MPCK視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)分析與設(shè)計——以小學(xué)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”為例

歐慧謀，張 磊

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041）

長期以來，很多教師對如何有效開展教學(xué)分析缺乏理論性認(rèn)識.美國教育家Sulman提出的學(xué)科教學(xué)知識理論（簡稱PCK），恰好可以回答這個問題.所謂PCK，意指教師針對學(xué)生興趣和能力，將學(xué)科知識加以組織、調(diào)整以及呈現(xiàn)，以使學(xué)生更容易接受和理解的教學(xué)方面的知識，它是學(xué)科知識、教育知識及其它相關(guān)知識的有機(jī)融合［1］.數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識（簡稱MPCK），指教師對數(shù)學(xué)學(xué)科知識（簡稱MK）、一般教學(xué)法知識（簡稱PK）以及有關(guān)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識（簡稱CK）的綜合性認(rèn)識［2］.研究表明，MPCK 是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展知識的核心［3］，也是影響數(shù)學(xué)教與學(xué)的關(guān)鍵變量［4］.優(yōu)秀教師之所以優(yōu)秀，很大原因在于他們在日常教學(xué)中形成了豐富的MPCK，反過來又自覺地應(yīng)用MPCK 指導(dǎo)教學(xué)，形成了良性循環(huán).下面以小學(xué)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”為例，從MPCK 視角探討數(shù)學(xué)教學(xué)分析，并由此設(shè)計教學(xué)，期待為數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展與教學(xué)設(shè)計提供參考.

1 MPCK視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)分析

1.1 全面深刻認(rèn)識新知識

MK 是MPCK 的基礎(chǔ)，包括教師對數(shù)學(xué)知識是什么、從何而來、為何而學(xué)以及有何數(shù)學(xué)思想方法等方面的認(rèn)識.在教學(xué)設(shè)計前，教師應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展歷史、知識邏輯以及生活實際，全面深刻梳理新知識，為有效教學(xué)設(shè)計奠定良好基礎(chǔ).

1.1.1 把握新知識的本質(zhì)

新知識是什么？有何結(jié)構(gòu)特征？涉及哪些相關(guān)概念與關(guān)系？教師必須清楚這些問題，否則有效教學(xué)將淪為一句空話.以分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)為例，教材的描述是“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”.從本質(zhì)上看，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)主要涉及分?jǐn)?shù)相等，包括通分（乘法）與約分（除法）兩種轉(zhuǎn)化途徑.從知識結(jié)構(gòu)上看，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)具有二重屬性，是過程（分子和分母同乘或除以非0 數(shù)）與結(jié)果（分?jǐn)?shù)大小不變）的辯證統(tǒng)一.從概念及其關(guān)系上看，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)蘊含分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位以及份數(shù)概念，它們是刻畫“變”與“不變”辯證關(guān)系的基石.這些分析，無疑有助于教師理解分?jǐn)?shù)基本性質(zhì).

1.1.2 了解新知識產(chǎn)生的背景

水有源，樹有根，任何新知識的出現(xiàn)，絕非數(shù)學(xué)家一拍腦袋所創(chuàng)造，而是有著深刻的現(xiàn)實或數(shù)學(xué)背景.教師應(yīng)自覺尋找新知識產(chǎn)生的背景，并把其嵌入教學(xué)實踐.譬如，教師可從知識起點與經(jīng)驗起點兩方面考慮分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)產(chǎn)生的背景.從知識起點看，分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位、份數(shù)及其相互關(guān)系是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的邏輯起點，無論是新課導(dǎo)入，還是性質(zhì)的概括與理解，均要以此為出發(fā)點.從經(jīng)驗起點看，學(xué)生在均分蛋糕、月餅以及折紙等活動中，已經(jīng)積累了相關(guān)經(jīng)驗，教師應(yīng)以此為起點，創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境，促進(jìn)學(xué)習(xí).當(dāng)然，單方面考慮知識與經(jīng)驗意義不大，二者結(jié)合才能使教學(xué)效果最大化.

