性，為系統(tǒng)在高性能混沌加密領(lǐng)域的應(yīng)用提供條件.

1 新憶阻混沌系統(tǒng)構(gòu)建

對于一個簡單的三維混沌Sprott-J 系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可表示為

其中，m和n0為憶阻器參數(shù)，n= 3n0.在該憶阻器兩端施加不同頻率的正弦激勵電壓v=v1sin(2πft）.其中，v1為電壓幅值；f為電壓頻率.圖1為不同電壓頻率下憶阻器的伏安特性曲線.由圖1可見，憶阻器模型的伏安特性曲線符合憶阻器特有的“8”字型磁滯回線.

圖1 憶阻器滯回曲線Fig.1 Hysteresis curves of memristor.

對于系統(tǒng)（1），本研究引入磁控憶阻器模型（3）作為系統(tǒng)的非線性負(fù)反饋項，構(gòu)建出新的4維憶阻Sprott-J混沌系統(tǒng)，即

其中，a和b為憶阻混沌系統(tǒng)的可變參數(shù)；m和n為憶阻器的可變參數(shù)；w為引入憶阻器后的系統(tǒng)第4維度狀態(tài)變量；x?、y?、z?和w?分別為系統(tǒng)變量x、y、z和w對時間的導(dǎo)數(shù).

設(shè)參數(shù)a= 3.6、b= 3、m= 0.2 和n= 0.2，則系 統(tǒng)（4）在 初 始 條 件 [CT1，CT2，CT3，CT4]=[1，1，1，1]時出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.圖2 為該系統(tǒng)的位于y-z、x-y、x-z和x-w平面上的相軌跡圖.

2 新憶阻混沌系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性分析

對系統(tǒng)（4）進(jìn)行基本動力學(xué)行為分析，包括系統(tǒng)的耗散度、平衡點的存在與穩(wěn)定性、系統(tǒng)的分岔與混沌特性，以及多吸引子共存現(xiàn)象.

2.1 系統(tǒng)耗散度分析

由耗散度計算公式（5）可得系統(tǒng)（4）的耗散度為?·V=-2 < 0，即在不同系統(tǒng)參數(shù)和初始條件下，系統(tǒng)的耗散度恒小于0，表明系統(tǒng)一直處于耗散狀態(tài).其中，V為耗散體積.

2.2 平衡點集與穩(wěn)定性

分析系統(tǒng)的平衡點集可獲得系統(tǒng)在各平衡點上的穩(wěn)定性，深入了解系統(tǒng)的各項性質(zhì).令系統(tǒng)（4）的各微分項等于0，可得平衡狀態(tài)方程組為

求解方程組（6），可得系統(tǒng)的平衡點集S0={(x，y，z，w)|x=y=z= 0，w=k}.其中，k為任意實數(shù)，即系統(tǒng)具有一個線平衡點集.在S0處對系統(tǒng)進(jìn)行線性化，求得其Jacobian矩陣為

將J帶入|J-λE|= 0，求得含有系統(tǒng)參數(shù)的特征方程為

選取k= 0 時的平衡點為S1=(0，0，0，0)，求得此時系統(tǒng)（4）的4 個特征根λ1= 0，λ2=-2.694 6，λ3=-0.347 3 - 1.597 2i，λ4=-0.347 3 + 1.597 2i.其中，λ3和λ4是一對具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù)根.該平衡點S1是一個不穩(wěn)定點.當(dāng)k= 2 時平衡點為S2=(0，0，0，2)，此時系統(tǒng)（4）的4 個特征根分別為λ1= 0，λ2=-2.507 2，λ3=-0.253 6 - 1.675 5i，λ4=-0.253 6 + 1.675 5i.其中，λ3和λ4是具有負(fù)實部的共軛復(fù)數(shù).該平衡點是一個穩(wěn)定點.對于一些特定平衡點的分析結(jié)果與理論推導(dǎo)相一致，進(jìn)一步印證了平衡點分析的正確性.

2.3 Lyapunov指數(shù)和維數(shù)

分析系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，可以得到系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的理論依據(jù).設(shè)系統(tǒng)（4）的參數(shù)a= 3.6、b= 3、m= 0.2 和n= 0.2，初 始 條 件［CT1CT2CT3CT4］=[1，1，1，1]，則利用Wolf 法計算系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)［27］，可得此時的4 個Lyapunov 指數(shù)分別為LE1= 0.168 22、LE2= 0.000 66、LE3=-0.000 77 和LE4=-2.168 10.系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于0，且所有指數(shù)和小于0，所以該系統(tǒng)是一個混沌系統(tǒng).

