“圓”來如此，用”四點(diǎn)共圓”巧解中考題

樊啟維

摘要：四點(diǎn)共圓在圓內(nèi)接四邊形綜合問題的求解中占據(jù)了重要地位，都是在大題中結(jié)合題目的幾何背景進(jìn)行綜合考查，重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.考查的基本類型有：利用四點(diǎn)共圓證相似，利用四點(diǎn)共圓求最值，這些問題大都利用轉(zhuǎn)化思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓問題，使題目能簡(jiǎn)單求解.

關(guān)鍵詞：中考;四點(diǎn)共圓;相似;轉(zhuǎn)化

四點(diǎn)共圓在圓內(nèi)接四邊形綜合問題的求解中占據(jù)了重要地位，都是在大題中結(jié)合題目的幾何背景進(jìn)行綜合考查，重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.考查的基本類型有：利用四點(diǎn)共圓證相似，利用四點(diǎn)共圓求最值，這些問題大都利用轉(zhuǎn)化思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共圓問題，使題目能簡(jiǎn)單求解.

一、方法提煉

1.四點(diǎn)共圓定義.

如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為“四點(diǎn)共圓”.

2.四點(diǎn)共圓的性質(zhì)

（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角相等.

（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

（3）圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

3.四點(diǎn)共圓的判定

（1）用“角”判定：

①一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上;

②一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上;

③如果兩個(gè)三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

（2）“等線段”判定：

四頂點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等，若OA=OB=OC=OD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

（3）用“比例線段”判定：

若線段AB，CD（或其延長(zhǎng)線）交于點(diǎn)P，且PA·PC=PB·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

二、典例分析

典例1.（2019年濰坊市）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB為直徑，AD=CD.過點(diǎn)D作DE⊥_AB于點(diǎn)E.連接AC交DE于點(diǎn)F.若sin∠CAB=，DF=5，則BC的長(zhǎng)為

【分析】連接BD，如圖，先利用圓周角定理證明∠ADE=∠DAC得到FD=FA=5，再根據(jù)正弦的定義計(jì)算出EF=3，則AE=4，DE=8，接著證明△ADE∽△DBE，利用相似比得到BE=16，所以AB=20，然后在Rt△ABC中利用正弦定義計(jì)算出BC的長(zhǎng).

【方法歸納】若已知圓上四點(diǎn)，常常使用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，找角之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，用“四點(diǎn)共圓”的思想進(jìn)行角的數(shù)量代換，有助于我們更好地解題.

方法二：我們觀察這個(gè)圖形可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B，C，F(xiàn)，0這四點(diǎn)是共圓的，故∠1=∠2=45°（圓中同弧所對(duì)圓周角相等），所以∠1=∠3=45°，加上公共角∠DBE，就能得到△B0F∞△BED，這樣的方法是利用幾何圖形中的變換得到所要的結(jié)論，少了許多計(jì)算.這道題的方法還有很多，還可以過點(diǎn)0向BE作垂線，垂足為M，然后利用勾股定理求解.

[方法歸納]：求線段長(zhǎng)常用的方法就是兩種：利用相似中的比例線段求線段長(zhǎng)或者利用直角三角形中的勾股定理求線段長(zhǎng)，

歸納小結(jié)：有些中考題利用四點(diǎn)共圓的方法解答，可以使思路更清晰，解答過程更加簡(jiǎn)潔。