1.1.3 厘清新知識學(xué)習(xí)的必要性

新知識從舊知識而來，又向下一個新知識而去，了解新知識的未來發(fā)展，對教師把握新知識學(xué)習(xí)的必要性大有裨益.教師在備課時應(yīng)突破單節(jié)知識局限，從單元宏觀角度把握新知識的地位與作用.譬如，教師通過梳理可知：分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是通分、約分與分?jǐn)?shù)大小比較的基石，也是分?jǐn)?shù)運算的基礎(chǔ)；如果不學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，通分與約分將無從談起，異分母分?jǐn)?shù)加減、分?jǐn)?shù)大小比較以及乘除運算等都將舉步維艱.這些認(rèn)識對提高教學(xué)設(shè)計有效性很有幫助.

1.1.4 挖掘新知識背后的思想方法

葉圣陶先生曾說：“教是為了不教.”“教”是前提與手段，“不教”是目的，為了“不教”，教師需要在“教”上下功夫：既要教知識，還應(yīng)教思想方法，讓學(xué)生既“學(xué)會”，又“會學(xué)”.但是，與數(shù)學(xué)知識顯性不同，數(shù)學(xué)思想方法往往隱藏在數(shù)學(xué)知識或問題背后，需要教師深入挖掘.譬如，教師通過挖掘，不難發(fā)現(xiàn)表1所示的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)主要數(shù)學(xué)思想方法.

表1 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)主要數(shù)學(xué)思想方法

1.2 批判性分析與創(chuàng)造性使用教材

教材認(rèn)識屬于PK 范疇［5］，既包括教師對教材編寫特點、優(yōu)點與不足等方面的看法，還包含教師對教材不足所進(jìn)行的優(yōu)化或者重構(gòu).對教材的認(rèn)識程度如何，直接影響著教學(xué)設(shè)計的有效性，教師應(yīng)擦亮雙眼，批判性分析教材，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造性使用教材，使之以更為合理的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，提高教學(xué)效果.

1.2.1 批判性分析教材

批判性分析教材要求教師不盲目照搬教材，而是通過客觀分析，認(rèn)識教材編寫特點、優(yōu)點以及不足，綜合考慮知識、教材、學(xué)生以及教法等教學(xué)因素.下面是對某版教材“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的批判性分析：

（1）編排特點

通過分析，發(fā)現(xiàn)教材按照“直觀認(rèn)識→算式認(rèn)識→歸納概括→說理驗證”編排，詳情如下：

直觀認(rèn)識：拿出三張同樣大小的正方形紙，按照圖1 均分，涂上顏色，并用分?jǐn)?shù)表示涂色部分的大小.

圖1 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)直觀認(rèn)識

圖2 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)算式認(rèn)識

歸納概括：通過“你還能舉出幾個這樣的例子嗎？根據(jù)上面的例子，你可以得出什么規(guī)律？”問題，引導(dǎo)學(xué)生舉三反一，歸納概括分?jǐn)?shù)基本性質(zhì).

說理驗證：通過“根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律，你能說明分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)嗎？”問題，啟發(fā)學(xué)生驗證分?jǐn)?shù)基本性質(zhì).

（2）教材優(yōu)點

教材遵循直觀到抽象、特殊到一般、先猜后證的學(xué)習(xí)規(guī)律，有序呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的發(fā)生、發(fā)展與形成過程，逐步揭示分子分母“變”與分?jǐn)?shù)大小“不變”的辯證關(guān)系.

問題驅(qū)動：教材摒棄傳統(tǒng)平鋪直敘的知識編排方式，在知識發(fā)生、發(fā)展與形成的思維關(guān)鍵處設(shè)計循序漸進(jìn)問題，啟發(fā)學(xué)生動手操作、分析思考、抽象概括、說理驗證，促進(jìn)學(xué)習(xí)，深化理解.

（3）教材不足

分?jǐn)?shù)大小比較、異分母加減是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)產(chǎn)生的邏輯背景，但教材“折紙-涂色”情境與此關(guān)聯(lián)不大，無法揭示為何而學(xué).