混沌系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為

其中，p的值為系統(tǒng)的維數(shù)減1，當(dāng)i取不同值時LEi分別取系統(tǒng)的各項Lyapunov指數(shù)值.由式（9）可得，新憶阻Sprott-J 混沌系統(tǒng)D=3.077 5，所以該系統(tǒng)是分?jǐn)?shù)維系統(tǒng)，進(jìn)一步表明系統(tǒng)是混沌的.

3 新憶阻混沌系統(tǒng)動力行為學(xué)分析

利用Matlab 軟件的ode45 函數(shù)繪制新憶祖Sprotl-J 混沌系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜，用于分析其混沌分岔特性和參數(shù)特性.分析混沌分岔特性時算法的時間區(qū)域為［0，1 000］，步長Δt1= 0.01.研究吸引子共存時設(shè)置的時間區(qū)域為［0，500］，步長Δt2= 0.002.

3.1 改變參數(shù)a時系統(tǒng)的混沌分岔特性

固定參數(shù)b= 3、m= 0.2 和n= 0.2，設(shè)置初始條件為［CT1CT2CT3CT4］=［1，1，1，1］，在［1.5，6.5］區(qū)間內(nèi)改變系統(tǒng)（4）的參數(shù)a，得到系統(tǒng)（4）的Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖如圖3.由圖3（b）的分岔圖觀察到系統(tǒng)從混沌進(jìn)入周期的路徑，再綜合考慮指數(shù)譜可得當(dāng)a取不同值時的系統(tǒng)狀態(tài).當(dāng)a∈[1.50，1.95]時，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)接近0，此時系統(tǒng)處于周期3 狀態(tài)；當(dāng)a∈(1.95，4.67]時，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)在0 ～ 0.3，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)a取值在2.5、3.5 和4.1 附近時，系統(tǒng)出現(xiàn)短暫的周期窗口.隨著a的增大，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)接近并最終穩(wěn)定為0，系統(tǒng)經(jīng)反倍周期分岔從混沌狀態(tài)進(jìn)入周期狀態(tài).當(dāng)a∈(4.67，4.73]時，系統(tǒng)進(jìn)入周期4 狀態(tài)；當(dāng)a∈(4.73，5.69]時，系統(tǒng)屬于周期2 狀態(tài)；當(dāng)a∈(5.69，6.5]時，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài).可見，圖3所示的分岔圖與指數(shù)譜現(xiàn)象吻合.

圖3 a ∈[1.5，6.5]時系統(tǒng)（4）的（a）指數(shù)譜和（b）分岔圖Fig.3 (a)Exponential spectrum and(b)bifurcation diagram for system(4)when a ∈[1.5,6.5].

圖4為系統(tǒng)（4）在不同a值條件下的x-y平面相軌跡圖.由圖4可見，當(dāng)a= 2.15時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子；當(dāng)a= 3.1 時，系統(tǒng)混沌軌跡的復(fù)雜程度加大；當(dāng)a= 4.43時，系統(tǒng)的混沌吸引子發(fā)生改變；當(dāng)a= 4.81時，系統(tǒng)出現(xiàn)周期2吸引子，即系統(tǒng)處于周期狀態(tài).可見，系統(tǒng)（4）的x-y平面相軌跡圖與其分岔圖（圖3（b））相符.

圖4 改變參數(shù)a時系統(tǒng)（4）的x-y相軌跡圖 （a）a = 2.15；（b）a = 3.10；（c）a = 4.43；（d）a = 4.81Fig.4 x-y phase trajectory for system(4)with(a)a = 2.15,(b)a = 3.10,(c)a = 4.43,(d)a = 4.81.

3.2 憶阻器參數(shù)m變化時的混沌特性

固定參數(shù)a= 3.6、b= 3和n= 0.2，給定系統(tǒng)（4）的初始條件［CT1CT2CT3CT4］=［1，1，1，1］，在［0，2］范圍內(nèi)改變m參數(shù)，此時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖5.由圖5 可見，隨著m的增大， 系統(tǒng)由混沌狀態(tài)進(jìn)入周期狀態(tài). 當(dāng)m∈[0，0.65]時，系統(tǒng)存在大于0 的最大Lyapunov指數(shù)，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)m取值處于0.17、0.32 和0.48 附近時，系統(tǒng)出現(xiàn)小范圍的周期窗口.隨著m持續(xù)增大，系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)從0.2 逐漸降到0，系統(tǒng)經(jīng)反倍周期分岔進(jìn)入周期狀態(tài).當(dāng)m∈(0.65，0.72]時，系統(tǒng)處于周期4狀態(tài)；當(dāng)m∈(0.72，1.02]時，系統(tǒng)進(jìn)入周期2 狀態(tài)；當(dāng)m∈(1.02，2]時，系統(tǒng)處于周期1狀態(tài).

圖5 m ∈[0，2]時的（a）指數(shù)譜和（b）分岔圖Fig.5 （a）Exponential spectrum and（b）bifurcation diagram when m ∈[0，2].

3.3 吸引子共存

對系統(tǒng)（4）在一定參數(shù)和初始條件下的動態(tài)演化進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)存在多吸引子共存現(xiàn)象.固定參數(shù)b= 3、n= 0.2 和m= 0.2，改變系統(tǒng)初始條件CT4.圖6給出了當(dāng)CT4分別為?1、1.23和1.55，a在［1.5，6.5］內(nèi)變化時的最大Lyapunov指數(shù)圖和分岔圖.圖6（b）中藍(lán)色曲線表示初始條件［CT1CT2CT3CT4］=［1，1，1，?1］時系統(tǒng)的組合分岔圖；紅色表示［CT1CT2CT3CT4］=［1，1，1，1.23］時系統(tǒng)的組合分岔圖；綠色表示［CT1CT2CT3CT4］=［1，1，1，1.55］時系統(tǒng)的組合分岔圖.

由圖6（a）可見，當(dāng)初始條件CT4=-1時，系統(tǒng)在a∈[1.5，2.35] 條 件 下 處 于 周 期 狀 態(tài)；a∈(2.35，5.21]條件下，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)也在此范圍內(nèi)取得最大值；a∈(5.21，5.63]時的最大Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài).隨著a的持續(xù)增大，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌并在a= 6.45附近出現(xiàn)反倍周期分岔現(xiàn)象.當(dāng)CT4= 1.23 時，系統(tǒng)在a∈[1.5，2.05]條件下處于周期狀態(tài)；在a∈(2.05，4.20]條件下出現(xiàn)混沌狀態(tài)，此范圍內(nèi)也伴隨著短暫的周期窗口；在a∈(4.20，6.5]條件下由反倍周期分岔從混沌進(jìn)入周 期 狀 態(tài). 當(dāng) CT4= 1.55 時， 系 統(tǒng) 在a∈[1.5，2.07] 條 件 下 處 于 周 期 狀 態(tài)； 在a∈(2.07，3.64]條件下進(jìn)入混沌，此時系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)出現(xiàn)極值；在a∈(3.64，6.5]條件下系統(tǒng)出現(xiàn)反倍周期分岔現(xiàn)象.圖6（b）組合分岔圖清晰地表現(xiàn)了系統(tǒng)在不同初始條件下從混沌進(jìn)入周期的路徑.相比另外兩種取值，當(dāng)CT4=?1時，系統(tǒng)出現(xiàn)更大的混沌面積和更廣范圍的混沌分布.可見，系統(tǒng)存在多吸引子共存現(xiàn)象，且初始條件對不同吸引子的混沌特性與分岔現(xiàn)象具有很大影響.

圖6 不同CT4時的（a）最大Lyapunov指數(shù)圖和（b）組合分岔圖Fig.6 (a)Maximum Lyapunov exponent diagram and(b)combined bifurcation diagram at different CT4.

圖7是不同初始條件（CT4）取值下，a取不同值時系統(tǒng)（4）的x-y相軌跡圖.表1 列出了對應(yīng)情況下系統(tǒng)的最大Lyapunov 指數(shù)值.當(dāng)a= 2 時，3 種初始條件下系統(tǒng)均為周期狀態(tài)，各初始條件下的最大Lyapunov 指數(shù)均接近0；當(dāng)a分別為2.2 和4.5時，系統(tǒng)出現(xiàn)周期狀態(tài)與混沌狀態(tài)共存；當(dāng)a分別為2.5、3和3.6時，3個初始條件下系統(tǒng)均處于混沌狀態(tài)，此時系統(tǒng)各狀態(tài)下的最大Lyapunov指數(shù)均大于0.05，出現(xiàn)3種混沌共存現(xiàn)象.分析可得，圖7 中不同情況下的相軌跡圖與表1 中最大Lyapunov指數(shù)的數(shù)值大小相符.