學(xué)生均分經(jīng)驗與對稱有關(guān)（一般只能把一個物體均分為偶數(shù)份），與此對應(yīng)的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)表現(xiàn)為“偶數(shù)情形”：分子與分母同乘或除以正偶數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變.對于“奇數(shù)情形”，教材只字不提，這種由偶數(shù)直接跳躍到整數(shù)的處理方式，很難說符合抽象概括認(rèn)知規(guī)律.

1.2.2 創(chuàng)造性使用教材

創(chuàng)造性使用教材意指教師在批判性分析教材的基礎(chǔ)上，對教材存在的問題進(jìn)行優(yōu)化或重構(gòu)，使之體現(xiàn)知識發(fā)展規(guī)律與學(xué)習(xí)規(guī)律.教師不僅需要擁有一雙慧眼，而且要具備一定的教材優(yōu)化與重構(gòu)能力.

針對“折紙-涂色”情境無法揭示為何而學(xué)問題，教師可以先創(chuàng)設(shè)分?jǐn)?shù)加減或大小比較問題，揭示分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)學(xué)習(xí)的必要性；然后再通過“折紙-涂色”情境，啟發(fā)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

針對切蛋糕、折紙等情境無法突破分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)“偶數(shù)情形”的局限，教師不妨提供已經(jīng)均分為奇數(shù)份的圖形，讓學(xué)生類比學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)“奇數(shù)情形”的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì).

1.3 準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)實際

CK是MPCK的重要組成部分，主要包括教師對學(xué)生數(shù)學(xué)知識掌握、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理等方面的認(rèn)識.教師應(yīng)準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)實際，尋找并突破學(xué)生學(xué)習(xí)疑難易錯點，以提高數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的針對性與合理性.

1.3.1 準(zhǔn)確了解學(xué)生學(xué)習(xí)實際

學(xué)生學(xué)習(xí)實際包括知識儲備與活動經(jīng)驗積累.對于知識儲備的了解，教師在繼承作業(yè)與考試傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上，可以嘗試交流、提問以及調(diào)查等靈活多樣的評價方式.譬如，教師可以創(chuàng)設(shè)“話說分?jǐn)?shù)”教學(xué)環(huán)節(jié)，考查學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的掌握情況.對于活動經(jīng)驗，教師要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，以此創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境.但是，教師也應(yīng)明白，學(xué)生活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識是有差距的，必要時應(yīng)搭建“教學(xué)支架”.前述針對學(xué)生缺乏“把1個物體均分為奇數(shù)份”的經(jīng)驗而提供的“奇數(shù)情形”學(xué)習(xí)引例，不失為成功的“教學(xué)支架”.

1.3.2 尋找并突破學(xué)生學(xué)習(xí)疑難易錯點

數(shù)學(xué)知識及其關(guān)系抽象，出現(xiàn)疑難易錯點在所難免.如果教師疏忽或處理不當(dāng)，疑難易錯點容易變成“攔路虎”，不僅影響學(xué)生學(xué)習(xí)，還給學(xué)生心理蒙上陰影.相反，如果教師預(yù)判準(zhǔn)確，找到成因，制定對策，則可因禍得福.譬如，針對分子分母“變”與分?jǐn)?shù)大小“不變”抽象的辯證關(guān)系，教師可創(chuàng)設(shè)“直觀認(rèn)識+算式認(rèn)識+揭示道理”等教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步分解學(xué)習(xí)難點.

1.4 選擇并優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教學(xué)方法的認(rèn)識是PK 的核心，既包括教師對數(shù)學(xué)教學(xué)方法的見解，還包含教師面對特定數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容時如何選擇或者優(yōu)化教學(xué)方法的看法.在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計過程中，教師應(yīng)綜合考慮知識、教材以及學(xué)生等教學(xué)因素，選擇并優(yōu)化教學(xué)方法.

1.4.1 選擇數(shù)學(xué)教學(xué)方法

數(shù)學(xué)教學(xué)方法豐富多樣，除講授法、討論法、演示法、合作學(xué)習(xí)法、提問啟發(fā)法等一般教學(xué)方法外，還包括問題驅(qū)動、數(shù)學(xué)直觀、多元表征、猜想與驗證、類比、變式訓(xùn)練、最近發(fā)展區(qū)、APOS 理論（包括“操作-過程-對象-圖式”四個過程）等具有數(shù)學(xué)學(xué)科特點的教學(xué)方法.深入分析，挖掘關(guān)鍵數(shù)學(xué)教學(xué)方法，對教師架設(shè)教學(xué)框架、驅(qū)動學(xué)生思考、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)等具有積極意義.表2 是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)關(guān)鍵的數(shù)學(xué)教學(xué)方法.

表2 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)關(guān)鍵數(shù)學(xué)教學(xué)方法

1.4.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法

同一個教學(xué)方法，不同教師教學(xué)效果往往各異.以問題驅(qū)動為例，大家的初衷都是通過問題驅(qū)動學(xué)生思考、促進(jìn)學(xué)習(xí)，但有些教師達(dá)不到預(yù)期效果，這與問題設(shè)計質(zhì)量不無關(guān)系.一方面，問題有真?zhèn)沃郑切┠艽偈垢拍罨蛟肀话l(fā)現(xiàn)的原始問題稱為真問題，否則是偽問題［6］.教師應(yīng)綜合考慮學(xué)生知識背景與活動經(jīng)驗，設(shè)計出真問題.切蛋糕問題能促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，可看成真問題.另一方面，教師應(yīng)按照知識的發(fā)生、發(fā)展與形成過程，通過問題鏈把教學(xué)方法進(jìn)行有機(jī)串聯(lián).譬如，在分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)中，可以設(shè)計14 個問題（詳見后面教學(xué)設(shè)計），把關(guān)鍵教學(xué)方法串聯(lián)起來，以充分發(fā)揮教學(xué)方法的有效性.

2 MPCK視角下的“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計

基于MPCK視角下數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的分析，設(shè)計如下分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)教學(xué)過程.

2.1 話說分?jǐn)?shù)，鋪墊新課

［設(shè)計意圖］通過具體分?jǐn)?shù)，考查學(xué)生對分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位、份數(shù)概念及其相互間關(guān)系的理解，同時為新課做好鋪墊.

2.2 創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考

問題2：小明生日當(dāng)天，爸爸買了一個冰淇淋蛋糕.小明吃了其中，爸爸和媽媽分別吃了.請問小明和爸爸一共吃了多少塊？小明和媽媽呢？（請用分?jǐn)?shù)回答）

［設(shè)計意圖］依據(jù)學(xué)生活動經(jīng)驗創(chuàng)設(shè)情境，在同分母與異分母分?jǐn)?shù)加減的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題，既能拉近分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)與學(xué)生的距離，為學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好條件，又可揭示分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)學(xué)習(xí)的必要性.

2.3 解決問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

給每位學(xué)生分發(fā)一張圓形紙片（充當(dāng)?shù)案猓?，要求學(xué)生折紙均分，并以不同顏色表示小明、爸爸與媽媽所吃蛋糕，最后展示成果.

圖3 小明與媽媽所吃蛋糕之和

圖4 小明與爸爸所吃蛋糕之和

2.4 舉一反三，類比學(xué)習(xí)

問題6：你還能舉出幾個這樣的例子嗎？從中又得出什么規(guī)律？

2.4.1 學(xué)生動手操作

拿出三張同樣大小的正方形紙，按照圖1把它們均分，涂上顏色，并用分?jǐn)?shù)表示涂色部分的大小.

問題7：這些分?jǐn)?shù)有何關(guān)系？你能否類比前面的方法，從圖形與算術(shù)兩個角度說明分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系？

［設(shè)計意圖］啟發(fā)學(xué)生動手操作、類比學(xué)習(xí)，在知識“再創(chuàng)造”的過程中體驗成功的喜悅.