圖7 不同初始條件CT4對應(yīng)的x-y相圖 （a）a = 2；（b）a = 2.2；（c）a = 2.5；（d）a = 3；（e）a = 3.6；（f）a = 4.5（CT4 =-1的軌跡為藍(lán)色，CT4 = 1.23的軌跡為紅色，CT4 = 1.55的軌跡為綠色）Fig.7 x-y phase diagram with changing initial condition CT4.(a)a = 2,(b)a = 2.2,(c)a = 2.5,(d)a = 3,(e)a = 3.6,(f)a = 4.5.(Blue curves are for CT4 =-1,red curves are for CT4 = 1.23,and green curves are for CT4 = 1.55.)

表1 圖7中不同吸引子時的最大Lyapunov指數(shù)Table 1 Maximum Lyapunov exponents with different attractors in Fig.7

4 電路實現(xiàn)與仿真

為進(jìn)一步驗證系統(tǒng)（4）電路的可行性，采用Multisim 軟件設(shè)計系統(tǒng)電路并進(jìn)行仿真分析.圖8為本研究設(shè)計的3階磁控憶阻器電路.

圖8 三階磁控憶阻器電路Fig.8 Three-order magnetic control memristor circuit.

以憶阻器電路模型作為組成部分設(shè)計新憶阻Sprott-J 混沌系統(tǒng)的電路.由于系統(tǒng)狀態(tài)變量范圍超過運(yùn)算放大器的動態(tài)放大區(qū)，因此，對電路內(nèi)變量進(jìn)行均勻壓縮，得到（10x，10y，10z，10w）.電路使用增益為0.1 的線性模擬乘法器AD633.利用時間尺度變化聯(lián)系微分方程和積分常數(shù)，取τ= 1 000可得變換后系統(tǒng)（4）的方程為

圖9 為采用Multisim 軟件設(shè)計的憶阻混沌系統(tǒng)在x、y、z維度和憶阻器的w維度的電路原理圖，各維度之間通過全局連接實現(xiàn)耦合.其中，C1=C2=C3=C4= 10 nF；R1= 2.781 kΩ；R6= 5 kΩ；R14= 3.33 kΩ；R18= 0.1 kΩ；R15= 100 kΩ；R2=R7=R12=R20= 100 kΩ；R37= 2kΩ；R3=R4=R5=R8=R9=R10=R11=R13= 10 kΩ；R15=R16=R17=R19=R21=R22=R23=R24= 10 kΩ；R31=R32=R33=R34=R35=R36= 10 kΩ.

圖9 憶阻混沌系統(tǒng)電路實現(xiàn) （a）狀態(tài)變量x；（b）狀態(tài)變量y；（c）狀態(tài)變量zFig.9 Circuits of memristive chaotic system for(a)state variable x,(b)state variable y and(c)state variable z.

圖10為對圖9所示憶阻混沌系統(tǒng)電路進(jìn)行仿真的示波器結(jié)果.對比圖10與圖2中系統(tǒng)4維度的相軌跡圖可以發(fā)現(xiàn)，電路實現(xiàn)與數(shù)值模擬的結(jié)果相一致，驗證了新憶阻混沌系統(tǒng)電路設(shè)計的準(zhǔn)確性.

圖10 電路仿真吸引子相圖 （a）y-z；（b）x-y；（c）x-z；（d）x-wFig.10 Circuit simulation attractor phase diagrams for(a)y-z,(b)x-y,(c)x-z,(d)x-w.

結(jié) 語

設(shè)計并研究了一個具有4 個可變參數(shù)的4 維憶阻混沌系統(tǒng).相比原系統(tǒng)，新系統(tǒng)產(chǎn)生了線平衡點集和多共存吸引子，不同于那些只具有限平衡點集的混沌系統(tǒng).隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)的出現(xiàn)周期、擬周期和混沌現(xiàn)象，且出現(xiàn)倍周期分岔路徑.改變初始條件，系統(tǒng)存在無窮多吸引子共存現(xiàn)象.利用數(shù)值分析方法對系統(tǒng)的吸引子共存特性進(jìn)行了分析，驗證了不同初始條件下存在周期共存，周期與混沌共存和混沌與混沌共存的現(xiàn)象.設(shè)計了憶阻Sprott-J 混沌系統(tǒng)的仿真電路，觀察了電路產(chǎn)生的不同相平面圖.比較系統(tǒng)電路仿真現(xiàn)象和數(shù)值仿真計算，兩者獲得了一致的動力學(xué)特征表現(xiàn)，驗證了該系統(tǒng)的物理可行性，系統(tǒng)可應(yīng)用于圖像加密，保密通信領(lǐng)域.