2.4.2 教師畫板演示

問題8：切蛋糕與折紙均有“對稱”的意思，所以“分子分母同乘或除以的數(shù)均為正偶數(shù)”.如果把“偶數(shù)”換成“奇數(shù)”，還會得出類似規(guī)律嗎？

如圖5 所示，教師利用幾何畫板動態(tài)演示線段3 等分、9 等分、27 等分，并分別從中取2、6、18小段.

圖5 分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)“奇數(shù)情形”

問題9：類比前面的方法，你能結(jié)合圖形說說對應(yīng)分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系嗎？

［設(shè)計意圖］借助幾何畫板，動態(tài)演示“把一個物體均分為奇數(shù)份”，直觀分析“奇數(shù)情形”的分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，為全面認(rèn)識分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)提供條件.

2.5 歸納概括，說明驗證

問題10：根據(jù)上面的例子，你可以得出什么規(guī)律？

學(xué)生抽象概括得到分?jǐn)?shù)基本性質(zhì).

問題11：這個規(guī)律一定成立嗎？你能否根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律進(jìn)行說明？

驗證：b ≠0,c ≠0,a b = a ÷b =( ac )÷( bc )= ac bc，等式反推亦成立.小學(xué)生缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰?，這里允許使用非0整數(shù)代替字母.

［設(shè)計意圖］培養(yǎng)學(xué)生“大膽猜想，小心驗證”思維品質(zhì)與能力.

2.6 學(xué)以致用，鞏固新知

通過簡單的變式練習(xí)加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解和運用.

2.7 課堂小結(jié)，養(yǎng)成反思

問題12：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么新知識？具體怎么說？

問題13：我們是怎么學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的？

問題14：分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)有什么用？

［設(shè)計意圖］引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法、應(yīng)用價值等維度進(jìn)行反思總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)良好知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法意識與反思習(xí)慣，使其由學(xué)會走向會學(xué)，成為真正的學(xué)習(xí)主人.

3 結(jié)語

MPCK 是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展知識的核心，也是教師開展有效教學(xué)的重要保障.提高教師對數(shù)學(xué)知識、教材、學(xué)生以及教法等教學(xué)因素的認(rèn)識，將有助于教師提升教學(xué)設(shè)計有效性，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展.但是，這是一個長期的、理論指導(dǎo)下的教師成長過程，教師需要多方面努力.一方面，要加強(qiáng)理論學(xué)習(xí).教師應(yīng)有意識地了解數(shù)學(xué)史，閱讀數(shù)學(xué)教育理論，提升理論素養(yǎng)與眼界.一個簡單的例子是，對數(shù)學(xué)史有所了解的教師，比較清楚知識產(chǎn)生的背景、形成與發(fā)展過程，深刻領(lǐng)會其中思想方法，因此對數(shù)學(xué)知識以及與之關(guān)聯(lián)的教材、學(xué)情、教法等教學(xué)因素的認(rèn)識更到位.另一方面，要重視實踐體驗.觀摩課、示范課、比賽課之所以能夠促進(jìn)教師成長，很大原因在于，在這些實踐活動中，教師一般需要經(jīng)歷上下求索理論、廣泛征求意見、反復(fù)研究打磨的過程，實踐體驗深刻.如果教師把其延伸為日常教研習(xí)慣，將能促進(jìn)教學(xué)認(rèn)識，加速專業(yè)成長.最后，要注重教學(xué)反思.教學(xué)反思屬于元認(rèn)知范疇，意指教師為實現(xiàn)有效教學(xué)，對已經(jīng)發(fā)生或正在發(fā)生的教育、教學(xué)活動以及這些活動背后的理論、假設(shè)，進(jìn)行反身性的思考，這是一個主動發(fā)現(xiàn)教學(xué)問題，解決教學(xué)問題的認(rèn)識過程［7］.在日常教學(xué)中，教師既要挖掘成功經(jīng)驗，并借助理論使之升華，以知其然且知其所以然；又要善于發(fā)現(xiàn)不足，尋求理論或他人支持，在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題中學(xué)會成長.